2016-2017年安徽省蚌埠市高一上学期期末数学试卷与答案Word版

2016-2017学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分1．（3.00分）若角α是第四象限角，则角﹣α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3.00分）若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα=（）A．± B．﹣ C．D．±3．（3.00分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若⊥，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．44．（3.00分）已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长为（）A．3πB．2πC．360 D．5405．（3.00分）若cos（π﹣α）=﹣，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（3.00分）若菱形ABCD的边长为2，则|﹣+|=（）A．2 B．4 C．D．27．（3.00分）在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的交点为M，设=，=，则下列向量中与﹣+相等的向量是（）A．B．C．D．8．（3.00分）为了得到函数y=tan（2x﹣）的图象，可以将函数y=tan2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（3.00分）已知向量=（1，x），=（x，4），若=||•||，则x=（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2最小正周期是π，且x∈（0，]时，f（x）=cosx，则f（﹣）=（）A．B．C．﹣ D．﹣11．（3.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．C．D．12．（3.00分）已知△ABC，=，=，AD与CE的交点为G，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共20分13．（4.00分）已知=（2，1），=（m，2），若∥，则m=．14．（4.00分）若sin（α+）=，则cos（﹣α）=．15．（4.00分）已知cosα=﹣，则=．16．（4.00分）函数y=的定义域是．17．（4.00分）在△ABC中，已知•=•，则△ABC为三角形．三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8.00分）（Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）已知x∈[，]，且sinx=﹣，求tanx的值．19．（8.00分）如图，锐角△ABC中，=，=，点M为BC的中点．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若||=5，||=3，sin∠BAC=，求中线AM的长．20．（8.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．21．（10.00分）把函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，关于x的方程f（x）﹣m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．22．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，）．（Ⅰ）求，夹角的余弦值；（Ⅱ）已知C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求tan的值．2016-2017学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分1．（3.00分）若角α是第四象限角，则角﹣α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵α是第四象限角，∴k•360°+270°＜α＜k•360°+360°，k∈Z，则﹣k•360°﹣360°＜﹣α＜﹣k•360°﹣270°，k∈Z，令n=﹣k，n∈Z，故有n•360°﹣360°＜﹣α＜n•360°﹣270°，n∈Z，则﹣α的终边在第一象限．故选：A．2．（3.00分）若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα=（）A．± B．﹣ C．D．±【解答】解：∵角a的终边经过点P（4，﹣3），∴sinα==﹣．故选：B．3．（3.00分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若⊥，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【解答】解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），⊥，∴=﹣2﹣2x=0，解得x=﹣1．故选：A．4．（3.00分）已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长为（）A．3πB．2πC．360 D．540【解答】解：l=αr=×3=2π．故选：B．5．（3.00分）若cos（π﹣α）=﹣，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意得cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，所以cosα=，故选：C．6．（3.00分）若菱形ABCD的边长为2，则|﹣+|=（）A．2 B．4 C．D．2【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴|﹣+|=|++|=||=2．故选：D．7．（3.00分）在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的交点为M，设=，=，则下列向量中与﹣+相等的向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，∴M是BD的中点，∵=，=，∴﹣+==，故选：D．8．（3.00分）为了得到函数y=tan（2x﹣）的图象，可以将函数y=tan2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：把y=tan2x向右平移个单位长度得到=的图象，故选：B．9．（3.00分）已知向量=（1，x），=（x，4），若=||•||，则x=（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2【解答】解：∵向量=（1，x），=（x，4），=||•||，∴x+4x=•，解得x=2．故选：B．10．（3.00分）定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且x∈（0，]时，f（x）=cosx，则f（﹣）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，f（x）的最小正周期是π，且x∈（0，]时，f（x）=cosx，∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣cos=﹣．故选：C．则f（）=（）A．B．C．D．【解答】解：由图象知最高点为，最低点为，∴A=根据图象T==π，∴ω==2．∵图象过（，）带入可得：，得：φ﹣=+2kπ，（k∈Z）φ=，（k∈Z）那么：函数f（x）=sin（2x+2kπ）=sin（2x）当x=时，即f（）=sin（2×）=故选：A．12．（3.00分）已知△ABC，=，=，AD与CE的交点为G，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：不妨令B为直角，AB=BC=3，则以B为坐标原点，建立坐标系如图所示：则==（0，3），==（3，0），直线AD的方程为：y=﹣3x+3，直线CE的方程为：y=﹣x+2，故G点坐标为：（，），若=λ+μ，则3λ=，3μ=，故3（λ+μ）=，λ+μ=，故选：D．二、填空题：每小题4分，共20分13．（4.00分）已知=（2，1），=（m，2），若∥，则m=4．【解答】解：∵∥，∴m﹣4=0，解答m=4．故答案为：4．14．（4.00分）若sin（α+）=，则cos（﹣α）=．【解答】解：∵sin（α+）=，则cos（﹣α）=sin[﹣（α+）]=sin（α+）=，故答案为：．15．（4.00分）已知cosα=﹣，则=．【解答】解：∵cosα=﹣，∴=．故答案为：．16．（ 4.00分）函数y=的定义域是{x|}．．【解答】解：由，的sinx，解得：．∴函数y=的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．17．（4.00分）在△ABC中，已知•=•，则△ABC为等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，•=•，可得•﹣•=0，即为•（﹣）=0，即有（﹣）•（+）=0，即有2=2，即为|||2=||2，可得|||=||，可得三角形ABC为等腰三角形．故答案为：等腰．三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8.00分）（Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）已知x∈[，]，且sinx=﹣，求tanx的值．【解答】解：（Ⅰ）cos（﹣）===﹣．（Ⅱ）∵x∈[，]，且sinx=﹣，∴，∴cosx==﹣．∴tanx==．19．（8.00分）如图，锐角△ABC中，=，=，点M为BC的中点．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若||=5，||=3，sin∠BAC=，求中线AM的长．【解答】解：（Ⅰ）∵M是BC的中点∴=（+）=（+）；（Ⅱ）∵sin∠BAC=，△ABC是锐角三角形，∴cos∠BAC=，∴=（+2•+）=（25+2×5×3×+9）=13，∴||=，即中线AM=．20．（8.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）由题可得=，∴T=π，又函数f（x）的最大值为2，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x﹣），（Ⅱ）由+2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数单调递减区间[+kπ，kπ+]，k∈Z，21．（10.00分）把函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，关于x的方程f（x）﹣m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到y=sin （x﹣），再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象，∴…（5分）（Ⅱ）由f（x）﹣m=0得sin（2x﹣）=m令2x﹣，由x得…（7分）方程f（x）﹣m=0有两个不等实数根等价于直线y=m与y=sinθ（﹣）有两个交点，结合函数图象可知﹣…（10分）22．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，）．（Ⅰ）求，夹角的余弦值；（Ⅱ）已知C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求tan的值．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，），∴=（，），=（，），||=||=1，∴，夹角的余弦值cos∠AOB===．（Ⅱ）设∠AOB的平分线OD交单位圆于点D，则∠COD=，从而D（cos，sin），∴=（cos，sin），连接AB，可知OD⊥AB，即=0．∴=﹣=（﹣，），∴（cos，sin）•（﹣，）=﹣•cos+•sin=0，∴tan=．。

2016-2017学年安徽省铜陵市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5.00分）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．23．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，2） B．[1，2]C．（1，4） D．[2，4]4．（5.00分）sin2010°的值等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）已知a=log27，b=log20.7，c=20.7，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．（5.00分）如果点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角7．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．e C．﹣ D．﹣e8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，+∞）9．（5.00分）在△ABC中，cosA=，且sinB=，则cosC=（）A．﹣B．C．D．或10．（5.00分）实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+2|，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）图象上的是（）A．（a，﹣f（a））B．（a，﹣f（﹣a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（﹣a，f （a））12．（5.00分）设函数f（x）=，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f （x）﹣]+[f（x）+]的值域是（）A．{0，﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为．14．（5.00分）不等式的解集是．15．（5.00分）已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的余弦值是．16．（5.00分）函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008（a，b，α，β均为非零实数），若f（2016）=16，则f（2017）=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，若A∩B={2}，求A ∪B．18．（12.00分）（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；（2）已知y=sinx+cosx﹣sin2x，x∈R，求y的范围．19．（12.00分）已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．（1）求实数A，ω的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．21．（12.00分）设f（x）=x2﹣ax+2，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12.00分）已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体．①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[]．（1）判断f（x）=x3是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；（2）若是否存在实数t，使得h（x）=，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年安徽省铜陵市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∩B={﹣1，0，1，2，3}∩{0，1}={0，1}．故选：B．2．（5.00分）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．2【解答】解：令log2（x﹣1）=0解得：x=2所以函数的零点为：2故选：D．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，2） B．[1，2]C．（1，4） D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得x﹣1＞0且4﹣x2＞0，即x＞1且﹣2＜x＜2，即有1＜x＜2，则定义域为（1，2）．故选：A．4．（5.00分）sin2010°的值等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin2010°=sin（360°×6﹣150°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选：C．5．（5.00分）已知a=log27，b=log20.7，c=20.7，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a=log27＞2，b=log20.7＜0，c=20.7∈（1，2），∴a＞c＞b，故选：C．6．（5.00分）如果点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，∴sin2θ=2sinθcosθ＜0，2cosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ是第二象限的角．故选：B．7．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．e C．﹣ D．﹣e【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=ln=﹣1，∴f[f（）]=f（﹣1）=，故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，+∞）【解答】解：令t（x）=x2﹣ax+3a，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0，，又a∈R+解得：﹣4＜a≤4则实数a的取值范围是（﹣4，4]．故选：C．9．（5.00分）在△ABC中，cosA=，且sinB=，则cosC=（）A．﹣B．C．D．或【解答】解：在△ABC中，∵cosA=＞0，A为三角形的内角，∴A为锐角，可得：sinA==，又∵sinB=，B为三角形的内角，∴cosB=±=±，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×（±）+×=或．故选：D．10．（5.00分）实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵实数x，y满足|x|﹣log2=0，∴log2=|x|，∴=2|x|，∴y=（）|x|=，故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+2|，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）图象上的是（）A．（a，﹣f（a））B．（a，﹣f（﹣a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（﹣a，f （a））【解答】解：因为f（﹣a）=|﹣a+2|+|﹣a﹣2|=|a+2|+|a﹣2|=f（a），所以D正确；故选：D．12．（5.00分）设函数f（x）=，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f （x）﹣]+[f（x）+]的值域是（）A．{0，﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：函数f（x）==，当x＞0时，2＜4x+1，＜f（x）＜1，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=1；当x＜0时，1＜4x+1＜2，0＜f（x）＜，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=0；当=0时，4x+1=2，f（x）=，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=1．f（x）的值域是{0，1}．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为3．【解答】解：因为单调递减，y=log2（x+2）单调递增，所以函数y=﹣log2（x+2）在区间[﹣1，1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f（﹣1）=3．故答案为：3．14．（5.00分）不等式的解集是．【解答】解：不等式即cosx≤﹣，∴2kπ+≤x≤2kπ+，k ∈z．故不等式的解集为，故答案为．15．（5.00分）已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的余弦值是．【解答】解：设底角为a，则顶角为π﹣2a，由已知cosa=，又sin2α+cos2α=1，得sina=（由于a＜舍去sina=﹣），∴sin（π﹣2a）=sin2a=2sinacosa=．∴cos（π﹣2a）=．则顶角的余弦值是：．故答案为：．16．（5.00分）函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008（a，b，α，β均为非零实数），若f（2016）=16，则f（2017）=2000．【解答】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008，其中a，b，α，β均为非零实数，若f（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）+1008=asinα+bcosβ+1008=16，∴asinα+bcosβ=﹣992，则f （2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）+1008=﹣asinα﹣bcosβ+1008=2000．故答案为：2000．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，若A∩B={2}，求A ∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，A∩B={2}，∴，解得a=2，b=﹣4，∴A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，∴A∪B={﹣2，1，2}．18．（12.00分）（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；（2）已知y=sinx+cosx﹣sin2x，x∈R，求y的范围．【解答】解：（1）∵y=sinx+cosx==．∴y∈[]；（2）令sinx+cosx=t（），∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=t2，则sin2x=t2﹣1，∴y=sinx+cosx﹣sin2x=t﹣t2+1=﹣t2+t+1，（），对称轴方程为t=，∴当t=时，；当t=﹣时，．∴y∈[]．19．（12.00分）已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．【解答】解：（1）函数f（x）为R上的奇函数．∵函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．∴令y=x=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），化为f（﹣x）=﹣f（x），因此函数f（x）为R上的奇函数．（2）函数f（x）在R上单调递减．下面给出证明：∀x1＜x2，则x1﹣x2＜0，f（x1﹣x2）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在R上单调递减．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．（1）求实数A，ω的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．∵sin（ωx+）的最大值为1，∴A=2．周期T=π=，可得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，当2x+=时，f（x）取得最大值为2．当2x+=时，f（x）取得最小值为故得当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域为[，2]．21．（12.00分）设f（x）=x2﹣ax+2，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）＞0得f（x）=x2﹣ax+2＞0，即ax＜2+x2，∵x∈（2，+∞），∴a＜x+，令g（x）=x+，（x＞2），则g′（x）=1﹣=＞0，故g（x）在（2，+∞）递增，故g（x）＞g（2）=3，故a≤3．22．（12.00分）已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体．①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[]．（1）判断f（x）=x3是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；（2）若是否存在实数t，使得h（x）=，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）g（x）=x3在R上为增函数，满足性质①；解x3=得，x=0，或x=±；∴满足性质②；∴g（x）属于M，且满足②的区间[a，b]为[﹣，0]，[0，]，或[﹣，]；（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′（x）=＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h（a）=，h（b）=，即a﹣2﹣2t=0，且b﹣2﹣2t=0，令=y（x≥1），则y≥0，于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，记u（y）=y2﹣2y+1﹣2t，∴，∴t∈（0，]．。

2016-2017学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题3分，共36分1．若角α是第四象限角，则角﹣α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα=（）A．± B．﹣ C．D．±3．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若⊥，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．44．已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长为（）A．3πB．2πC．360 D．5405．若cos（π﹣α）=﹣，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．6．若菱形ABCD的边长为2，则|﹣+|=（）A．2 B．4 C．D．27．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的交点为M，设=，=，则下列向量中与﹣+相等的向量是（）A．B．C．D．8．为了得到函数y=tan（2x﹣）的图象，可以将函数y=tan2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知向量=（1，x），=（x，4），若=||•||，则x=（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或210．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且x∈（0，]时，f（x）=cosx，则f（﹣）=（）A．B．C．﹣ D．﹣11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）=（）A．B．C．D．12．已知△ABC，=，=，AD与CE的交点为G，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共20分13．已知=（2，1），=（m，2），若∥，则m=．14．若sin（α+）=，则cos（﹣α）=．15．已知cosα=﹣，则=．16．函数y=的定义域是．17．在△ABC中，已知•=•，则△ABC为三角形．三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）已知x∈[，]，且sinx=﹣，求tanx的值．19．如图，锐角△ABC中，=，=，点M为BC的中点．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若||=5，||=3，sin∠BAC=，求中线AM的长．20．函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．21．把函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，关于x的方程f（x）﹣m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，）．（Ⅰ）求，夹角的余弦值；（Ⅱ）已知C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求tan的值．2016-2017学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分1．若角α是第四象限角，则角﹣α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】用不等式表示第四象限角α，再利用不等式的性质求出﹣α满足的不等式，从而确定角﹣α的终边在的象限．【解答】解：∵α是第四象限角，∴k•360°+270°＜α＜k•360°+360°，k∈Z，则﹣k•360°﹣360°＜﹣α＜﹣k•360°﹣270°，k∈Z，令n=﹣k，n∈Z，故有n•360°﹣360°＜﹣α＜n•360°﹣270°，n∈Z，则﹣α的终边在第一象限．故选：A．2．若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα=（）A．± B．﹣ C．D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．【解答】解：∵角a的终边经过点P（4，﹣3），∴sinα==﹣．故选B．3．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若⊥，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），⊥，∴=﹣2﹣2x=0，解得x=﹣1．故选：A．4．已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长为（）A．3πB．2πC．360 D．540【考点】弧长公式．【分析】利用弧长公式计算即可得答案．【解答】解：l=αr=×3=2π．故选：B．5．若cos（π﹣α）=﹣，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据题意和诱导公式化简即可．【解答】解：由题意得cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，所以cosα=，故选C．6．若菱形ABCD的边长为2，则|﹣+|=（）A．2 B．4 C．D．2【考点】向量的模．【分析】利用向量的运算法则将|﹣+|化简，利用菱形ABCD的边长为2得到向量模的值．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴|﹣+|=|++|=||=2．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD的交点为M，设=，=，则下列向量中与﹣+相等的向量是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由已知中平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，M是BD的中点，从而可求出与﹣+相等的向量．【解答】解：∵平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，∴M是BD的中点，∵=，=，∴﹣+==，故选：D8．为了得到函数y=tan（2x﹣）的图象，可以将函数y=tan2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Atan（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把y=tan2x向右平移个单位长度得到=的图象，故选：B．9．已知向量=（1，x ），=（x ，4），若=||•||，则x=（ ）A ．﹣2B ．2C ．0D ．﹣2或2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量的数量积公式及向量的模的定义求解．【解答】解：∵向量=（1，x ），=（x ，4），=||•||，∴x +4x=•，解得x=2． 故选：B ．10．定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且x ∈（0，]时，f （x ）=cosx ，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】函数的值．【分析】由已知得f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣cos，由此能求出结果．【解答】解：∵义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是周期函数，f （x ）的最小正周期是π，且x ∈（0，]时，f （x ）=cosx ，∴f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣cos=﹣．故选：C ．11．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的最高点和最低点可得A的值，根据图象T==π，可得ω，图象过（，﹣）带入求解φ，可函数f（x）的解析式．可得f（）的值．【解答】解：由图象知最高点为，最低点为，∴A=根据图象T==π，∴ω==2．∵图象过（，）带入可得：，得：φ﹣=+2kπ，（k∈Z）φ=，（k∈Z）那么：函数f（x）=sin（2x+2kπ）=sin（2x）当x=时，即f（）=sin（2×）=故选A．12．已知△ABC，=，=，AD与CE的交点为G，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】不妨令B为直角，AB=BC=3，则以B为坐标原点，建立坐标系，利用坐标法，可得λ+μ的值．【解答】解：不妨令B为直角，AB=BC=3，则以B为坐标原点，建立坐标系如图所示：则==（0，3），==（3，0），直线AD的方程为：y=﹣3x+3，直线CE的方程为：y=﹣x+2，故G点坐标为：（，），若=λ+μ，则3λ=，3μ=，故3（λ+μ）=，λ+μ=，故选：D．二、填空题：每小题4分，共20分13．已知=（2，1），=（m，2），若∥，则m=4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴m﹣4=0，解答m=4．故答案为：4．14．若sin（α+）=，则cos（﹣α）=．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：∵sin（α+）=，则cos（﹣α）=sin[﹣（α+）]=sin（α+）=，故答案为：．15．已知cosα=﹣，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用商的关系化切为弦得答案．【解答】解：∵cosα=﹣，∴=．故答案为：．16．函数y=的定义域是{x|}．．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．【解答】解：由，的sinx，解得：．∴函数y=的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．17．在△ABC中，已知•=•，则△ABC为等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】运用向量的运算和向量的平方即为向量模的平方，结合平方差公式，即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，•=•，可得•﹣•=0，即为•（﹣）=0，即有（﹣）•（+）=0，即有2=2，即为|||2=||2，可得|||=||，可得三角形ABC为等腰三角形．故答案为：等腰．三、解答题：本大题共5个小题，满分44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（Ⅰ）计算：cos（﹣）；（Ⅱ）已知x∈[，]，且sinx=﹣，求tanx的值．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】（I）利用诱导公式即可得出．（II）利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）cos（﹣）===﹣．（Ⅱ）∵x∈[，]，且sinx=﹣，∴，∴cosx==﹣．∴tanx==．19．如图，锐角△ABC中，=，=，点M为BC的中点．（Ⅰ）试用，表示；（Ⅱ）若||=5，||=3，sin∠BAC=，求中线AM的长．【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的模．【分析】（Ⅰ）根据向量的加法以及中点的定义求出即可；（Ⅱ）求出∠BAC的余弦值，从而求出AM的长即可．【解答】解：（Ⅰ）∵M是BC的中点∴=（+）=（+）；（Ⅱ）∵sin∠BAC=，△ABC是锐角三角形，∴cos∠BAC=，∴=（+2•+）=（25+2×5×3×+9）=13，∴||=，即中线AM=．20．函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（1）由函数的最大值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．（2）由+2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）由题可得=，∴T=π，又函数f（x）的最大值为2，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x﹣），（Ⅱ）由+2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数单调递减区间[+kπ，kπ+]，k∈Z，21．把函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，关于x的方程f（x）﹣m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据图象左右平移和横向伸缩变换的原则可得到解析式；（Ⅱ）方程f（x）﹣m=0有两个不等实数根等价于直线y=m与y=sinθ（﹣）有两个交点，结合函数图象可知m范围．【解答】解：（Ⅰ）函数y=sin（x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到y=sin（x﹣），再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象，∴…（Ⅱ）由f（x）﹣m=0得sin（2x﹣）=m令2x﹣，由x得…方程f（x）﹣m=0有两个不等实数根等价于直线y=m与y=sinθ（﹣）有两个交点，结合函数图象可知﹣…22．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，）．（Ⅰ）求，夹角的余弦值；（Ⅱ）已知C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求tan的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）先求出向量，的坐标，再跟它们的夹角的余弦值cos∠AOB=，计算求得结果．（Ⅱ）设∠AOB的平分线OD交单位圆于点D，则∠COD=，求得的坐标，根据=0，求得tan的值．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（，），B（，），∴=（，），=（，），||=||=1，∴，夹角的余弦值cos∠AOB===．（Ⅱ）设∠AOB的平分线OD交单位圆于点D，则∠COD=，从而D（cos，sin），∴=（cos，sin），连接AB，可知OD⊥AB，即=0．∴=﹣=（﹣，），∴（cos，sin）•（﹣，）=﹣•cos+•sin=0，∴tan=．2017年3月9日。

2016-2017学年安徽省巢湖市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，∁U N={1，2，4}，则M ∩N等于（）A．{0，3}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．412°角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设=（2，﹣1），=（﹣3，4），则2+等于（）A．（3，4） B．（1，2） C．﹣7 D．34．函数f（x）=+lg（2x﹣4）的定义域是（）A．（2，]B．[2，]C．（2，+∞）D．[，+∞]5．已知，是不共线向量，=2+，=﹣+3，=λ﹣，且A，B，D三点共线，则实数λ等于（）A．3 B．4 C．5 D．66．函数y=tan（﹣7x+）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，）7．若tanθ=2，则的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．8．等于（）A．B．C．D．19．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，5）B．（0，2]C．（0，5） D．[2，5）10．已知与是非零向量且满足（﹣6）⊥，（2﹣3）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．12．设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（0，2） B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（1，3）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设幂函数f（x）=kx a的图象过点（，81），则k+a=．14．函数f（x）=3cos（x﹣）的最小正周期为．15．设向量、满足•=﹣8，且向量在向量方向上的投影为﹣3，则||=．16．如图，将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD，若=x+y（x，y∈R）．则x+y=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设f（x）=2sin+cos（﹣x）﹣sin+cos（90°+x）．（1）若f（α）=•α∈（0°，180°），求tanα；（2）若f（α）=2sinα﹣cosα+，求sinα•cosα的值．18．已知向量=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2）．（1）求，的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+垂直，求λ的值．19．设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）=，其中a＜．（1）判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．20．据环保部通报，2016年10月24日起，京津冀周边雾霾又起，为此，环保部及时提出防控建议，推动应对工作由过去“大水漫灌式”的减排方式转变为实现精确打击．某燃煤企业为提高应急联动的同步性，新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对大气环境的污染，已知过滤后废气的污染物数量N（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关系为N （t）=N0e﹣λt（N0，λ均为非零常数，e为自然对数的底数）其中N0为t=0时的污染物数量，若经过5小时过滤后污染物数量为N0．（1）求常数λ的值；（2）试计算污染物减少到最初的10%至少需要多少时间？（精确到1小时）参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．21．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；（2）已知不等式f（log m）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．22．已知向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4•．（1）求函数g（x）在[，]上的值域；（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．2016-2017学年安徽省巢湖市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，∁U N={1，2，4}，则M ∩N等于（）A．{0，3}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】由全集U及N的补集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合M={0，2，3}，∁U N={1，2，4}，∴N={0，3}，则M∩N={0，3}，故选：A．2．412°角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】412°=360°+52°，写出结果即可．【解答】解：412°=360°+52°，∴412°与52°终边相同．故选：A3．设=（2，﹣1），=（﹣3，4），则2+等于（）A．（3，4） B．（1，2） C．﹣7 D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接代入坐标计算即可．【解答】解：2+=（4，﹣2）+（﹣3，4）=（1，2）．故选B．4．函数f（x）=+lg（2x﹣4）的定义域是（）A．（2，]B．[2，]C．（2，+∞）D．[，+∞]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由10﹣3x≥0，2x﹣4＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：由10﹣3x≥0，2x﹣4＞0，可得x≤，且x＞2，即为2＜x≤，则定义域为（2，≤]．故选：A．5．已知，是不共线向量，=2+，=﹣+3，=λ﹣，且A，B，D三点共线，则实数λ等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由A，B，D三点共线，得=β，（β为实数），由此能求出实数λ．【解答】解：∵A，B，D三点共线，∴=β，（β为实数），∵=2+，=﹣+3，=λ﹣，∴=（λ﹣1），∴=，解得，λ=5．故选：C．6．函数y=tan（﹣7x+）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，）【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数图象的对称中心是（，0）k∈Z，即可求出函数y的对称中心．【解答】解：由函数y=tan（﹣7x+），令﹣7x+=，k∈Z，解得x=﹣，k∈Z；当k=0时，x=，所以函数y的一个对称中心是（，0）．故选：B．7．若tanθ=2，则的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=2，则====，故选：D．8．等于（）A．B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦函数公式，两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：原式==×=×=．故选：A．9．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，5）B．（0，2]C．（0，5） D．[2，5）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，分段函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则必有，解可得：2≤a＜5，即a的取值范围为：[2，5）；故选：D．10．已知与是非零向量且满足（﹣6）⊥，（2﹣3）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行数量积的运算，并整理即可得到，，这样两式联立即可求出的值，从而得出与的夹角．【解答】解：根据条件：，；∵；∴，；∴；∴；∴；∴的夹角为．故选：B．11．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．12．设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（0，2） B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（1，3）【考点】函数的图象．【分析】由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，根据图象可得答案．【解答】解：由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，则f（x）＞1的解集为（1，3）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设幂函数f（x）=kx a的图象过点（，81），则k+a=﹣3．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义与性质求出k、a的值即可．【解答】解：幂函数f（x）=kx a中，k=1；其图象过点（，81），所以=81，解得a=﹣4；所以k+a=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．14．函数f（x）=3cos（x﹣）的最小正周期为4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意，分析易得函数f（x）=3cos（x﹣）中ω=，由其周期公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=3cos（x﹣），其中ω=，其最小正周期T==4；故答案为：4．15．设向量、满足•=﹣8，且向量在向量方向上的投影为﹣3，则||=．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】根据投影的定义计算即可．【解答】解：因为向量在向量方向上的投影为==﹣3，所以||=故答案为：16．如图，将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD，若=x+y（x，y∈R）．则x+y=1+．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，过点C作CE⊥AB，CF⊥AD，设AB=1，根据三角形的边角关系，用、表示出，求出x、y的值即可．【解答】解：设AB=1，则AD=，BD=BC=2，过点C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为E、F，如图所示；则BE=，AF=1，且=+=（+1）+，又=x+y，所以x=+1，y=，x+y=1+．故答案为：1+．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设f（x）=2sin+cos（﹣x）﹣sin+cos（90°+x）．（1）若f（α）=•α∈（0°，180°），求tanα；（2）若f（α）=2sinα﹣cosα+，求sinα•cosα的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）推导出f（x）=sinx，从而f（α）=sinα=，由此能求出tanα．（2）推导出sinα﹣cosα=﹣，由此能求出sinαcosα．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin+cos（﹣x）﹣sin+cos（90°+x）=2sinx+cosx﹣cosx﹣sinx=sinx，f（α）=，α∈（0°，180°），∴f（α）=sinα=，∴cosα=±=±，∴tanα==．（2）∵f（α）=2sinα﹣cosα+=sinα，∴sinα﹣cosα=﹣，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，解得sinαcosα=．18．已知向量=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2）．（1）求，的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+垂直，求λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出两向量夹角的余弦值；（2）根据平面向量的坐标运算与两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：（1）向量=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），∴•=﹣2×（﹣1）+4×（﹣2）=﹣6，||==2，||==；∴，夹角的余弦值为cosθ===﹣；（2）∵﹣λ=（﹣2，4）﹣（﹣λ，﹣2λ）=（λ﹣2，2λ+4），2+=（﹣4，8）+（﹣1，﹣2）=（﹣5，6）；又向量﹣λ与2+垂直，∴（﹣2λ）•（2+）=﹣5（λ﹣2）+6（2λ+4）=0，解得λ=﹣．19．设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）=，其中a＜．（1）判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）分别求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．【解答】解：（1）函数g（x）在（﹣2，+∞）上是减函数，证明如下：设﹣2＜x1＜x2，∵g（x）=a+，∴g（x2）﹣g（x1）=（a+）﹣（a+）=（1﹣2a）•，∵﹣2＜x1＜x2，∴＜0，∵a＜，∴g（x2）＜g（x1），∴a＜时，g（x）在（﹣2，+∞）递减；（2）由题意得：f（x）max=f（﹣7）=﹣5，且f（x）是奇函数，∴f（7）=5，即f（x）在区间[3，7]上的最小值是5，由（1）得：g（x）在[3，7]上也是减函数，∴F（x）min=f（7）+g（7）=．20．据环保部通报，2016年10月24日起，京津冀周边雾霾又起，为此，环保部及时提出防控建议，推动应对工作由过去“大水漫灌式”的减排方式转变为实现精确打击．某燃煤企业为提高应急联动的同步性，新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对大气环境的污染，已知过滤后废气的污染物数量N（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关系为N （t）=N0e﹣λt（N0，λ均为非零常数，e为自然对数的底数）其中N0为t=0时的污染物数量，若经过5小时过滤后污染物数量为N0．（1）求常数λ的值；（2）试计算污染物减少到最初的10%至少需要多少时间？（精确到1小时）参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意，N0=N0e﹣5λ；从而解得λ；（2）由（1）知，N（t）=N0，N0≤N010%，解出t≥12，从而得到最小值．【解答】解：（1）由题意，N（0）=N0；N（5）=N0；∴N0=N0e﹣5λ，解得，λ=；（2）由（1）知，N（t）=N0，N0≤N010%，解得，t≥12，故污染物减少到10%至少需要12小时．21．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；（2）已知不等式f（log m）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）由奇函数的性质得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判断函数的单调性即可．（2）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（log m）＞﹣f（﹣1）=f（1），再由函数的单调性得log m＜1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，解得a=1，∴f（x）==﹣1+，∵y=2x是R上的增函数，∴f（x）在R上为减函数，（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log m）+f（﹣1）＞0等价于f（log m）＞﹣f（﹣1）=f（1），又∵f（x）是R上的减函数，∴log m=log m m，∴当0＜m＜1时，＞m，即0＜m＜；当m＞1时，＜m，即m＞1；综上，m的取值范围是m∈（0，）∪（1，+∞）．22．已知向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4•．（1）求函数g（x）在[，]上的值域；（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．【考点】根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出函数解析式，即可求函数g（x）在[，]上的值域；（2）g（x）=0，可得x=，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）分类讨论，可得当x≤时，函数f（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方，由此证得结论成立．【解答】（1）解：向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1），∴函数g（x）=4•=4sin2x．∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin2x∈[，1]，∴g（x）∈[2，4]；（2）解：g（x）=0，可得x=，k∈Z，∵x∈[0，2016π]，∴∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，∴k的值有4033个，即x有4033个；（3）证明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即g（x）＜4﹣x，故函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．当x ∈（0，]时，g （x ）单调递增，g （）=2，显然g （）＜4﹣，即函数g （x ）的图象位于直线y=4﹣x 的下方． 综上可得，当x ≤时，函数g （x ）的图象位于直线y=4﹣x 的下方．对任意λ＞0，一定存在μ=＞0，使λμ=，满足函数g （x ）的图象位于直线y=4﹣x 的下方．2017年2月12日。