【配套K12】2017_2018版高中数学第1讲优穴六多因素方法二练习新人教A版选修4_7

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理[课时作业][A组基础巩固]1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是( )A．2 B．6C．9 D．8解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：C3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A．3种B．6种C．7种D．9种解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．答案：C4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( ) A．30个B．42个C．36个D．35个解析：第一步，取b，有6种方法；第二步，取a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理得，共有6×6＝36种方法，即虚数有36个．答案：C5．如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A．288种B．264种C．240种D．168种解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，分为两类；一类是B 与E 或D 同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一种是B 与E 和D 均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种． 答案：B6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N ＝5×6×4＝120.答案：1207．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2名参加校学生会的竞选，其中至少有1名女生当选的选法种数是________．解析：至少有1名女生当选有两种可能：(1)参加竞选的有1名女生，有4×3＝12种选法；(2)参加竞选的有2名女生，有3种不同选法．因此至少有1名女生当选的选法为12＋3＝15(种)．答案：158．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．解析：分两步：第一步，先选垄，共有6种选法．第二步：种植A 、B 两种作物，有2种选法．因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种)．答案：129．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ∈{1,2,3,4,5,6,7}，b ∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？解析：依题意按a ，b 的取值分为6类，第一类：a ＝2，b ＝1；第二类：a ＝3，b ＝1, 2；第三类：a ＝4，b ＝1,2,3；第四类：a ＝5，b ＝1,2,3,4；第五类：a ＝6，b ＝1,2,3,4,5；第六类：a ＝7，b ＝1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得：这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20个．10．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每个年级选1人成为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解析：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选法；第二类，从高二年级选一人，有6种选法；第三类，从高三年级选一人，有4种选法．由分类加法计数原理得，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选法；第二步，从高二年级选一人，有6种选法；第三步，从高三年级选一人，有4种选法．由分步乘法计数原理得，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理得，共有30＋20＋24＝74种选法．[B组能力提升]1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，选B.答案：B2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A、B的值，则形成的不同直线有( )A．18条B．20条C．25条D．10条解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B ＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．答案：A3．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案.解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理得，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4804．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有________个．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，有9个三角形；……当y取6时，x＝6，有1个三角形．所以，所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：365．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？解析：分两类情况：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．6．7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中选出会下象棋和会下围棋的各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？解析：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N1＝3×2＝6(种)．第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N2＝3×2＝6(种)．第三类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N3＝2×2＝4(种)．第四类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名参加象棋比赛和围棋比赛，有N4＝2种．综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种).。

专题七平面向量的实际背景与线性运算（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设,CB a CA b ==，则AM =（ ） A. -21 B. +21 C. 12a b - D. 12a b + 【答案】A. 【解析】12AM AC CM b a =+=-+，∴选A. 2.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】设D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，则( )A. 2AD AE =B. 3AD AE =C. 2AD EA =D. 3AD EA =【答案】D【解析】由D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，得：26AD AE =-， 3AD AE =-，即3AD EA = 故选：D3.在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）A ．AB DC =B ． AD AB AC +=C ．AB AD BD -=D ．AD CD BD +=【答案】C【解析】由向量的有关知识可知AB DC =，AD AB AC +=，AD CD BD +=正确．而AB AD BD -=错误．选C.4. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B.13C.1D.2 【答案】B 6. 设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则A ．0PA PB += B ．0PB PC +=C ．0PC PA +=D ．0PA PB PC ++=【答案】C 【解析】因为P 是ABC ∆所在平面内一点， 2BC BA BP +=，所以P 是AC 的中点，则0PC PA +=.7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM 【答案】D【解析】由已知得，1111,,,,2222OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+ 而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D .8.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③0a λ＝ (λ为实数)，则λ必为零．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B9.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若， 都是单位向量，则=． ③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是（ ）A ．① B．② C．①和③ D ．①和④【答案】A【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误解：根据零向量的定义可知①正确； 根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与向量互为相反向量，故③错误； 方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误， 故选A.10.【2018届山东省青岛市胶南市第八中学高三上学期期中】在ABC ∆中，若2AB AC AP +=，则PB =（ ）A. 1322AB AC -+B. 1322AB AC -C. 1122AB AC -D. 1122AB AC -+ 【答案】C 【解析】由2AB AC AP +=得， AP = 12AB AC +（），所以111222PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-（）,故选Ｃ．11. 已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B . 12.【2018届河南省南阳市高三上学期期中】已知O 是ABC ∆所在平面内的一定点，动点P 满足(),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

二正交试验的应用一、基础达标1.已知某化学反应中较重要的因素有因素A——催化剂的种类，因素B——催化剂的量，因素C——溶剂的用量，因素D——反应时间.各因素的取值如下表：试验目的是找出影响该化学反应产率的主要因素.选用下列哪种正交表( )A.L4(23)B.L8(27)C.L9(34)D.L16(45)解析四因素二水平，故选正交表L8(27).答案为B.答案 B2.下图为正交试验设计中绘制的产量与因素关系图，下列叙述错误的是( )A.最佳组合为(A2，B1，C2)B.因素B的影响最大C.因素C的影响最小D.因素A中A1优于A2解析由图可知k21＞k11.∴A2优于A1，所以答案为D.答案 D3.下列说法不正确的是( )A.正交试验的优点之一是可以降低成本B.正交试验的优点之一是通过试验找到因素的最佳组合并且最佳组合在所做试验中C.正交试验的优点之一是用最少次数的试验结合统计分析，确定影响试验结果的主要因素D.正交试验的优点之一是对影响试验结果的因素进行全面考察解析正交试验是部分试验代替全面试验，可能会影响结果的判断，故最佳组合不一定在所做的试验中，B错.答案 B4.关于正交表的特性，下列说法不正确的是( )A.任一因素的任一水平与其他因素的每一水平相碰一次，且仅碰一次，搭配均匀B.各因素的最优水平组合，一定是正交表中某一试验号的搭配组合C.每一列中，不同的数字出现的次数相等，即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相等D.任意两列，任何两因素的各种水平搭配，在试验中出现的机会均相等解析正交试验目的是找出各因素对试验结果影响的大小，从而找到各因素最优水平的组合，但最优组合一般不会是在正交表中某一试验点的搭配组合.答案 B5.用正交表对某化学反应中的反应结果进行分析，所得部分的数据已填写在下表：则这个化学反应中，最优组合是__________.解析因为k11＞k21，k12＞k22，k23＞k13，所以最佳组合为A1B1C2.答案A1B1C26.用正交表对某化学反应中的反应结果进行分析，所得部分的数据已填写在下表：则表中a ＋b ＝__________，b ＋d ＝__________.解析 由表可知⎩⎪⎨⎪⎧K 11＝a ＋b ，K 22＝b ＋d .又∵K 11＝2k 11＝122，K 22＝2k 22＝126， ∴a ＋b ＝122，b ＋d ＝126. 答案 122 126 二、能力提升7.下面给出的正交试验结果表中，已知K 12＝125，k 23＝39，指标值越大越好，则y 4＝__________，y 9＝__________.解析 ∵K 12＝125＝45＋y 4＋44，∴y 4＝36.k 23＝13(33＋y 4＋y 9)＝13(69＋y 9)＝39，∴y 9＝48.答案 36 488.如果一个3因素2水平的正交试验表如下：完成上表，找出最优组合，并指出影响试验结果的最主要因素.解最佳组合为(A2，B1，C1).∵R1＞R2＞R3，∴最主要因素为A.9.某化工厂为提高产品的产量，经过分析研究，决定考察反应温度应时间B，催化剂C对产品质量的影响，每个因素选取3个不同的水平，选用正交表L9(34)安排试验，根据试验结果，得到如图所示的.(1)求k pq，p，q＝1，2，3；(2)求R1，R2，R3；(3)确定影响产量的主要因素；(4)确定使产量最高的最优生产条件.解(1)由因果关系图可知k11＝15.3，k21＝17.4，k31＝21.3，k12＝17.1，k22＝19.5，k32＝17.4，k13＝16.5，k23＝20.1，k33＝17.4.(2)R1＝max{15.3，17.4，21.3}－min{15.3，17.4，21.3}＝21.3－15.3＝6.0，R2＝max{17.1，19.5，17.4}－min{17.1，19.5，17.4}＝19.5－17.1＝2.4，R3＝max{16.5，20.1，17.4}－min{16.5，20.1，17.4}＝20.1－16.5＝3.6.(3)因为R1＞R3＞R2，故3个因素的主次关系为→C→.(4)因为max{k11，k21，k31}＝k31，max{k12，k22，k33}＝k22，max{k13，k23，k33}＝k23，故根据直观分析法得到的使产量最高的最优生产条件为A3B2C2.三、探究与创新10.某厂生产液体葡萄糖，要对生产工艺进行优选试验，因素及其水平如下表：试验指标为产量(kg)，越高越好，用正交表L9(34)安排试验，将各因素依次放在正交表的1～4列上.9次试验所得结果依次如下：498，568，568，577，512，540，501，550，510.请找出最好的生产方案及影响结果中的最主要的因素.解将各数据及有关计算值列表如下：从表中可知，最好的生产方案是(A1，B2，C2，D3)，即选用粉浆浓度为16%，粉浆酸度为pH＝2，稳压时间为5 min，工作压强为3.2×105 Pa.各因素中影响最主要的是工作压强.。

配套K12内容资料 配套K12内容资料 第一章 计数原理

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A．7种 B．8种 C．6种 D．9种 解析：选A 要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法，共有2＋3＋2＝7种不同的买法． 2．若A3m＝6C4m，则m等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C 由m(m－1)(m－2)

＝6·mm－m－m－4×3×2×1，解得m＝7. 3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合的个数为( ) A．24 B．36 C．26 D．27 解析：选C C14C13＋C14C12＋C13C12＝26. 4．(山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 解析：选B 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数的个数共有9×9×8＝648，∴有重复数字的三位数的个数共有900－648＝252.

5．(辽宁高考)使3x＋1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) A．4 B．5 C．6 D．7

解析：选B 由二项式定理得，Tk＋1＝Ckn(3x)n－k·1xxk＝Ckn3n－kx52nk－，令n－52k＝0，配套K12内容资料 配套K12内容资料 当k＝2时，n＝5，此时n最小． 6．五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同排法共有( ) A．12 B．20 C．24 D．48 解析：选C 先排除C，D外的商品，利用捆绑法，将A，B看成一个整体，有A22A22种排法，再将C，D插空，共有A22A22A23＝24种排法． 7．从1,2,3,4,5,6这六个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2必须排在3前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A．108个 B．102个 C．98个 D．96个 解析：选A 从1,2,3,4,5,6这六个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数共有A36