沪教高三数学第一轮复习：抛物线

高三数学第一轮复习讲义（52）抛物线一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二．知识要点：1．定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．焦点弦长：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则||AF = ， ||AB = ，12x x = ，12y y = ．5．抛物线的焦点为F ，AB 是过焦点F 且倾斜角为α的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x = ；12y y = ；||AB = ．三．课前预习：1．已知点1(,0)4F -，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是 （ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2．设抛物线22y x =的焦点为F ，以9(,0)2P 为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则||||MF NF +的值为 （ ）()A 8 ()B 18 ()C 22 ()D 43．过点(3,1)--的抛物线的标准方程是 ． 焦点在10x y --=上的抛物线的标准方程是 ．4．抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ，当||||MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当||||||MA MF -为最大时，则M 点的坐标 ．四．例题分析：例1．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．例2．已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤，（1）求a 取值范围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NA B ∆面积的最大值．例3． 已知抛物线24x y =与圆2232x y +=相交于,A B 两点，圆与y 轴正半轴交于C 点，直线l 是圆的切线，交抛物线与,M N ，并且切点在ACB 上．（1）求,,A B C 三点的坐标．（2）当,M N 两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．方程22sin cos 1x y αα+=表示的曲线不可能是 （ ）()A 直线 ()B 抛物线 ()C 圆 ()D 双曲线2．以抛物线22(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是 （ ）()A 相交 ()B 相切 ()C 相离 ()D 以上三种均有可能3．抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 ．4．过定点)2,0(P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有1个公共点，则这样的直线l 共 有 条．5．设抛物线x y 42=的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为),(),,(2211y x B y x A ，若621=+x x ，那么=||AB ．6．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为 ．7．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，C 上动点P 到直线01243:=-+y x l 的最短距离为1，求抛物线C 的方程．8．,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥，（1）求,A B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB 过定点；（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程；（4）求AOB ∆面积的最小值；（5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

2.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O、焦点在x轴上的抛物 线C交于A，B两点，ΔOAB的垂心恰为抛物线的焦点，求 抛物线C的方程.
【解题回顾】(1)注意运用平面几何的知识 (2)平面几何中的垂直在解析几何中可转化为斜率之积为-1
3. 若 一 直 线 与 抛 物 线 y2=2px(p ＞ 0) 交 于 A 、 B 两 点 且 OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D(2，1)，求抛物线 的方程
第3课时 抛物线 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.抛物线的定义：平面内到定点F与到定直线l(F l )的距离 l 之比为1的点的轨迹叫做抛物线
2.抛物线标准方程的四种形式y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py，当p＞0时分别表示焦点在x轴上，开口向右、开 口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线
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课前热身
1.焦点在直线3x-4y+12=0上的抛物线的标准方程是________
y2=-16x或x2=12y ___________________ 2.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点， 8 若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______.
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8
【解题回顾】将实际问题量化，建立恰当的数学模型， 使用准确的语言加以描述，是数学应用能力的主要体现.
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误解分析
(1)不了解光学性质致使解题无法入手，由光学性质知PQ 为抛物线过终点的弦.
(2)目标函数的正确建立是解题之关键同时要能根据具体 目标函数选择适当的方法求最值.

抛物线复习讲义考情分析：本节内容是每年高考的必考内容，主要考查抛物线的定义、标准方程与几何性质或求轨迹问题、直线与抛物线的综合问题．选择题与填空题主要考查抛物线的性质，解答题则重点考查解析几何的思想方法以及数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想等题型．预测在2012-2013年高考中，选择题、填空题仍将以考查抛物线的标准方程与几何性质为主，解答题中主要有两种考查方式：一是轨迹问题，二是直线与抛物线的综合问题．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_______的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的_______，这条定直线l叫作抛物线的_______．思考感悟: 1．抛物线定义中的定点F若在定直线l上，动点集合还是抛物线吗？提示：若定点F在定直线l上，则动点集合为过F点且与定直线l垂直的直线，不是抛物线2．抛物线的标准方程与几何性质课前热身1．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是()A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x2．(2009年高考湖南卷)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)3抛物线y＝4x2的准线方程是()A．x＝－2 B．x＝－1C．y＝－18D．y＝－1164．(教材习题改编)点M到点F(2,0)的距离比它到直线x＝－1的距离大1，则点M满足的方程是________．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．考点突破：考点一：抛物线的定义及应用例一：设P是曲线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．【解】(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，故最小值为22＋1＝ 5.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|最小值为4.考点二：抛物线的标准方程与几何性质例2 (2010年高考福建卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【思路点拨】(1)将A点坐标代入C可求得p，进而求出准线方程．(2)假设存在，由两平行线间的距离可求出直线方程，通过l与C有交点验证可知是否满足题意．解： (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.变式训练1 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．考点三：直线与抛物线的位置关系 例.斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例.在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.方法技巧：1．抛物线的标准方程(1)p 的几何意义：p 是焦点到准线的距离，故p 恒为正数．(2)抛物线标准方程的形式特点： ①形式为y 2＝±2px 或x 2＝±2py ； ②一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”；(如课前热身2)(3)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ≠0)，前者不是抛物线的标准方程而是二次函数方程；(如课前热身3)(4)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，当焦点在x 轴上时可设为y 2＝mx ，当焦点在y 轴上时可设x 2＝my ，(m ≠0)．(如课前热身5) 失误防范1．首先要判断抛物线是否为标准方程3．要注意点F 不在直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．真题分析：(2010年高考湖南卷)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C.若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________. 解：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p 2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ，直角梯形ABCD 有一个内角为45°，故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32 p 2＝122，解得p ＝2.2x y =4x y 2=。

15.3抛物线【考纲要求】1、了解抛物线的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解抛物线的简单应用.4、理解数形结合的思想. 【基础知识】1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程和简单的几何性质图形方程 22(0)y px p =>22(0)x py p =>焦点 (,0)2p(0,)2p准线 2p x =-2p y =-范围 0,x y R ≥∈ ,0x R y ∈≥对称轴 x 轴y 轴顶点 原点 原点 离心率1e = 1e =图 形方程22(0)y px p =-> 22(0)x py p =->焦点 (,0)2p-(0,)2p -准线 2p x =2p y =范围0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≤对称轴 x 轴y 轴 顶点 原点 原点离心率1e = 1e = 3、求抛物线的标准方程一般用待定系数法，先定位，后定量。

如果不能确定，要分类讨论。

4、抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p表示焦点到顶点的距离。

5、抛物线的焦半径指的是抛物线上的点M 到焦点F 的距离MF 。

6、直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点。

过抛物线外一点，总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、抛物线的弦长公式：AB a∆= 弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线A B AB y y =-;公式中k 表示直线的斜率，a 是直线和双曲线的方程组消去y 后化简后20ax bx c ++=中2x 的系数，∆24b ac =-是20ax bx c ++=的判别式；20ax bx c ++=不一定是一元二次方程；如果是先消去x ，则弦长公式变为2AB a∆=，其中k 是直线的斜率，a 是20ay by c ++=中2y 的系数，∆是20ay by c ++=的判别式。