第八章：空间解析几何与向量代数
一、重点与难点
1、重点
①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；
②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；
③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；
④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；
⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），
两直线的夹角、直线与平面的夹角；
2、难点
①向量积（方向）、混合积（计算）；
②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；
③空间曲线在坐标面上的投影；
④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）
⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；
⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；
二、基本知识
1、向量及其线性运算
①向量的基本概念：
向量:既有大小,又有方向的量；
向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.；
向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作
→
AB.向量可用粗体字母
表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F；向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、||→a、|
|→AB.
单位向量:模等于1的向量叫做单位向量；
向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b 平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共
线.
零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
共面向量：设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面；
两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时,两个向量之间的不超过π的夹
角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^
) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.；
②向量的线性运算
向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此
时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . :
平行四边形法则: 向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一
平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .
向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ; (2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).
负向量: 设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法: 把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→
AB 便是向量b 与a 的差b -a .
向量与数的乘法： 向量a 与实数λ的乘积记作规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的
方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. 当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的.
运算规律: (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb . 向量的单位化: 设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a . ，于是a =|a |e a .
定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b =
λa .
③空间直角坐标系
在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;
(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则.
坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.
卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做
第一卦限, 它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式: 任给向量r , 对应有点M , 使→
r =OM . 以OM 为对角线、三条坐标轴为
棱作长方体, 有 →
→
→
→
→
→
→
OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,
设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 则 →
k j i r z y x OM ++==.
上式称为向量r 的坐标分解式, x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量. 点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系 →
) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r .
有序数x 、y 、z 称为向量r (在坐标系Oxyz )中的坐标, 记作r =(x , y , z ); 向量→
OM =r 称为点M 关于原点O 的向径. ④利用坐标作向量的线性运算 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )
a +
b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ). λa =(λa x , λa y , λa z ).
利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa ,
即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是
z
z
y y x x a b a b a b ==. ⑤向量的模、方向角、投影 设向量r =(x , y , z ), 作→
r =OM , 则 向量的模长公式
222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2),
→
→
→
OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1),
A 、
B 两点间的距离公式为：→
212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==. 方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.
||cos r x =α, ||cos r y
=β, |
|cos r z =γ.
从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα. cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.
投影的性质:
性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );
