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初中数学竞赛辅导资料61

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初中数学竞赛辅导资料（61） 函数的图象 甲内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l. ① l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b； ② 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx－y+b=0, 那么直线l就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a≠0,b≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线；

二元分式方程y=xk(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 乙例题 例1. 右图是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)， 试决定a, b, c 及b2－4ac的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.

∵对称轴在原点右边，∴x=－ab2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f：y=－(x－2)2+5. 试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程. 画出f1和f2的略图，并求：

P(x,y)lox

y（1） x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的； （2） x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形； （3） 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值. （1980年福建省中招试题） 解：f1 ：y=－x2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f2 ：y=(x－2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x≥0时，f1下降， 当x≤2时，f2下降， ∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的. （2）求两曲线的交点横坐标，

即解方程组.5)2(522xyxy， x2－2x－3=0 . ∴x=－1；或x=3. ∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形. (3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差. 在区间 –1≤x ≤3内， 设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2)， 求y1－y2的最大值，可用配方法： y1－y2 ＝ (－x2+5)－[ (x－2)2－5] ＝－2x2+4x+6 ＝－2(x－1)2+8. ∵－2<0， ∴y1－y2有最大值. 当x=1 时，y1－y2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8.

例3. 画函数y=21xx的图象. 解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x<－1 时， y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1； 当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x－2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x－2=2x－1.

即y=21xx=).2(12)21(3)1(12xxxxx；； x … －2 －1 2 3 … y=－2x+1(x<－1) … 5 3 y=3(－1≤x<2) 3 3 y=2x－1(x≥2) 3 5 …

∴ 画函数y=21xx的图象如下图： 例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数. (1985年徐州市初中数学竞赛题). 解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0， ∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1. ∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0[x]=00≤x≤1 .

当[x]2=1[x]=).21(1)01(1xx， 自变量x的取值范围是：－1≤x<2.

如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象. 只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.

x －1≤x<0 0 ≤x<1 1≤x<2

[x] －1 0 1 [x]2 1 0 1 [y]2=1－[x]2 0 1 0

[y] 0 －1 1 0 y 0≤y<1 －1≤y<0 1≤y<2 0≤y<1 例5. 直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限相交点A，SRt△AOB=3. ① 求m的值 ； ②设直线与x 轴交于点C，求点C的坐标； ③求S△ABC. 解： ①设A坐标为 (x, x+m).

∵ S△AOB=21OB×BA.

∴xmmxmxx)(213 整理得 mmxxmxx2206 ∴m=6 ② ∵直线与x 轴交于点C. 把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C的坐标是(－6，0)

③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限相交点A，

解方程组xyxy66 得153153yx 即点A的坐标是 (－3+15，3+15). ∴BC=1536=3+15 ∴S△ABC=21(3+15)(3+15)=12+315. 例6. 选择题(只有一个正大确的答案). ①函数y=kx+k与y=xk 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( ) ② 函数 y=1－2xx 的图象是( ) 解：①常数k是同一个值，.双曲线y=xk 在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k中， 当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正. 所以应选 (D)； ②注意到y=1－2xx中， 当x=0和x=1时 y有最大值1，故选 (A). 丙练习61 1. 填空： ① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿. ② 点P（x, y）关于横轴的对称点P1的坐标是（ ），点P关于原点的对称 点P2的坐标是（ ）. ③ f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿ f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿. ④ A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（ ）. 点B（－2，3）关于直线y=－x的对称点B，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 ① 直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号

a__, －ab2______,b______,c_______, b2－4ac______,

abac442______

aacbb242_____ 3. 选择题（只有一个正确的答案） （1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）. （A）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A）a+b+c=0. （B）a+b+c<0. （C）a+b+c>0. （D）a+b+c值不定.

(1)

（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（ ）

(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ）

（D） （5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（ ） (6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（ ） （1983年福建省初中数学竞赛题）

4. 画下列函数的图象 ①y=xx2； ②y=2x； ③y=(x)2； ④ y=－x. 5. 有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.

6. 画如下方程、函数的图象. ①2yx；②y=x2－2|x|－3. 7. 这是一张追及图看图回答： ① 谁追及谁？ ② 谁早出发，早几小时？ ③ 甲、乙在这段路程速度各多少？ ④ 追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？ ⑤ 分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.

-55105201510152025234甲乙

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周六社团活动辅导讲义(学生版)——全国初中数学竞赛题选

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周六社团活动辅导讲义2013-3-161.已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值。

2.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

3.如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AC 。

点P 在△ABC 内，且PA 3PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积。

4.已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．5.已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a≥2012时，求a 的最小值.6.若从1，2，3，…，n 中任取5个两两互素的不同的整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。

7.求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<< ，且122012122012n x x x +++= .8.如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan E F P A D B C∠=．9.如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.10．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .11．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？12.函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．13.如图，给定锐角三角形ABC ，B C C A <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．14.在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．15.有n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．。

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初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。

初中数学竞赛辅导资料(二)

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初中数学竞赛辅导资料（二）（含答案）式子的整除甲内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。

2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。

显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，3．一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。

4．在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。

这可以推广到任意多项式。

乙例题例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。

x－3解法一：列竖式做除法（如右）x－2 x2－5x+m由余式m－6＝0得m=6x2－2x解法二：∵x2－5x+m 含有x－2 的因式－3x+m∴以x=2代入x2－5x+m 得－3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x－2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法）例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b mb a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ，当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-58-60

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-58-60

初三上参考答案（6）练习58一.1. 90 2. 712+n 3. 1，3＋3 4. －1 5. －26. a 2－2b,当a 2－2b ＜0时无解7. 2，－28.②3（a+b ）(b+c)(c+a)9. a,b, 2b a + 10. x=y=z=w=±17 二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① －3，1，2153±－ ②－41，－1，－5 ③2（增根－1） 四.（仿例4）五.已知两边乘以x-1得x 5=1, 原式=x 1985(x 4+x 3+x 2+x)=1×(-1)=-1练习591. ①-1或3 ②3且-3 ③ x ≥1且 x ≠3 ④1或-1或3或-3 ⑤x=1且y=1；…… 2 ①x>0或x<0 ②a<-3或-3<a<3或a>3… 3只有④假命题 4①2或-3③3<x<6 5有4个解 6.2<x<5 7.0<a -1<1 8.a+b>0 9. 40 ≤∠B ≤75 10.(C)11. a=3且b=1 12.大于或等于1.练习601①60 ②北偏西25 ③3 ④大于221；小于221；大于1；小于1 ⑤21<CosA<23, 33<tanA<3. 1. 由余弦定理得∠ADC=120度，再由正弦定理得AB=265. 2. 3. CD=(3-1)a 4. 152 5. 53 6.2)33(m + 7. 用公式S △=))()(-S(S c S b S a --，其中S=2c b a ++或先求最大边的高为8， S △=21×21×8=84 . 8. 由正弦定理得a ∶b ∶c=3∶5∶7 ，CosC=-21,∠C=120度 9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达10. 左边==⋅=⋅=FGh h FC BF h FC h BF h 22…11.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度……或AC=3-1，∠B=15或75度……4. 由正弦定理PN=① MA MR MNP S MP in ， NR=② MBMP MNP S MR in ，①÷②即可 5. 由正弦定理1<2R 2B S 1≤=in ， 21≤SinB<1 ， 30 ≤B<90 0<CoOSB ≤23， 由余弦定理1-a 2-c 2+3ac ≥0①，a 2+c 2-1>0②……。