2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12(D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，x +20y -=37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====g(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=1a +由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).AB C DA 1B 1C 1D 1O【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B CD 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）3 （B ）3 （C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯=o g ,21122ACD S AD CD a ∆==g . 所以1313ACD ACD S DD DO a S ∆∆===g ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB •=-+u u u v u u u v此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x--•==+-≥u u u v u u u v 【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x •=-+-=-+--=+-≥u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(C)()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y •=-⋅--=-+-u u u v u u u v12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max 3V =.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合A ={x|−1<x ≤2}，B ={y|12<y ≤4}，则A ∩B =( ) A (12，2] B (−1,12) C (−1, 4] D [2, 4]2. 抛物线y =12x 2的焦点坐标是（ ） A (0, 1) B (12，0) C (0,12) D (0,18)3. 若m 、n 是空间两条不同直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，对于下列命题： ①m ⊥n ，α // β，m // α⇒n ⊥β②若m 、n 与所成的角相等，则m // n③m ⊥α，m ⊥n ⇒n // α④α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β其中正确命题的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 4. 以椭圆x 2169+y 2144=1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29−y 216=1的渐近线相切的圆的方程是（ ）A x 2+y 2−10x +9=0B x 2+y 2−10x −9=0C x 2+y 2+10x +9=0D x 2+y 2+10x −9=05. 已知曲线f(x)=13x 3+43，(x ∈R)，则过点P （2, f(2)）的切线方程为（ ） A 4x −y −4=0 B x −y +2=0 C 8x −y −12=0或x −y +2=0 D 4x −y −4=0或x −y +2=06. 集合M ={(x, y)|x ≥1}，P ={(x, y)|x −y +1≤0}，S ={(x, y)|2x −y −2≤0}，若T =M ∩P ∩S ，点E(x, y)∈T ，则u =x 2+y 2的最小值是（ ） A 1 B 2 C 25 D 57. 在△ABC 中，若AB =2，AC =3，则“∠ABC =π3”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件8.如图，△ABC 中，AB =4，AC =4，∠BAC =60∘，延长CB 到D ，使|BA →|=|BD →|，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →=λAB →+μAC →，则λ−μ的最大值是（ ） A 1 B √3 C 3 D 2√39. 设函数f(x)在定义域内可导，y =f(x)的图象如图所示，则导函数y =f′(x)可能（ ）A B C D10. 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i =1, 2, 3；j =1, 2, 3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A 37B 47C 114D 131411. 有一个地球同步卫星A 与地面四个科研机构B 、C 、D 、E ，它们两两之间可以相互发送信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A 不能同时向B 、C 发信息，它可以先发给B ，再发给C ），它们彼此之间一次接发信息所需时间如图所示，则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需最短时间为（ ）A 3B 4C 5D 612. 在平面直角坐标系中，定义{x n+1=y n −x ny n+1=y n +x n (n ∈N)为点P n (x n ,y n )到点P n+1(x n+1, y n+1)的一个变换为“γ变换”，已知P 1(0, 1)，P 2(x 2, y 2)，…，P n (x n , y n )，P n+1(x n+1, y n+1)是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n+1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A 31(2−√2)B 31(2+√2)C 31(√2+1)D 31(√2−1)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，请指导答案填在答题卡上） 13. 设a →，b →，c →是单位向量，且a →+b →=c →，则a →⋅c →的值为________．14.如图，F 1是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A 是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点A ，则双曲线的离心率的取值范围是________．15. 长方体ABCD−A1B1C1D1的对角线AC1长为√7，且在共顶点的三个侧面内的射影的长度分别为√6、a、b，则a+b的最大值为________．16. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且在[0, 2]上单调，若存在x0∈(0, 2)使f(x0)=0，则方程f(x)=0在x∈[2002, 2010]上所有根的和等于________．三、解答题（本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数f(x)=sin(π4x−π6)−2cos2π8x+1，x∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x的方程4f2(x)−mf(x)+1=0在x∈(43,4)内有实数解，求实数m的取值范围．18. 2009年我市城市建设取得最大进展的一年，正式拉开了从“两湖”时代走向“八里湖”时代的大幕．为了建设大九江的城市框架，市政府大力发展“八里湖”新区，现有甲乙两个项目工程待建，请三位专家独立评审．假设每位专家评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12，每个项目每获得一位专家“支持”则加1分，“不支持”记为0分，令ξ表示两个项目的得分总数．（1）求甲项目得1分乙项目得2分的概率；（2）求甲项目得分低于乙项目得分的概率．19. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC= AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．（1）求证：AF⊥CD；（2）求直线AC与平面CBE所成角的大小．20. 已知函数f(x)=x3−mx2+3x(m∈R)．（1）若f(x)在R上是增函数，求m的取值范围；（2）若m=3，且f(x)在区间[a, b](a<b)上的值域是[a, b]，求a，b的值．21. 已知数列{a n}满足：①{a nn }是公差为1的等差数列；②a n+1=n+2na n+1．(n∈N+)（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设C n=2√na n(n≥2)，求证：C1+C2+C3+...+C n<6．22. 如图，A、B分别是椭圆x24+y2=1和双曲线x24−y2=1的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4且k1+k2+k3+k4=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）（2）设F1、F2分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF1 // QF2，求k12+k22+k32+k42的值．2010年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）答案1. A2. C3. A4. A5. D6. A7. A8. C9. D10. D11. B12. C13. 1214. [√3，+∞)15. 416. 802417. 解：（1）f(x)=sin(π4x−π6)−2cos2π8x+1=sinπ4⋅cosπ6−cosπ4x⋅sinπ6−cosπ4x=√3 2sinπ4x−32cosπ4x=√3sin(π4x−π3)…∴ 函数f(x)的最小正周期为8．…令2kπ−π2≤π4x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得8k−23≤x≤8k+103，k∈z，故函数的单调递增区间为[8k−23,8k+103]，k∈Z…（2）设t=f(x)，∵ x∈(43, 4)，∴ π4x−π3∈(0,23π),∴ f(x)∈(0, √3]，∴ 方程4t2−mt+1=0在t∈(0, √3]内有实数解，即当t∈(0, √3]时方程有实数解．…∵ 4t+1t ≥4当且仅当t=12时取等号，∴ m≥4，…故实数m的取值范围是[4, +∞)．…18. 解：（1）甲项目得1分的概率为C31⋅12⋅(12)2，乙项目得2分的概率为C32⋅(12)2⋅12，∴ 甲项目得1分乙项目得2分的概率C31⋅12⋅(12)2⋅C32⋅(12)2⋅12=964．（2）甲项目得分低于乙项目得分包括：甲项目得0分乙项目得1分，甲项目得1分乙项目2分，甲项目得2分乙项目得3分．甲项目得分低于乙项目得分的概率为 18×78+964+[C 32⋅(12)2⋅12+(12)3]=38．P 2=18×78+38×48+38×18=1132，∴ 甲项目得分低于乙项目得分的概率为1132．…19.解：法一：（1）取CD 的中点G ，连接AG 、GF ，则GF // DE∵ AC =AD ，∴ AG ⊥GD… ∵ DE ⊥平面ACD ∴ DE ⊥CD ∴ GF ⊥CD … ∴ CD ⊥平面AGF ∵ AF ⊂平面AGF ∴ AF ⊥CD …（2）如图建立空间直角坐标系G −xyz ，则B(0, 1, √3)，C(−1, 0, 0)，E(1, 2, 0) CB →=(1,1,√3)，CE →=(2,2,0)，CA →=(1，0，√3) 设平面CBE 的法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅CE →=2x +2y =0˙设x =1，则n →=(1,−1,0)cos <CA →，n →>=|CA →|⋅|n →|˙=√24，∴ 直线AC 与平面CBE 所成角的大小为arcsin √24… 法二：（1）同解法一（2）∵ AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ∴ AB // DE延长DA 、EB 交于点P ，连接PC …∵ AB =1，DE =2∴ A 为PD 的中点，又G 为CD 的中点 ∴ PC // AG∴ PC ⊥CD ，PC ⊥DE ∴ PC ⊥平面CDE …∵ 点A 到平面PCE 的距离即为点D 到平面PCE 的距离的一半， 即ℎ=√22… 设直线AC 与平面CBE 所成角为θ， 则sinθ=ℎAC=√24， ∴ θ=arcsin√24… 20. 解：（1）∵ f(x)=x 3−mx 2+3x ∴ f ′(x)=3x 2−2mx +3… 若f(x)在R 上是增函数， 则f ′(x)≥0恒成立， 故△=4m 2−36≤0故m 的取值范围为−3≤m ≤3…（2）由（1）知m =3时，f(x)=x 3−3x 2+3x 在R 上是增函数 …f(x)在区间[a, b](a <b)上的值域是[a, b]，可得a ，b 为方程f(x)=x 的两不等根， 若f(x)=x ，则x 3−3x 2+3x =x 即x 3−3x 2+2x =0 即x(x −1)(x −2)=0 解得x =0，1，2…故{a =0b =1或{a =0b =2或{a =1b =2… 21. 解：（1）解法一：由条件{a 22−a11=1a 2=3a 1+1解得a 1=1，a 2=4… 又{an n}是公差为1的等差数列，∴a n n=1+(n −1)⋅1∴ a n =n 2…解法二：由a n+1=n+2na n+1+1得a n+1n+1=n+2n+1⋅a n n+1n+1，即an+1n+1−a n n=ann(n+1)+1n+1…又{a n n }是公差为1的等差数列，即an+1n+1−a n n=1∴ a n n(n+1)+1n+1=1从而a n =n 2…（2）C n =2√nn 2=n√n=n √n+n √n<(n−1)√n+n √n−1=√n(n−1)(√n−1+√n)∴ n ≥2时，C n <√n−√n−1)√n(n−1)=4(√n−1√n)∴ C 1+C 2+C 3+⋯+C n <C 1+4[(1−√2+(√2√3)+⋯+(√n−1√n)]=2+4(1−√n)<6…22. 解：（1）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 则k 1+k 2+k 3+k 4=y 1x1+2+y 1x1−2+y 2x 2+2+y 2x 2−2=2x 1y 1x 12−4+2x 2y 2x 22−4… 又x 12−4=−4y 12，x 22−4=4y 22所以k 1+k 2+k 3+k 4=2x 1y 2−4y 12+2x 2y 24y 22=x 22y 2−x12y 1=y 1x 2−y 2x 12y 1y 2…由k 1+k 2+k 3+k 4=0得y 1x 2−y 2x 1=0即(x 1, y 1) // (x 2, y 2)所以O 、P 、Q 三点共线 …（2）F 1(√3,0)，F 2(√5,0)由PF 1 // QF 2知|OP|:|OQ|=√3：√5 因为O 、P 、Q 三点共线， 所以x 12x 22=35…①…设直线PQ 的斜率为k ，则{x 124+k 2x 12=1x 224−k 2x 12=1得(14+k 2)x 12=(14−k 2)x 22…②由①②得 k 2=116 又k 1k 2=y 12x 12−4=y 12−4y 12=−14，k 3k 4=y 22x 22−4=y 224y 22=14…从而k 12+k 22+k 32+k 42=(k 1+k 2)2+(k 3+k 4)2−2(k 1k 2+k 3k 4)=2(k 1+k 2)2=2×(2x 2y 2−4y 12)2=12×(x 1y 1)2=12×1k 2=8…。
2010年高考数学真题 复数部分（含详细答案）1.【2010·江西理数】已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ）A.x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1D. x=1，y=22.【2010·全国卷2理数】复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A.34i -- B.34i -+ C.34i - D.34i +3.【2010·陕西文数】复数z =1i i+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.【2010·辽宁理数】设a,b 为实数，若复数11+2i i a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b == 5.【2010·浙江理数】对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+6.【2010·安徽文数】已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i7.【2010·浙江文数】设i 为虚数单位，则51i i -=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i 8．【2010·山东文数】已知()2,a i b i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 39.【2010·北京文数】在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10.【2010·四川理数】i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11.【2010·天津文数】i 是虚数单位，复数31i i+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i12．【2010·天津理数】i 是虚数单位，复数1312i i-+=+（ ） A.1＋i B.5＋5i C.-5-5i D.-1－i13.【2010·广东理数】若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.314.【2010·福建文数】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-1 15.【2010·全国卷1理数】复数3223i i+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.【2010·山东理数】已知2(,)a i b i a b i +=+2a i b i i +=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）A.-1B.1C.2D.317.【2010·安徽理数】i= （ ）A.14-B.14+C.12D.12 18.【2010·湖北理数】若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i +的点是（ ）A.EB.FC.GD.H1 【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2.2 【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算. 231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3 【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义. 1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4 【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121i i a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题.6 【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =选B.7 【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题.8 【答案】B9 【答案】C10 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1.11 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1. 331+24121-(1-)(1+)2i i i i i i i i +++===+（）() 12 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学(必修+选修)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos 300︒=(A)2-12(C)12(D)21.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1co s 300co s 36060co s 602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.x +20y -=【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫--=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111A B C A B C -中，若90B A C ∠=︒，1A B A C A A ==，则异面直线1B A 与1A C 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111A B C A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得A D A C =，则11A D A C 为平行四边形，1D A B ∠就是异面直线1B A 与1A C 所成的角，又三角形1A D B 为等边三角形，0160D A B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+b=1a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=+1a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b a b <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y xx'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，ABC DA 1B 1C 1D 1 O则12||||P F P F =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F=222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-()(22221212121212122221co s 60222P F P F P FP F P F PF F F P F P F P F P F +--+-⇒=⇒=12||||P F P F = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：122212126011co t1co tsin 6022222F P F S b P F P FP F P F θ∆=====12||||P F P F = 4（9）正方体A B C D-1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（A ） 3（B ）3（C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222A C D S A C A D ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1313AC DAC DS D D aD O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则1sin 3D O DD θ==,所以co s 3θ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，1111co s 1/3O O O O D O D ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D)c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21lo g 3, b=In2=21lo g e,而22lo g 3lo g 1e >>,所以a<b,c=125-1,222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log2=321lo g ,b =ln2=21lo g e, 3221lo g lo g 2e <<< ，32211112lo g lo g e<<<；c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A P B ∙的最小值为 (A) 4-+3-+(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，sin α=，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x xx -+，令P A P B y ∙= ，则4221x xy x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故m in ()3P A P B ∙=-+此时x =【解析2】设,0A P B θθπ∠=<<，()()2co s 1/tan co s 2P A P B P A P B θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sinsin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2s i n,012x x θ=<≤，()()1121233x x P A P B x x x--∙==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001A O P A x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233P A P B x x x x y x xx x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 33(C) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有AB C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,m ax h ==故m ax 3V =第Ⅱ卷注意事项：()()22210110111001,,2P A P B x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
