人教A版数学必修一新课标高中数学(必修1)第二章：基本初等函数1(基础训练)题

习题课　基本初等函数(Ⅰ)学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案　D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限解析　因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案　C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.124385解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)124332125212121212＝lg 10＝.1212答案　124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析　∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案　(－∞，3]类型一　指数与对数的运算【例1】　计算：(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；329(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.13(－78)4312解　(1)原式＝log 3－3＝2－3＝－1.22×8329(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.521161811014380规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】　计算：(1)－0＋0.25×－4；3(－4)3(12)12(－12)(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72.4273解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.122(2)原式＝log 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.14721472214类型二　指数、对数型函数的定义域、值域【例2】　(1)求函数y ＝x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(12)(2)已知－3≤x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．log1232x 2x4解　(1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，(12)t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为.(12)(12)[132，12](2)∵－3≤x ≤－，∴≤log 2x ≤3，log123232∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝2－.x2x4(log2x －32)14当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，32f (x )min ＝－.14规律方法　函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 21＋x 21－y1＋y 域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】　(1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 21－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析　(1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，x ≤1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，log12log12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案　(1)[0,1)　(2)(－∞，2)类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】　(1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A ． B ． C ．(1，)D ．(，2)(0，22)(22，1)22解析　(1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知12只需2<log a x ，∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，12∴Error!解得<a <1，故选B ．22答案　(1)A (2)B规律方法　函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】　(1)函数y ＝Error!的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析　(1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <，23综上所述，a 的取值范围是.(0，23)答案　(1)B (2)(0，23)类型四　比较大小问题【例4】　比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】　(1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝2，b ＝3，c ＝0.3，则( )log13log12(13)A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析　(1)∵a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝20.3>20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝2<0，b ＝3<0，3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．log13log12log12log12log13(13)答案　(1)C (2)D类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】　已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范1＋2x ＋a ·4x3围．解　因为f (x )＝lg在x ∈(－∞，1]上有意义，1＋2x ＋a ·4x3所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x ＋(12)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．[(14)x ＋(12)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.(14＋12)34因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.34故所求a 的取值范围为.(－34，＋∞)规律方法　函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】　函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解　(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.12121．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

2．2.2 对数函数及其性质(二)1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于( )A．4B．8C．16D．2log8413．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．]3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1.作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x≤2，即12≤2x≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.]5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)，故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12log (x －1)＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．C [∵f (x 1x 2…x 2010)＝log a (x 1x 2…x 2010)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22010)＝log a (x 21x 22…x 22010)＝2log a (x 1x 2…x 2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.。

（数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC U I UB ．()()A B AC U I U C ．()()A B B C U I UD ．()A B C U I4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 。

3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________．A B C4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。

第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算基础过关练题组一 对数的概念与性质及运用 1.2-3=18化为对数式为 ( )A.lo g 182=-3 B.lo g 18(-3)=2C.log 218=-3D.log 2(-3)=182.给出下列说法: ①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确说法的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.43.若log 2[log 3(log 4x )]=0,则x 等于 ( ) A.4 B.16 C.64 D.2564.(2020辽宁高一月考)已知4a =3,b =log 23,则4a -b = ( )A.3B.1C.12D.135.(2020四川双流中学高一开学考试)e ln 3+(18)-23= .(其中e 是自然对数的底数,e=2.718 28…)6.计算:22+log 23+32-log 39= .题组二 对数的运算7.(2020江西南昌十中高一期中)若ab >0,且ab ≠1,则下列等式中正确的是 ( )A.lg (ab )=lg a +lg bB.lg a b=lg a -lg bC.12lga b2=lg a bD.lg (ab )=1log 10(ab )8.(2020福建福州第一中学高一期末)若函数y =√a -a x (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485= ( ) A.1 B.2 C.3 D.49.(2020广西北流实验中学高一开学考试)计算:log 225·log 52√2= ( ) A.3 B.4 C.5 D.610.(2020浙江绍兴高一期末)已知a =log 25,4b =9,则2a +b = ,log 53= (用a ,b 表示). 11.计算:(1)(log 43+log 83)×lg2lg3; (2)log 5√2×log 79log 513×log 7√43+log 4(√3+√5-√3-√5)2.题组三 对数运算的综合运用 12.已知lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则(lg a b)2的值是 ( )A.1B.2C.3D.413.若x log 32=1,则4x -2-x = .14.若log 34·log 48·log 8m =ln 1e,则m 的值为 .15.若lg x -lg y =a ,则lg (x 2)3-lg (y 2)3的值为 .16.(2020浙江嘉兴第五高级中学高一期中)16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b =N ⇔b =log a N.①若a =log 23,则2a +2-a= ;②若2a =3,3b =2,则ab = .17.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度v 与耗氧量x 之间满足函数关系式v =a log 2x10.若两岁燕子的耗氧量达到40个单位时,其飞行速度为10 m/s ,则当两岁燕子的飞行速度为25 m/s 时,耗氧量达到 个单位.能力提升练一、选择题1.(2020湖南师范大学附属中学高一期中,)已知函数f (x )={log 2(x -1)(x >1),(13)-x(x ≤1),则f (54)+f (log 312)的值是 ( )A.-12B.-32C.2D.522.(2020安徽安庆一中高一月考,)设x ,y ,z 为正数,且2x =3y =5z ,则 ( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z3.(2020陕西西安中学高一上期中,)根据有关资料显示,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1082,则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )A.1033 B .1053 C.1091 D .10934.(2020山东高一月考,)科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等份,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,……,如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段长度的1 000倍,则至少需要构造的次数是(取lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0)( )A.16B.17C.24D.25 二、填空题5.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,)计算:log 26-log 23-3log 312+(14)-12=.6.(2021山西大联考高一第一次月考,)若函数f (x )=e |2x -m |,且f (2x -1)=f (1-2x ),则f (ln 3)+f (-ln 3)= .7.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,)5-12·5log 5√5-log 37·log 79+log 126+log 122= . 8.(2020山东淄博高一上期末质量检测,)已知a >0,且a ≠1,log a 2=x ,则a x = ,a 2x +a -2x = .9.(2021江苏镇江中学高一开学考试,)已知a ,b 均为正实数,若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a b= .10.(2020山东东营第一中学高一月考,)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=32lg E 1E 2,其中星等为m k ,星的亮度为E k (k =1,2).(1)若E 1=10 000E 2,则m 1-m 2= ;(2)若太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.5,则太阳与天狼星的亮度的比值为 . 三、解答题 11.()(1)计算:log 3√27+lg 25+lg 4+(-9.8)0+lo g (√2-1)(3-2√2);(2)已知lg x +lg y =2lg (x -2y ),求lo g √2y -lo g √2x 的值.12.(2021河南南阳中学高一月考,)已知x ,y ,z 为正数,3x =4y =6z ,且2x =py.(1)求p ; (2)求证:1z -1x =12y.答案全解全析第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算基础过关练1.C2.C3.C4.D 7.C 8.C 9.A 12.B 1.C 根据对数的定义知选C .2.C ①③④正确,②不正确,只有a >0,且a ≠1时,a x =N 才能化为对数式.3.C 由log 2[log 3(log 4x )]=0,得log 3(log 4x )=1,∴log 4x =31=3,∴x =43=64,故选C .4.D 因为b =log 23,所以2b =3,所以4b =(2b )2=32=9,所以4a -b =4a ×14b =3×19=13. 5.答案 7解析 e ln 3+(18)-23=3+22=7.6.答案 13 解析22+log 23+32-log 39=22×2log 23+323log 39=4×3+99=12+1=13. 7.C 对于A ,a <0,b <0时,ab >0,但是lg a ,lg b 无意义,故该等式不正确; 对于B ,a <0,b <0时,a b >0,但是lg a ,lg b 无意义,故该等式不正确; 对于C ,ab >0⇒a b>0,按照对数的运算法则,该等式正确; 对于D ,由换底公式得,lg (ab )=log ab(ab )logab10=1log ab10,故D 不正确.故选C . 8.C 由题意可得a -a x ≥0,则a x≤a ,由定义域为[0,1],可得a >1, 所以y =√a -a x 在定义域上单调递减, 因为值域是[0,1],所以f (0)=√a -1=1,f (1)=0,所以a =2,所以log a 56+log a 485=log 256+log 2485=log 28=3.故选C . 9.A log 225·log 52√2=log 252·log 5232=2×32×log 25×log 52=3,故选A . 10.答案 15;b a解析 由a =log 25,得2a =5,由指数的运算,可知4b =22b =9,则(2b )2=32,所以2b =3,所以2a +b =2a ×2b =5×3=15. 因为2b =3,所以b =log 23,由换底公式可知log 53=log 23log 25=ba. 11.解析 (1)原式=(lg3lg4+lg3lg8)×lg2lg3 =lg32lg2×lg2lg3+lg33lg2×lg2lg3 =12+13=56. (2)原式=log 5√2log 513×7log 7√43+log 4(√3+√5-√3-√5)2=lo g 13√2×lo g √439+log 4(3+√5+3-√5-2√32-5) =lg √2lg 13×lg9lg413+log 4(6-2×2)=12lg2-lg3×2lg323lg2+log 42=-32+12log 22 =-32+12=-1. 方法技巧利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系,对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.12.B 由一元二次方程根与系数的关系,得lg a +lg b =2,lg a ·lg b =12,所以(lg ab )2=(lg a -lg b )2=(lg a +lg b )2-4lg a ·lg b =22-4×12=2.故选B . 13.答案263解析 由题得x =log 23,即2x =3,所以2-x =13,4x =9,所以4x -2-x =263. 14.答案13解析 由已知及换底公式可得lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8=-1, 所以lg m =-lg 3,故m =13. 15.答案 3a解析 lg (x2)3-lg (y2)3=3lg x 2-lg y 2=3[(lg x -lg 2)-(lg y -lg 2)]=3(lg x -lg y )=3a.16.答案 ①103②1 信息提取 ①a b =N ⇔b =log a N ;②a =log 23,2a =3,3b =2.数学建模 以对数的发明为情境,构建指数与对数模型,由指、对互化及对数的换底公式求值.解析 ①若a =log 23,则2a =3,所以2a +2-a =2a +12a =3+13=103. ②若2a =3,3b =2,则a =log 23,b =log 32,所以ab =log 23×log 32=lg3lg2×lg2lg3=1. 17.答案 320解析 由题知,当x =40时,v =10,代入v =a log 2x 10,可得10=a log 24010=2a , 所以a =5,因此v =5log 2x 10. 将v =25代入上式,得25=5log 2x 10,解得x =10×25=320.能力提升练1.B2.D3.C4.D一、选择题1.B f (54)=log 2(54-1)=log 214=log 22-2=-2, ∵log 312<1,(13)-x=3x,∴f (log 312)=3log 312=12,∴f (54)+f (log 312)=-32.故选B . 2.D 令2x =3y =5z =k (k >1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k.∴2x 3y =2lgk lg2·lg33lgk =lg9lg8>1,则2x >3y , 2x 5z =2lgk lg2·lg55lgk =lg25lg32<1,则2x <5z ,∴3y <2x <5z.故选D . 方法技巧对于“连等”问题,常见的方法是令该“连等”为同一个常数,再用这个常数表示出对应的x ,y ,z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.C lg M N =lg M -lg N =lg 3361-lg 1082=361×lg 3-82≈361×0.48-82=91.28. ∴M N≈1091,故选C . 4.答案 D信息提取 ①理解“构造”过程,发现构造过程中线段长度的变化规律;②根据最终达到的状态(折线长度达到初始线段长度的1 000倍),求构造的次数.数学建模 以科赫曲线为情境,构建指数函数模型,由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为(43)na ,由此得到(43)n≥1 000,利用对数运算法则可知n ≥32lg2-lg3,由此计算得到结果.解析 记初始线段长度为a ,则“一次构造”后的折线长度为43a ,“二次构造”后的折线长度为(43)2a ,……,以此类推,“n 次构造”后的折线长度为(43)na ,若得到的折线长度为初始线段长度的1 000倍,则(43)na ≥1 000a ,即(43)n≥1 000,∴lg (43)n=n lg 43=n (lg 4-lg 3) =n (2lg 2-lg 3)≥lg 1 000=3,即n ≥32×0.3010-0.4771≈24.02, ∴至少需要25次构造.故选D . 二、填空题 5.答案52解析 原式=log 26-log 23-12+(2-2)-12=log 263-12+21=1-12+2=52. 6.答案 18解析 由f (2x -1)=f (1-2x ),可知函数f (x )=e |2x -m |的图象关于y 轴对称,则m 2=0,得m =0,故f (x )=e |2x |, f (ln 3)+f (-ln 3)=2f (ln 3)=2e 2ln 3=18. 7.答案 0解析 原式=√5×√5-log 37·log 732+log 1212=1-2log 37·log 73+1=1-2+1=0. 8.答案 2;174解析 由log a 2=x ,得a x =2,从而a -x =12. 又a 2x +a -2x =(a x +a -x )2-2,∴a 2x +a -2x =2+122-2=254-2=174. 9.答案 2或12解析 令t =log a b ,则t +1t =52, ∴2t 2-5t +2=0,即(2t -1)(t -2)=0, ∴t =12或t =2,∴log a b =12或log a b =2,∴a =b 2或a 2=b , ∵a b =b a ,∴2b =a =b 2或b =2a =a 2, ∴b =2,a =4或a =2,b =4,∴a b =2或a b =12. 10.答案 (1)6 (2)10-16.8信息提取 ①星等与亮度满足m 1-m 2=32lg E 1E 2,E 1=10 000E 2;②太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.5,根据公式求太阳与天狼星的亮度的比值.数学建模 以天体的明暗程度为情境,构建星等与亮度的函数关系,把已知数据代入m 1-m 2=32lg E 1E 2中,应用对数的运算性质求解. 解析 (1)把E 1=10 000E 2代入m 1-m 2=32lg E 1E 2中,得到m 1-m 2=6. (2)设太阳的星等是m 1,天狼星的星等是m 2,则m 1=-26.7,m 2=-1.5,由题意可得,-26.7-(-1.5)=32lg E 1E 2, 所以lg E 1E 2=-16.8,则E 1E 2=10-16.8. 三、解答题11.解析 (1)原式=log 32712+lg 52+lg 22+1+lo g (√2-1)(√2-1)2=32+2×(lg 5+lg 2)+1+2=132. (2)依题意得x >0,y >0,x -2y >0,∴0<y x <12. 又lg x +lg y =2lg (x -2y ),∴xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0, 又x >0,∴4(yx)2-5(y x )+1=0, 解得y x =14或y x=1(舍去), 因此log √2y -log √2x =log √2yx=log √214=-212=-4.12.解析 (1)设3x =4y =6z =k (显然k >0,且k ≠1), 则x =log 3k ,y =log 4k ,z =log 6k. 由2x =py ,得2log 3k =p log 4k =p ·log 3klog 34.∵log 3k ≠0,∴p =2log 34.(2)证明:1z -1x =1log 6k -1log 3k=log k 6-log k 3=log k 2,又12y =12log k 4=log k 2,∴1z -1x =12y. 拓展延伸在运用换底公式时,可以结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论,如log a b ·log b a =1,log a b ·log b c ·log c d =log a d ,lo g a m b n =n m log a b ,log a a n =n ,lg 2+lg 5=1等(其中a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,c >0,且c ≠1,d >0,m ≠0).。