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高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲

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高一数学集合与简易逻辑综合 【本讲主要内容】 集合与简易逻辑综合 集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易逻辑。

【知识掌握】 【知识点精析】 1. 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合； 2. 子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，

我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合； 3. 交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集； 4. 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集； 5. 补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即SA），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）；

6. )0a(ax的解集是。axx|x；)0a(a|x|的解集是axax|x或； 7. 一元二次不等式的解法； 8. 简易逻辑： 命题：可以判断真假的语句叫做命题。 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。 简单命题和复合命题 不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。 由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 四种命题及它们的关系

【解题方法指导】 例1. 已知全集的质数不大于20U，A，B是U的两个子集，且满足5,3BCAU，19,7ACBU，（UCA）(UCB)＝ 17,2。求集合A和B。

解法一：（直接解法）依题意，5,3BCAU，则A5,3，且BC5,3U。 从而知3，5A，且B。 同理，由BACU19,7，知7，19 ，且7，19A

由（ACU）（UCB）17,2，知2，17A，且2，17 B 因为19,17,13,11,7,5,3,2U，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况： ①若11 ，11 ，则 ACU，且 UCB，这与（ACU）（UCB）＝17,2

矛盾； ②若11A，11B，则 UCB，这与AUCB＝5,3矛盾；

③若11 A，11B，则 ACU，这与BACU＝ 19,7矛盾； ④若11 A，11 B，则11（AB）。 同理，13（AB）。 于是我们可以把这些数字填入集合A，B，得

13,11,5,3A 13,11,19,7B。

解法二： （利用图）由图，知19,17,13,11,7,5,3,2U，AUCB＝5,3，BUCA＝19,7，（UCA）（UCB）＝ 17,2。可直接将U中元素一一填入图中各自的集合。

所以，13,11,5,3A， 13,11,19,7B。 解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合A，B的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合。这种方法比较抽象。 解法二数形结合，一目了然。 二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的。

例2. 用反证法证明：如果0ba，那么ba。 剖析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？ ba的反面是否仅有 ba？ 证明：假设 a不小于 b，则或者 ba，或者 ba 当 ba，因为 0b,0a，所以 0b,0a 在 ba的两边都乘以 a得baaa，aba 在 ba的两边都乘以 b得bbab，bab 所以ba 这与假设 ba矛盾，所以 ba不成立 当 ba时可得到 ，这与假设ba矛盾 综上所述，所以 ba 设计意图：通过对例题的剖析，使学生掌握如何在反证法中反设和归谬。

例3. 设关于 的一元二次不等式， 对一切实数均成立，求 的取值范围。

解：一元二次不等式 ，对一切 恒成立 二次函数

的图像全在 轴上方 。 注：这里“的取值范围： ”就是“二次不等式 对一切实数。都成立”的充要条件。

【考点突破】 【考点指要】 近年来，高考中关于集合和简易逻辑的试题可分为两大类，一类是集合、条件、命题本身的基本题，这类题多为选择、填空题；另一类是集合、条件、命题与其它知识的综合题。03年全国卷在最后一题中出现了集合。高考所占比重约15—20分。

【典型例题分析】 例4. （2000上海春，17）已知R为全集，A＝{x|log21（3－x）≥－2}，B＝{x|25x≥

1}，求BACR

。

解：由已知log21（3－x）≥log214，因为y＝log21x为减函数，所以3－x≤4

由0x34x3，解得－1≤x<3.所以A＝{x|－1≤x<3} 由2x5≥1可化为22xx302x)2x(5

02x0)2x)(3x(

解得－2

于是ACR＝{x|x<－1或x≥3} 故BACR

＝{x|－2

评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力。 例5. （’04潍坊市统考）已知函数f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱ （A∈R，且a≠-2） （1）设f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式； （2）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞]上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数。如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围。 解：（1）因为f（x）＝ x2+（a+1）x+lg︱a+2︱＝ g（x）+ h（x） 而g（x）是奇函数，满足g（-x）＝- g（x） h（x）是偶函数，满足h（-x）＝ h（x） 所以g（x）＝（a+1）x， h（x）＝ x2+lg︱a+2︱ 若命题P为真，则命题Q假，有





01a)1a(

2

1a2

解得1a

若命题Q为真，则命题P假，有





01a)1a(

2

1a2

解得1a23

综上得：23a 评述：任何一个非奇非偶函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

【综合测试】 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. （2002北京，1）满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. （1999全国，1）如图1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

图1 A. （M∩P）∩S B. （M∩P）∪S C. （M∩P）∩CIS D. （M∩P）∪CIS 3. （1996上海，1）已知集合M＝｛（x，ｙ）｜x＋ｙ＝2｝，N＝｛（x，ｙ）｜x－ｙ＝4｝，那么集合M∩N为（ ） A. x＝3，y＝－1 B. （3，－1） C. {3，－1} D. {（3，－1）} 4. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ） A. 真命题的个数一定是奇数 B. 真命题的个数一定是偶数 C. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D. 上述判断都不正确 5. （1996上海文，6）若y＝f（x）是定义在R上的函数，则y＝f（x）为奇函数的一个充要条件为（ ） A. f（x）＝0 B. 对任意x∈R，f（x）＝0都成立 C. 存在某点x0∈R，使得f（x0）+f（－x0）＝0 D. 对任意的x∈R，f（x）+f（－x）＝0都成立 6. （1995上海，9）“ab<0”是“方程ax2+by2＝c表示双曲线”的（ ） A. 必要条件但不是充分条件 B. 充分条件但不是必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件又不是必要条件

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 7. 设T＝{（x，y）|ax+y-3＝0}，S＝{（x，y）|x-y-b＝0}。若S∩T＝{（2，1）}，则a＝_______，b＝_______。 8. （2002上海春，3）若全集I＝R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P＝{x|f（x）＜

0＝，Q＝{x|g（x）≥0}，则不等式组0)(0)(xgxf的解集可用P、Q表示为_____。 9. （2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI。若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）。

图2 10. （1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：_____。

三、解答题（本大题共4题，共50分） 11. 已知A＝{x|x2-ax+a2-19＝0}，B＝{x|x2-5x+8＝2}，C＝{x|x2+2x-8＝0}。若A∩B，且 A∩C＝，求a的值。（13分）

12. 解不等式。（12分）

13. 解关于 的不等式 （ ）。（12分） 14. 已知 ，且 ，

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高一数学-高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义 精品

高一数学-高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义 精品

⊂⊂⊂高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义第一讲集合【辅导内容】 1、集合2、子集、全集、补集3、交集、并集 【学习内容】 一、集合的概念1、常用数集及其记法。

φ空集 N 非负整数集，自然数集 N +或N +正整数集 Z 整数集Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 2、集合中元素的特征确定性；互异性；无序性， 会判断一组对象是否组成集合 3、集合的表示方法 ①列举法②描述法{x| p(x)} 4、集合的分类空集，有限集，无限集 二、子集，全集，补集1、掌握子集，真子集，全集，补集的概念及表示方法2、掌握子集，补集的性质①A ⊆B B ⊆C 则A ⊆C A ≠B B ≠C 则A ≠C②A ⊆BB ⊆A则A=B③Cu(CuA)=A ；CuU=φ，Cu φ=U ，CuA ⊆U ④φ⊆A ，A ⊆A三、交集、并集1、掌握交集、并集的概念及表示方法2、结合文氏图，掌握交集并集的性质①A ∩A=A ，A ∩φ=φA ∪A=A ，A ∪φ=A ②(A ∩B)⊆A ，(A ∩B)⊆B(A ∪B)⊇A ，(A ∪B)⊇B③A ∩B=B ∩A A ∪B=B ∪A ④若A ⊆B 则A ∩B=A 反之也其 若A ⊆B 则A ∪B=B 反之也其 ⑤(A ∩B) ⊆(A ∪B)当且仅当A=B 时，A ∩B= A ∪B⊂⊂3、结合文氏图及数轴会求两集合的交集，并集，补集四、1、理解奇数、偶数的定义，会用集合语言表示奇数集，偶数集、整数集之间的关系2、注意a 与{a}的区别，以及φ，0，{0}的区别。

【例题选讲】例1、已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 取值范围 分析：（1）集合只有一个元素时有两种情形： ①a=0，方程为2x+1=0，只有一个根为21-=x ②当a ≠0时，△=0，即4-4a=0，∴a=1，这时方程有两个相同的实数根x 1=x 2=-1 由①②可知，当a=0或a=1时，A 中只有一个元素，分别为21-或-1 （2）若A 为空集，则必须有⎩⎨⎧<-=∆≠0440a a ，解得a>1。

人教版高一数学集合和简易逻辑.

人教版高一数学集合和简易逻辑.

高一数学集合和简易逻辑一、知识结构二、重点难点重点：有关集合的基本概念、术语和符号；||x a <与||x a >(0a >)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件；难点：有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；对绝对值意义的理解；弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用。

三、知识点解析1、集合（1）定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集。

（2）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

（3）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作()A B B A ⊆⊇或。

这时我们也说集合A 是集合B 的子集。

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B Ø。

我们规定：空集是任何集合的子集。

也就是说，对任何一个集合A ，有A ∅⊆。

（4）等集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（5）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

（6) 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集(即A S ⊆)，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集(或余集)，记作S A ð，即{|,}S A x x S x A =∈∉且ð。

（7) 交集，并集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A与B 的交集，记作A B ⋂(读作“A 交B”)，即{|,}A B x x A x B ⋂=∈∈且。

集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习

集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

高中数学竞赛标准讲义第一章集合与简易逻辑

高中数学竞赛标准讲义第一章集合与简易逻辑

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。