2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.2

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(1)证明 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB⊥PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE. 所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥PG. 又由已知可得，PA＝PB，从而 G 是 AB 的中点．
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(2)解 在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影． 理由如下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥PC，又 EF∥PB，所 以 EF⊥PA，EF⊥PC，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在 平面 PAC 内的正投影． 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是 正三角形 ABC 的中心．由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD＝23CG.
【例2】 (2016·全国Ⅰ文)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面 是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D， D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明：G是AB的中点； (2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求 四面体P－DEF的体积．
a2.
∴MN＝PQ＝ BP2＋BQ2＝ （1－CP）2＋BQ2
＝
1－

a22＋
a22＝

a－

222＋12(0＜a＜
2).
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(2)由(1)得 MN＝ 又 0＜a＜ 2，

a－

222＋12，
所以，当 a＝ 22时，MNmin＝ 22.故 M，N 分别移动到 AC，

2。

1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。

掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。

反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。

【证明】已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四 条直线.求证：a，b，c，d共面. 证明：(1)无三线共点情况，如图①. 设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R， b∩c=S. 因为a∩d=M，所以a，d可确定一个平面α.
因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α， 即b⊂α.
3.两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定.当三点在同一条直线上时，不能判定两 个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共 线的三点确定一个平面，可知两平面重合.
【探究总结】 知识归纳：
方法总结：证明共点、线、面问题的方法 (1)归一法：两个元素共点或线或面，然后推证第三个 元素归到一起. (2)重合法：三个元素两两定点或定线或定面然后推证 其重合.
【巩固训练】 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面 ABC1D1=E.求证：B，E，D1三点共线.
【证明】如图，连接A1B，BD1，CD1， 因为A1C∩平面ABC1D1=E， 所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1， 因为A1C⊂平面A1BCD1， 所以E∈平面A1BCD1，
同理c⊂α.所以a，b，c，d共面.
(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于 点K，与a分别交于G，F，E且K∉a，因为K∉a，K和a 确定一个平面，设为β.因为G∈a，a⊂β，所以G∈β. 所以GK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c， d共面.由(1)，(2)知a，b，c，d共面.
用文字语言描述：两点可定一直线；三点不共线，可⇓ຫໍສະໝຸດ 定一平面；两平面若有一个公共点
就会有无数个公共点.
用符号语言描述：A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒l⊂α；

直线与平面垂直的判定
学习目标.理解直线与平面垂直的定义.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一直线与平面垂直的定义
思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案不变，°.
梳理
定义如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直
记法⊥α
有关
直线叫做平面α的垂线，平面α叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足
概念
图示
画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(，与桌面接触)．如图，观察折痕与桌面的位置关系．
思考折痕与桌面一定垂直吗？
答案不一定．
思考当折痕满足什么条件时，与桌面垂直？
答案当⊥且⊥时，折痕与桌面垂直．
梳理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 ⊥，⊥，⊂α，⊂α，∩＝⇒⊥α
图形语言
知识点三直线与平面所成的角
有关概念
对应图形 斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线
斜足 斜线和平面的交点，图中点
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜
线在平面α上的射影为直线
直线与平面
所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是°；一条直线和平面平行，或。