(精选)概率论和数理统计期末考试试题

《概率论和数理统计》期末试卷 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) (1)设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 (A)0)(ABP (B))()(APBAP (C)0)(BAP (D))()()(BPAPABP (2)某人花钱买了CBA、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(CpBPAp 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08 (3)),4,(~2NX),5,(~2NY}5{},4{21YPpXPp，则 (A)对任意实数21,pp （B）对任意实数21,pp (C)只对的个别值，才有21pp （D）对任意实数，都有21pp (4)设随机变量X的密度函数为)(xf，且),()(xfxf)(xF是X的分布函数， 则对任意实数a成立的是 （A）adxxfaF0)(1)( （B）adxxfaF0)(21)( （C）)()(aFaF （D）1)(2)(aFaF (5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为 （A）EYEX (B)2222][][EYEYEXEX (C)22EYEX (D) 2222][][EYEYEXEX 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(AP,3.0)(BP,4.0)(BAP,则___________)(BAP. (2) 设随机变量X有密度其它010,4)(3xxxf,则使)()(aXPaXP 的常数a= (3) 设随机变量),2(~2NX，若3.0}40{XP,则}0{XP (4) 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从)51,1(N，如果随机变量X-aY+2 满足条件 ])2[()2(2aYXEaYXD ， 则a=__________. (5) 已知X～),(pnB,且8)(XE,8.4)(XD, 则n=__________. 三、解答题 （共65分） 1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率 (2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？

2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为  ，　其它040,20),6(),(yxyxkyxf

求：（1）常数k （2）)4(YXP 3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 .,0;10,1)(其它xxfX .0,0;0,)(yyeyfyY 求:随机变量YXZ的概率密度函数. 4、（8分）设随机变量X具有概率密度函数 其他，,0;40,8)(xxxfX 求：随机变量1XeY的概率密度函数.

5、（8分）设随机变量X的概率密度为：

xexfx21)(，

求:X的分布函数．

6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？

7、(10分)设)1,0(~),1,0(~NYNX，且相互独立1,1YXVYXU， 求:（1）分别求U,V的概率密度函数； （2）U,V的相关系数UV； ……………………………… 装 ……………………………… 订 ………………………………… 线 ………………………………

《概率论与数理统计》试卷标准答案和评分标准

一、选 择 题（5×3分） 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A B B

二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、 421 3、 0.35 4、 3 5、 20

三、 计 算 题（65分） 1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”

易见的一个划分是321,,BBB-----------------------------------------------------------------------------------2分

(1) 由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131iiiiiBAPBPABPAP-------------------5分 (2) 由Bayes公式有：69250345.0%5%25)()()()()(31111iiiBPBAPBPBAPABP-----------------------------------------------------10分

2、解：（1）由于1),(dxdyyxf，所以1)6(4020dyyxkdx，可得241k ----------------------------------------------5分 （2）98)16621(241)6(2412204020dxxxdyyxdxx ----------------------------------------------------------10分 3、解：由卷积公式得dxxzxfzfZ),()( ， 又因为X与Y相互独立，所以dxxzfxfzfYXZ)()()(-----------------------------------------------------------3分 当0z时，;0)()()(dxxzfxfzfYXZ -----------------------------------------------------------------------5分 当10z时，;1)()()(0)(zzxzYXZedxedxxzfxfzf------------------------------------------------------7分 当1z时，);1()()()(10)(eedxedxxzfxfzfzxzYXZ

所以 ;1)1(10100)()()(zeezezdxxzfxfzfzzYXZ-----------------------------------------------------------10分

4、解：1XeY的分布函数).(yFY )1ln()())1ln(()1()()(yXXYdxxfyXPyePyYPyF -----------------------------------------------------2分







.1,1;10),1(ln161;0,0442yeeyyy

-----------------------------------------------------------------------6分

于是Y的概率密度函数.,0;10,)1(8)1ln()()(4其他eyyyyFdydyfYY --------------------------------------------------8分 5、 解： xdttfxF)()( 当txtedtexFx2121)(,0------------------------------------------------------------------------------------3分 当txttedtedtexFx211][21)(,000 ----------------------------------------------------------------------8分

6、解 由条件知)2.0,5(~BX，即5,,1,0,8.02.05}{5kkkXPkk ------------------------------------------------------ 3分 3,2;2,0;1,5;0,10)(XXXXXgY -----------------------------------------------------------------------------6分

)(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(50万元XPXPXPXPXPXPkXPkgXEgEYk ----------------------------------------------------------- 9分

7、解：（1）因为)1,0(~),1,0(~NYNX，且相互独立，所以1,1YXVYXU都服从正态分布， 11)1(EEYEXYXEEU 2)1(DYDXYXDDU --------------------------------------------------------------3分

所以 )2,1(~NU，所以 4241)(uUeuf 同理 11)1(EEYEXYXEEV 2)1(DYDXYXDDU

所以 )2,1(~NV，所以 4241)(uVeuf -----------------------------------------------------------------5分 （2）)12()1)(1(22XYXEYXYXEEUV 12))(()(122222EXEYDYEXDXEXEYEX 1 -------------------------------------------8分