2014·山东卷(理科数学)含解析

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编40：函数的单调性与导数一、选择题1 ．(2012年高考(辽宁文))函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)2 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ）A ．是偶函数,且在(,+)-∞∞上是减函数B ．是偶函数,且在(,+)-∞∞上是增函数C ．是奇函数,且在(,+)-∞∞上是减函数D ．是奇函数,且在(,+)-∞∞上是增函数3 ．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数,则()f x '的图像是4 ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有2()()0xf x f x x'-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集是 （ ）A ．(-2,0)∪(2,+∞)B ．(-2,0)∪(0,2)C ．(-∞,-2)∪(2,+∞)D ．(-∞,-2)∪(0,2)5 ．(2013大纲版高考数学(理))若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是（ ）A ．[-1,0]B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞6 ．（2011年高考（山东理））函数2sin 2xyx =-的图象大致是7 ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x R ∈,'()2f x >,则()24f x x >+的解集为 （ ）A ．(-1,1)B ．(-1,+∞)C ．(-∞,-l)D ．(-∞,+∞)8 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有C()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<9 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）己知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为()y f x '=,则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．411[,1][,6]33- B ．7[3,0][,5]3- C ．411[4,][1,]33-- D ．[4,3][0,1][5,6]- 10．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示,则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ）A ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞B ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞C ．(,2)(1,2)-∞-⋃D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞11．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是（ ）A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定12．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）函数sin e ()x yx =-π≤≤π的大致图象为10题13．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）函数()32f x x bx cx d=+++的大致图象如图所示,则2212x x+等于（）A．89B．109C．169D．28914．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）函数()f x的图像如图,'()f x是()f x的导函数,则下列数值排列正确的是（）A．0f'(2)f'(3)f(3)f(2)<<<-B．0f'(3)f(3)f(2)f'(2)<<-<C．0f'(3)f'(2)f(3)f(2)<<<-D．0f(3)f(2)f'(2)f'(3)<-<<15．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知函数xxxf sin21)(2+=,则)('xf的大致图象是(A) (B) (C) (D)16．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）定义在R 上的函数()f x 满足(1)()0(1),(1)x f x x y f x '-<≠=+且为偶函数,当12|1||1|x x -<-时,有（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x ≥C ．12()()f x f x <D ．12()()f x f x ≤二、填空题17．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设=)(x f R x x x ∈+,3,当02πθ≤≤时,0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是 ___________________18．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知函数)(x f 的定义域[-1,5],部分对应值如表,)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示,下列关于函数)(x f 的命题; ①函数)(x f 的值域为[1,2]; ②函数)(x f 在[0,2]上是减函数;③如果当],1[t x -∈时,)(x f 的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④当21<<a 时,函数a x f y -=)(最多有4个零点. 其中正确命题的序号是______________.三、解答题19．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）(本小题满分14分)已知2,()()(,xa R f x x ax e x R e -∈=-+∈函数为自然对数的底数).(I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a 的取值范围;(III)函数f(x)是否为R 上的单调函数,若是,求出a 的取值范围:若不是,请说明理由.20．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数2()(0,R)af x x x a x=+≠∈(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)若()f x 在区间[)2,+∞是增函数,求实数a 的取值范围.21．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）设函数()()2()2ln 11f x x x =---.(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根,求实数a 的取值范围.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编40：函数的单调性与导数参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 2. D 【解析】因为()sin ()f x x x f x -=--=-,所以函数为奇函数.函数的导数'()1cos 0f x x =+≥,所以函数在(,+)-∞∞上是增函数,选D.3. A4. D5. D 由条件知21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭恒成立 函数212y x x =-在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数,max 21123312()2y a <-⨯=⇒≥ 6. 解析:函数2sin 2x y x =-为奇函数,且12cos 2y x '=-,令0y '=得1cos 4x =,由于函数cos y x =为周期函数,而当2x π>时,2sin 02x y x =->,当2x π<-时,2sin 02xy x =-<,则答案应选C.7. B 【解析】设()()(24)F x f x x =-+, 则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=,'()'()2F x f x =-,对任意x R ∈,有'()'()20F x f x =->,即函数()F x 在R 上单调递增,则()0F x >的解集为(1,)-+∞,即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞,选B.8. 【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)af a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C.9. C10. B11. 【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C.12. 【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除A,C.函数的导数为sin 'cos x y e x =⋅由得cos 0x =,此时2x π=或2x π=-.当02x π<<时,'0y >,函数递增.当2x ππ<<时,'0y <,函数递减,所以2x π=是函数的极大值,所以选D.13. C 【解析】函数过原点,所以0d=.又(1)0f -=且(2)0f =,即10b c -+-=且8420b c ++=,解得1,2b c =-=-,所以函数()322f x x x x =--.所以()2'322f x x x =--,由题意知12,x x 识函数的极值点,所以12,x x 是'()0f x =的两个根,所以1223x x +=,1223x x =-,所以2221212124416()2939x x x x x x +=+-=+=.14. B 【解析】'(2)f 的几何意义为在(2'(2))f ，处切线斜率,'(3)f 的几何意义为在(3'(3))f ，处切线斜率,(3)(2)(3)(2)32f f f f --=-,所以(3)(2)f f -的几何意义范围点(2'(2))f ，与点(3'(3))f ，连线割线的斜率,由图象可知,0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-<,选B.15. B 【解析】'()cos f x x x =+,所以'()cos f x x x =+非奇非偶,排除A,C.'()cos 2222f ππππ=+=,即点(,)22ππ,选B16. A 二、填空题 17. 1m <18. ①②④ 【解析】由导数图象可知,当01<<-x 或42<<x 时,0)('>x f ,函数单调递增,当20<<x 或54<<x ,0)('<x f ,函数单调递减,当0=x 和4=x ,函数取得极大值2)0(=f ,2)4(=f ,当2=x 时,函数取得极小值)2(f ,,又(1)(5)1f f -==,所以函数的最大值为2,最小值为1,值域为[1,2],①正确;②正确;因为在当0=x 和4=x ,函数取得极大值2)0(=f ,2)4(=f ,要使当],1[t x -∈函数)(x f 的最大值是4,当52≤≤t ,所以t 的最大值为5,所以③不正确;由a x f =)(知,因为极小值(2) 1.5f =,极大值为(0)(4)2f f ==,所以当21<<a 时,a x f y -=)(最多有4个零点,所以④正确,所以真命题的序号为①②④.三、解答题 19.20.解(1)当a=0时,2()f x x =为偶函数;当0a ≠时,()f x 既不是奇函数也不是偶函数(2)2()2af x x x '=-,要使()f x 在区间[)2,+∞是增函数,只需当2x ≥时,()0f x '≥恒成立,即220a x x-≥,则[)3216,a x ≤∈+∞恒成立,故当16a ≤时,()f x 在区间[)2,+∞是增函数21.方法2:∵()()2()2ln 11f x x x =---,∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=即()2ln 11a x x =---,令()()2ln 11h x x x =---, ∵23()111xh x x x -'=-=--,且1x >, 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得.∴()h x 在区间[2,3]内单调递增,在区间[3,4]内单调递减第11页，共11页 ∵()23h =-,()32ln 24h =-,()42ln 35h =-,又()()24h h <,故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<.即2ln352ln 24a -≤<-.综上所述,a 的取值范围是[)2ln 35,2ln 24--所以⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===432423c b a c b a 或。

山东省济南市2014届高三3月考模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合A={||1|2x x -<}，B={2|lg()x y x x =+}，设U=R ，则A (U ðB)等于( )(A) [3，+∞) (B) (-1，0] (C) (3，+∞) (D) [-1，0] 【答案】B 【解析】试题分析：解：{}{}=1213A x x x x -<=-<<(){}{}{}22lg 01,0B x y x x x x x x x x ==+=+>=<->{}10U B x x =-≤≤ð (){}{}{}131010UAB x x x x x x =-<<-≤≤=-<≤ð所以应选B考点：1、不等式的解法；2、集合的运算.2．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)12 【答案】B 【解析】试题分析：解：由三视图可知该几何体是四棱锥，其底面是长为3，宽为2的矩形，高为2， 所以11322433V sh ==⨯⨯⨯= 故应选B.考点：1、空间几何体的三视图与直观图；2、棱锥的体积.3．已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是( )(A)1122i + (B) 1122i - (C) 1122i -+ (D) 1122i -- 【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()z 1+i =1，所以，()()111111122i z i i i i -===-++-,11=+22z i故选：A考点：1、共轭复数的概念；2、复数的运算. 4．函数sin sin x x x x -+sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是( )【答案】A 【解析】试题分析：解：因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称；应排除B 、D 又因为，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<<+,sin ln 0sin x xx x-<+故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、 正弦函数的性质；3、对数函数的性质量. 5．执行右面的程序框图，输出的S 的值为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C 【解析】试题分析:解：运行第一次：3log 4,4,27S k k ==< 成立； 运行第二次：343log 4log 5log 5,5,27S k k =⋅==< 成立； 运行第三次：353log 5log 6log 6,6,27S k k =⋅==< 成立； ……………………………………………………………………运行第23次：3253log 25log 26log 26,26,27S k k =⋅==< 成立； 运行第24次：3263log 26log 27log 273,27,27S k k =⋅===< 不成立； 输出S 的值为3. 考点：循环结构.6．在△AB C 中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cosB 的值为( ) (A) 13 (B) 12 (C) 15 (D) 14【答案】D 【解析】试题分析：解：由正弦定理：sin 3,sin c C a A== 由余弦定理：22225153512cos 2224244c ac a c b c B ac ac a -+-===⨯-=-= 故应选D.考点：1、正弦定理；2、余弦定理.7．如图，设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P 落在∆AOB 内的概率是( )(A)56 (B)45 (C)34 (D)23【答案】C 【解析】试题分析：解：设抛物线21y x =-+与x 轴正半轴及y 轴的正半轴所围成的区域的面积为S 则1231012=(-1)|33S x dx x x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭⎰111122AOB S ∆=⨯⨯=设事件N =“随机往M 内投一点P ，则点P 落在∆AOB 内”则,()132243AOB S P N S∆===故选:C.考点：1、定积分；2、几何概型.8．已知221,02(),(),20x x g x ax a f x x x ⎧-≤≤=+=⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使12()()g x f x =成立，则a 的取值范围是( )(A)[-1，+∞) (B)[-1，1] (C)(0，1] (D)(-∞，l]【答案】B 【解析】试题分析：解：由题意知函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集； 因为当[]0,2x ∈时，2113x -≤-≤当[)2,0x ∈-时,240x -≤-<所以函数()f x 的值域是[][)[]1,34,04,3--=-所以，423423a a a a -≤-+≤⎧⎨-≤+≤⎩解得：413x -≤≤故选B.考点：1、分段函数；2、函数的值域；3、等价转化的思想.9．已知点M(x ，y)是平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值是( )(A)10 (B)495【答案】D【解析】试题分析：解：点M(x ，y)所在的平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩如下图中的阴影部分，设点P 的坐标为(1,1)--222(1)(1)PM x y =+++由图可知当最大时，点M 应在线段AB 上；而()()222112113PB =+++=()()222210110PA =+++=22(1)(1)x y +++的最大值是13.故应选D.考点：1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2、两点间的距离公式.10．已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( ) (A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C)(13，+∞) (D)(0，+∞) 【答案】C 【解析】 试题分析：解：椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c根据题意：22PF c =,1122222PF a c a c =-=+因为在等腰三角形21F PF 中,1221F F PF PF +>,所以，12422,422c a c c a c >->+ 所以，11113ce a <=<,21e > 所以，1213e e >故选C.考点：1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.11．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 辆．【答案】20 【解析】试题分析：解：()500.01100.031020n =⨯⨯+⨯= 故答案应填：20考点：频率分布直方图.12．设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 ． 【答案】210x y --=或2110x y +-= 【解析】试题分析：解：设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 的坐标为()35，,设P点的坐标为()0,b ,因为A 是线段BP 的中点，2AP AB r ==,3CP r ==即：()()(2223-0+5-b =,解得：1b =-或11b =当1b =-时，直线l 的方程为：105130y x +-=+-,即210x y --= 当11b =时，直线l 的方程为：11051130y x --=--,即2110x y +-= 所以答案应填：210x y --=或2110x y +-=考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程.13．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答)． 【答案】300 【解析】试题分析：解：因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1，2，3，4，5的五项实验任选一个放在第一项，有15A ;第二步：从剩下的五实验中任取三个放在第二、三、四项，有35A 种不同的方法；第三步：最后剩下两个实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为：13551300A A ⋅⋅=所以答案应填：300考点：分步乘法计数原理与排列组合.14．在△ABC 中，E 为AC 上一点，且4A C A E =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量(),a m n =的模为 ．【解析】试题分析:解：14BE AE AB AC AB =-=-,()1BP AP AB m AB nAC =-=-+ 因为,,B P E 三点共线，设AP BE λ=,则()11=4m AB nAC AC AB λ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，其中01λ<<所以14m n λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩1111414m m n n λλλλ=-⎧⎪⇒⇒+=+=⎨-=⎪⎩()431λλλ--, ()()431f λλλλ-=-令，则()()()()224311f λλλλλλ''-⋅--'=-⎡⎤⎣⎦（）（）=()()22-3-8+41λλλλ-⎡⎤⎣⎦=()()()2-23-2-1λλλλ-⎡⎤⎣⎦当2=3λ时，()0f λ'= 当203λ<<时，()0f λ'<, ()f λ在区间203⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数 当213λ<<时，()0f λ'>，()f λ在区间213⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数所以当2=3λ时，()f λ取得最小值，从而11m n +取得最小值，此时，11,36m n ==所以，2a m =+==故答案应填6考点：1、向量的几何运算；2、共线向量；3、导数在研究函数性质中的应用. 15．已知下列命题：①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“m//α”是“αβ⊥”的充要条件； ②351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(-2<ξ<0)=1-2p ； ④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立，则m 的取值范围是(-∞，2)；⑤已知奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，且0<x<2π时()f x x =，则函数()()s i n g x f x x =-在[2π-，2π]上有5个零点．其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)． 【答案】③ 【解析】试题分析：解：①因为m β⊥,所以，由//m ααβ⇒⊥成立，但由m αββ⊥⊥，,可得到//m α或m α⊂,所以//m αβα⊥⇒不成立，故该命题为假命題；②351()x x+的展开式中第1r +项()531541551rrrr r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭， 令15-43r =，解得3r =，所以有3345T C x ==310x ，351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为10而不是60；故该命题是假命题.③由随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则()()22P P p ξξ≤-=≥=, 所以，()2212P p ξ-<<=- 所以()()12002p 2P P ξξ-<<=<<=-；该命题是真命题； ④因为()32325x x x x ++-≥+--= 所以有，215m +≤,解得2m ≤由此可知④是假命.⑤因为奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，所以，()(2)(+)=f x f x f x ππ+=-,故函数()f x 是周期函数，且2T π=；同样由奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()()f x f x f x f x ππ+=-⇒-=所以函数()f x 的图象关于直线2x π=对称；因为奇函数()f x 满足当0<x<2π时()f x x =得当-02x π<<时, ()f x x =,又因为()00f =由以上条件在同一坐标系中画出函数()y f x =和sin y x =的图象如下图,则两图象在区间[]-22ππ，内交点的个数就是函数()()sin g x f x x =-在区间[]-22ππ，内的零点的个数；但由于33,,,2222f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值不能确定，故零点的个数不能确定， 所以该命题是假命题.所以答案应填③考点：1、命题；2、直线与平面的位置关系；3、二项式定理；4、正态密度曲线的性质；5、函数的性质与函数的零点.16．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(1)求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．【答案】(1) (),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 最大值2【解析】试题分析：(1)首先利用三角恒等变换将函数解析式()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>化为()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据周期公式确定ω的值.最后利用正弦函数的单调性求出()f x 的单调递增区间(2)由3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⇒72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 216x π⎛⎫⇒≤-≤ ⎪⎝⎭()22f x ⇒≤≤ 试题解析：解：(1)()24cos sin 1cos 2cos 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3分 最小正周期是22ππω= 所以，1ω=从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5分 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+ 7分所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦8分(2)当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,61212x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 9分()2sin 2262f x x π⎤⎛⎫=-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦11分所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2、2分 考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数()sin y A x ωϕ=+的性质；17．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=2，M 为棱PB 的中点．(1)证明：DM ⊥平面PBC ；(2)求二面角A —DM —C 的余弦值． 【答案】(1) (2) 13-【解析】试题分析：(1) 连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，要证DM ⊥平面PBC ，只要证DM PB ⊥，BC DM ⊥即可，由题设可得DM 是等腰PDB ∆的底边上的中线，所以DM PB ⊥；另一方面由1DG GC BG ===又可得出90DBC ∠=BC BD ⇒⊥考虑到PD ⊥平面ABCD ⇒ BC PD ⊥⇒ BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥；问题得证. (2)根据空间图形中已知的垂直关系，可以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，写出点,,,A C D M ,分别求出平面ADM 的一个法向量1n 和平面CDM 的一个法向量2n ，利用向的夹公式求二面角A —DM —C 的余弦值 试题解析：证明：连接BD ，取DC 的中点G ，连接BG ，由此知1DG GC BG ===，即DBC ∆为直角三角形，故BC BD ⊥ 又PD ⊥平面ABCD ，故BC PD ⊥所以，BC ⊥平面BDP ，BC DM ⊥ 2分又PD BD PD BD ==⊥，M 为PB 的中点DM PB ∴⊥ 4分 PB BC B = 5分DM ∴⊥平面PBC 6分以D 为坐标原点，射线DA 为x 正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 7分则()()()(1,0,0,1,1,0,0,2,0,,A B C P从而11,,222M ⎛ ⎝⎭设(),,n x y z =是平面ADM的一个法向量，则110000222x n DA x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()11n =- 8分同理，设()2,,n u v w =是平面CDM 的一具法向量,则22000022y n DC x y z n DM =⎧⎧⋅=⎪⎪⇔⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ∴可取()22,0,1n =- 9分121cos ,3n n <>= 2分显然二面角A DM C --的大小为钝角，所以二面角A DM C --的余弦值为13-. 12分考点：1、直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式；4、二面角的概念与法向量的求法.18．一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．． (1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (2)从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1) 128(2) ①881②13181【解析】试题分析：(1)从袋中不放回地取球，连续取4次，有49A 个不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，恰好取4次停止，说明前三次有一次是白球，共有113363C C A 个不同的结果，所以，根据古典概型的概率公式得113363149C C A P A =； (2) 从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率()13P A =，取到白球的概率是()23P A = 连续有放回地取n 次，相当于n 次独立重复试验；①求恰好取5次停止的概率P 2；说明前四次有两次发生，第五次一定发生；22224121333P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，随机变量ξ的所以可能取值集合是{}0,1,2,3 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-即可求出随机变量ξ分布列，并由数学期望的公式计算出E ξ. 试题解析：解：(1)113363149128C C A P A == 4分 (2)①22224121833381P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6分 ②随机变量ξ的取值为0,1,2,3;由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()231511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()328080173124381P ξ++==-=随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 考点：1、古典概型；2、独立重复试验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为2. (1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有121117 (4)n S S S +++<． 【答案】(1) 221,n n a n S n =-=； (2)见解析 【解析】试题分析：(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设列方程组，解出1,a d ，进而求出n a 和n S ;(2)放缩法裂项求和并证不等式：思路一：()21111111n S n n n n n=<=--- 思路二：()()221111*********n S n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪--+-+⎝⎭试题解析：解：(1)解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，74849,22S a a =+=所以有，117214921022a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得，11,2a d == 4分 所以221,n n a n S n =-= 6分 解法二：744749,7S a a ==∴= 1分48822,15a a a +=∴= 2分8424a a d -∴== 3分 1431a a d =-= 4分所以221,n n a n S n =-= 6分 (2)证明：方法一：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ ①当2n =时，1211171,44S S +=+<∴原不等式亦成立 7分 ②当3n ≥时，()21n n n >-，()2111111n n n n n ∴<=--- 9分 ()222121111111111124231n S S S n n n ∴+++=+++<++++⨯-＝11111111423211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝111142n ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦＝714n - 2分 74< 12分 方法二：由（Ⅰ）知，2*,n S n n N =∈ 当2n ≥时，()()()()221111111,11211n n n n n n n n ⎡⎤>-+∴<=-⎢⎥-+-+⎣⎦ 8分 ()()()2221211111111111121324211n S S S n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯--+ ＝1111111111112132435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝1111112121n n ⎡⎤++--⎢⎥+⎣⎦＝7111421n n ⎡⎤+--⎢⎥+⎣⎦2分74<12分 考点：1、等差数列；2、裂项求和；3、放缩法证明不等式.20．已知椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点1)，离心率为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB ⋅=-，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】(1)22184x y += (2) 直线AB经过定点⎫⎪⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1) 椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点M(，1)22611a b ⇒+=,c e a =⇒= 且有222a b c =+ ，通过解方程可得222,,a b c 从而得椭圆的标准方程.(2) 设()()1122,,,,A x y B x y 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+由()22222214280184y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩⇒2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++另一方面：(21222PA PB x x y y ⋅=-⇒+=-⇒()(()221212162kx x km x x m +++++=-通过以上两式就不难得到关于,k m 的等式，从而探究直线,y kx m =+是否过定点； 至于直线AB 斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可. 试题解析： 解：(1)由题意得2c a =①因为椭圆经过点)M ，所以22611a b +=② 又222a b c =+③由①②③解得2228, 4.a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=. 4分 (2)解：①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为,y kx m =+代入22184x y +=，消去y 整理得()222214280k x kmx m +++-= 6分 由0∆>得22840k m +->（*）设()()1122,,,,A x y B x y 则2121222428,2121km m x x x x k k -+=-⋅=++所以，((()()212212PA PB x x y y x x kx m kxm ⋅=+=-+++=()(()221212162k x x km x x m +++++=- 8分得()(()221212180k x x km x x m ++-+++=()(222222841802121m km k km m k k --+⋅+⋅++=++整理得)20+=从而3m k =-且满足（*）所以直线AB 的方程为3y k x ⎛=-⎝⎭10分故直线AB 经过定点3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2分②当直线AB 与x 轴垂直时，若直线为x =，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎭ 、⎝⎭，亦有2PA PB ⋅=- 12分综上，直线AB 经过定点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 13分考点：1、椭圆的标准方程；2、向量的数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数2()(1)xf x k x e x =-+．(1)当时1k e=-，求函数()f x 在点(1，1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数2()(2)g x x k x =++的图象恒在()f x 的导函数'()f x 图象的上方，求k 的取值范围；(3)当k≤-l 时，求函数()f x 在[k ，l]上的最小值m 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i2．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4)3．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞)4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 36．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．47．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．210．已知a>b>0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x±2y ＝0 B.2x±y ＝0 C ．x±2y ＝0 D ．2x±y ＝0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．12．在△ABC 中，已知＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．13．三棱锥P-ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D-ABE 的体积为V 1，P-ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．15．已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．(本小题满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．17．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．18．(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．21．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选D 根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．解析：选C |x －1|<2⇔－2<x －1<2，故－1<x <3，即集合A ＝(－1,3)．根据指数函数的性质，可得集合B ＝[1,4]．所以A ∩B ＝[1,3)．3．解析：选C (log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 4．解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．解析：选D 根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．6．解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为7．解析：选C 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.8．解析：选B 在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k<1.9．解析：选B 解法一 不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．解法二 把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4.10．解析：选A 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x±2y ＝0.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11． 解析：12－4×1＋3≤0，x ＝2，n ＝1；22－4×2＋3≤0，x ＝3，n ＝2；32－4×3＋3≤0，x ＝4，n ＝3；42－4×4＋3>0，此时输出n 值，故输出的n 值为3.答案：312．解析：根据平面向量数量积的概念得＝cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得＝23，故△ABC 的面积为12·sin π6＝16.答案：1613．解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E-ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.14．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 6a b －r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：215．解析：函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得h (x )＋g (x )2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立．令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 17．解：(1)因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解法一：连接AC ，MC ，由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形． 可得BC ＝AD ＝MC ， 由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB . 以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz .所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)． 因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，设平面C 1D 1M 的法向量n ＝(x ，y ，z )．得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 解法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N .由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB -C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°， 可得CN ＝32. 所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 18．解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分 ”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.19．解析：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋120．解析：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减， x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)， 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减． x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22，综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 21．解析：由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝ 4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

山东省滨州市北镇中学2014届下学期高三年级4月阶段性检测考试数学试卷（理科）一．选择题.本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数11iz i+=-，则2121i z +-的共轭复数是A ．12i -- B ．12i -+ C ．12i - D ．12i + 2.已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}01=-=mx x B ，若B B A = ，则所有实数m 组成的集合是A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=； （2）():1;()f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p AB B = :U U qC B C A ⊆；（4）:2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点.A ．(1)(3)B ．(3)(4)C ．(3)D ．(4)4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.方程22123x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是A ．23m <<B ．30m -<< 或02m <<或3m >C ．3>m 或23<<-mD ．23m <<或3m <-6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是 A ．22,23 B ． 23,22 C ．23,23D ．23,247.下面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤8..函数)2ln(sin )(+=x xx f 的图象可能是9.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．,,,O A B M 四点共线10.二项式3(ax的展开式的第二项的系数为22a x dx -⎰的值为 A.3 B. 73 C. 3或73 D. 3或103-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11.设不等式组0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是 ．12.已知命题[]2:1,4,p x x a ∀∈≥,命题,022,:2=-++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 且”是真命题,则实数a 的取值范围为 . 13.如图，已知球O的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O 的体积与表面积的比为 ．14.函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是 ．15.过双曲线()222210,0x y b a a b-=>>的左焦点()(),00F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长EF 交双曲线右支于点P ，若E 是FP 的中点，则双曲线的离心率为____.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围. 17.（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ．且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==．（Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ; （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分13分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21.(本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+ []1,x e ∈. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；理科数学 参考答案及评分标准一、,BACCD CBAAC二、11.18π-12. 1a =或2a ≤- 13. 9 15.2三．解答题17.解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=. …………4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分则22215(2)()()339P ξ==+=…………6分 12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分 1221216(6)()3381P C ξ=== …………9分 所以随机变量ξ的分布列为ξ246P5920811681………10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=…………12 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC平面ADEB AB =,平面DEFG平面ADEB DE =,AB ∴∥DE ………1分 又,AB DE =∴四边形ADEB 为平行四边形，BE ∴∥AD ……2分 AD ⊥面,DEFG BE ∴⊥平面.DEFG ……3分（Ⅱ）设DG 的中点为M ，连接,AM MF ，则122DM DG ==， 2,EF EF =∥DG ,∴四边形DEFM 是平行四边形…………4分∴MF DE MF =且∥DE ，由（Ⅰ）知，ADEB 为平行四边形，∴AB DE =且AB ∥DE ,∴AB MF =且AB ∥MF ,∴四边形ABFM 是平行四边形，…………5分即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ,故 BF ∥平面ACGD ；…………6分 （Ⅲ）由已知，,,AD DE DG 两两垂直，建立如图的空间坐标系，则ABCD EG FM(0,0,4),(2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)A B C F∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC =-=- 设平面FBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1124020n BF y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，则1(1,2,1)n =，而平面ABC 的法向量2(0,0,4)n DA ==∴121212cos ,||||nn n n n n ⋅<>=⋅＝==由图形可知，二面角F BC A --的余弦值12分20.解:= ………………2分整理得2212x y +=，所以曲线C 的方程为2212x y +=………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线l 的方程为(2)y k x =+.设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段EF 的中点为G 00(,)x y ，由22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)8820k x k x k +++-=由2222(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->解得22k -<<．…(1) …………7分 由韦达定理得2122812k x x k -+=+，于是1202x x x +==22412k k -+，0022(2)12k y k x k =+=+ ……………8分 因为2024012k x k =-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1211,C B C B ,方程分别为1,1y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即22222224112122411212k k k k k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ ………………10分解得1122k -≤≤，……………(2) 由（1）（2）知，直线l斜率的取值范围是[………………12分 21．解：（Ⅰ）若1a =，则()ln f x x x =+，/11()1x f x x x+=+=， -----------1分∵[]1,x e ∈∴/()0f x >，∴()f x 在[]1,e 上为增函数， -----------2分∴max ()()1f x f e e ==+ -----------3分 （Ⅱ）要使[]1,x e ∈，()0f x ≤恒成立，只需[]1,x e ∈时，max ()0f x ≤ 显然当0a ≥时，()ln f x ax x =+在[]1,e 上单增，∴max ()()10f x f e ae ==+>，不合题意； -----------5分 当0a <时，/11()ax f x a x x+=+=，令/()0f x =，1x a =- 当1x a <-时，/()0f x >，当1x a>-时，/()0f x < -----------6分 ①当11a -≤时，即1a ≤-时，()f x 在[]1,e 上为减函数∴max ()(1)0f x f a ==<，∴1a ≤-； -----------7分 ②当1e a -≥时，即10a e -≤<时，()f x 在[]1,e 上为增函数 ∴max 1()()10,f x f e ae a e ==+≤≤-，∴1a e =-； -----------8分 ③当11e a <-<时，即11a e -<<-时，()f x 在11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单增，()f x 在1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单减 ∴max 11()()1ln()f x f a a =-=-+- ∵11e a <-<，∴10ln()1a <-<，∴1()0f a -<成立； -----------9分 由①②③可得1a e ≤- ----------10分。