函数序列与函数项级数习题课(一)

的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠

1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:

第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。

⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。

解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。

(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。

第十章函数项级数§1 函数项级数的一致收敛性(1)一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。

二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。

三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P68 1（5）（7）一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.1.逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“”定义.例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且例2 .用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .（1）. .（2）.（3）设为区间上的全体有理数所成数列. 令, .（4）. , .（5）有, ,. （注意.）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛, , .( 介绍另一种形式.)证( 利用式)易见逐点收敛. 设,……,有. 令, 对D成立, 即, ，D.推论1 在D上, ，.推论2 设在数集D上, . 若存在数列 D , 使, 则函数列在数集D上非一致收敛 .应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数―在数集D上的最值点.验证函数一致收敛性:例4. 证明函数列在R内一致收敛.例5. 证明在R内, 但不一致收敛.证显然有,在点处取得极大值,. 由系2 , 不一致收敛.例6 . 证明在内, .证易见而在内成立.由系1 , ……例7 对定义在区间上的函数列证明: , 但在上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.证时, 只要, 就有. 因此, 在上有. , .于是, 在上有. 但由于, , 因此, 该函数列在上不一致收敛.例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:; ⑵.例9 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题?教学后记：第十章函数项级数§1 函数项级数的一致收敛性（2）一、本次课主要内容函数项级数一致收敛性。