某大学概率论和数理统计期末考试试题答案1

5. 如果 X , Y 满足 D ( X + Y ) = D ( X − Y ) ，则必有 （
）
(A) X 与 Y 独立 答案：B 解答 由方差的性质可以知道，
(B) X 与 Y 不相关
(C) DY = 0
(D) DX = 0
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2COV ( X , Y ),
(D) P( AB) ≠ P( A) P( B)
P ( A | B ) = P ( AB ) / P ( B ), P ( A | B ) = P ( A B ) / P ( B ) = [1 − P ( A) − P ( B ) + P ( AB )] /[1 − P ( B )]
对 P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1, 去分母得到 P ( AB ) = P ( A) P ( B ). 将上式带入选项，显然只有 A. 2. 设 X ~ N 2,σ , 且 P (0 < X < 4) = 0.5 ，则 P ( X < 0 ) = （
X ,Y服从正态分布
6. 若 X ~ U (−1,5) ，方程 x + 2 Xx + 5 X − 4 = 0 有实根的概率 答案：
2
。
1 2
解答： 方程 x + 2 Xx + 5 X − 4 = 0 有实根，则由根与系数的关系有
2
∆ = b 2 - 4ac = 4 x 2 - （ 4 5x - 4） = 2 x 2 - 5x + 4 ≥ 0 ⇒ x < 1 or x > 4
又 D ( X + Y ) = D( X − Y ) ，所以
cov （ x， y） = -cov （ x ， y），即 cov （ x， y） =0
有协方差和变量之间的关系有， X 与 Y 不相关。
6. 设随机变量 X k (k = 1,2 ⋯) 相互独立,具有同一分布, EX k = 0,
DX K = σ 2 , 且EX k4 存在, k = 1,2,⋯ 对任意ε > 0, 正确地为
解：由题意知：离散型随机变量 X 的可能取值是：-1，1，3，---------------------------------2 分
因为离散型随机变量的分布函数 F ( x) =
xi < x
∑p
i
,得-----------------------------------------------4 分
2
(
)
）
(A) 0.65 答案：D 解答:
(B) 0.45
(C) 0.95
(D) 0.25
因为 X ~ N 2,σ , P (0 < X < 4) = 0.5 ，由正态分布的对称性知道
(
2
)
P ( −∞ < x < 2) = 0.5, P (0 < x < 2) = 0.25, 显然P ( X < 0) = 0.25 得到答案
(A) lim(
n →∞
（
）
1 n 2 ∑ Xk −σ 2 < ε) ≤1 n k =1 1 n Xk −σ 2 < ε) =1 ∑ n k =1
(B) lim(
n →∞
1 n 2 ∑ Xk −σ 2 < ε) =1 n k =1 1 n Xk −σ 2 < ε) = 0 ∑ n k =1
(C) lim(
x
当
x 1 0 1 x ≥ 0, F ( x ) = [ ∫ e t dt + ∫ e −t dt = 1 − e −t ----------------------------------------------------4 分 0 2 −∞ 2
(2) P ( −10 < X < 15) = F (15) − F ( −10) = 1 −
i=n i=n ⎛ i =n ⎞ 若X i ~ N µ i , σ i2 , 则∑ ai xi ~ N ⎜ ∑ µ i , ∑ ai2σ i2 ⎟。（ i = 1,2...n） i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠
(
)
又设 X ~ N (0,1), 令 Y = − X − 2 ，则 Y ~ N (−2,1)
3 ⎞ ⎛ −1 1 X ~⎜ ⎜ 0.4 0.3 0.3 ⎟ ⎟ ----------------------------------------------------------------6 分 ⎝ ⎠
3. 设随机变量 X 的概率密度函数为：
f ( x) =
求：1) X 的概率分布函数，
1 −x e , − ∞ < x < +∞ 2
1. 设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占 94%、3%、2%、1%， ，四个等级的发芽率依
次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求这批麦种的发芽率。
若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？
解： B = {能发芽}
Ai = {取的是第 i 等品} i = 1,2,3,4 ,
易见 A1 , A2 , A3 , A4 是Ω的一个划分 ------------------2 分
n →∞
(D) lim(
n →∞
答案：B 解答 由 大 数 定 理 有 ， 随 机 变 量 X k (k = 1,2 ⋯) 相 互 独 立 , 具 有 同 一 分 布 , 有 相 同 的 期 望
EX k = 0, 方差 DX K = σ 2 , 那么 lim(
n →∞
1 n 2 ∑ X k − σ 2 < ε ) = 1。 n k =1
所以 Z ~ N ( 2,12) ,套用正态分布的密度公式 f ( x ) =
5. X , Y 相互独立
（一定有 或 未必有） X , Y 不相关。
答案： 解答：
一定有
由相互独立的定义有， X , Y 相互独立，则 P ( XY ) = P ( X ) P (Y ) ......(1)
由不相关的定义有， X , Y 不相关，则 (1)→(2),(2) ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ (1) 所以填一定有
1 −15 1 −10 e − e ------------------------------------6 分 2 2
4. 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ⎨
⎧ Ax, 0 < x < 1,0 < y < x 其他 ⎩ 0,
求：1) A；
1 1⎞ ⎛ 2) P⎜ X < , Y < ⎟ ； 4 2⎠ ⎝
3. 设 X 的分布函数为 F ( x ) ，则 Y = 3 X + 1 的分布函数 G ( y ) 为（
）
(A)
1 ⎛1 1⎞ F⎜ y − ⎟ 3 ⎝3 3⎠
(B) F (3 y + 1)
(C) 3F ( y ) + 1
(D)
1 1 F (y) − 3 3
答案：A 解答: 由随机变量函数的分布的相关定理，可以知道
二、填空题（9×3 分） ：
1. 设 P( A) = 0.7 , P( B ) = 0.5 .则 P ( AB )的最小值为
答案： 解答：
0.2
由 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )， 有 P ( A) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = P ( AB )
4
由全概率公式，得 P ( B ) =
∑ P( A ) P( B | A ) = 0.9754
i i i =1
--------------------------------------6 分
2. 离散型随机变量 X 的分布函数
⎧ 0 ⎪0.4 ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪ 0.7 ⎪ ⎩ 1
x < −1 −1 ≤ x < 1 ，求 X 的分布列。 1≤ x < 3 x≥3
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) = 0.74 ,
P( A | A ∪ B ) =
P[ A ∩ ( A ∪ B )] P ( A) 0.5 25 = = = P( A ∪ B ) P ( A ∪ B ) 0.74 37
4. 设 X ~ N (1,2), Y ~ N (3,4), Z = 2 X − Y + 3 ，则 Z 的概率密度函数 f ( z ) =
i =1
1 λ
E ( X 2 ) = ... =
2 1 1 2 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = 2 − 2 = 2 , λ λ λ λ2
9. 随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯ 依概率收敛于常数 a 是指对任意 ε > 0 ， 有 =1 成立.
3)
3) E ( X − Y ) 。
解：(1) 1 =
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
又 X ~ U (−1,5) ，所以求的
P=∫
7. 若 X ~ E (λ ) ，则 EX =
51 1 1 dx + ∫ dx = −1 6 4 6 2 1
， DX =
答案：第一空填
1 λ
，第二空填
1 λ2
解答：此类题为记忆型题，若实在是记不住。那就自己计算。
∞
X ~ E (λ ) ， E ( X ) = ∑ X i P ( X i = K ) =
答案： lim P{|
n →∞
1 n ∑ X i −a |< ε } = 1 n i =1
解答：又是记忆类的题目，没有什么技术含量。唉。 。 。 。 。 。
由大数定理相关知识，知道依概率收敛的定义，
lim P{|
n →∞
1 n ∑ X i −a |< ε } = 1 n i =1
计算题（3×6 分+4×7 分+1×9 分） 三、 三、计算题（ ：
1 ⎛1 1⎞ G ( y ) = Fx [h( y )] h( y )′ = F ⎜ y − ⎟ 3 ⎝3 3⎠
4. 设 X ~ N (0,1), 令 Y = − X − 2 ，则 Y ~ （ (A) N (−2,−1) (B) N (0,1)
） (C) N (−2,1) (D) N (2,1)
答案：C 解答: 由正态分布的线性组合的相关定理，可以知道
2) X 落在（-10,15）内的概率； 解： （1）
F ( x) = ∫ f (t )dt
−∞
x
当Байду номын сангаас
x < 0, F ( x ) =
1 1 e t dt = e t -------------------------------------------------------------------2 分 ∫ − ∞ 2 2
。
− 1 答案： f ( x ) = e 2 6π
( x −2)2 24
解答:
i =n i =n i =n
由正态分布的线性组合性质 X i ~ N ( µ i , σ i ),
2
∑ a i x i ~ N (∑ µi , ∑ a i2σ i2 ) ，
i =1 i =1 i =1 ( x−µ )2 2σ 2 ( x − 2) 2 24 − 1 e 2π σ − 1 = e 2 6π
0 0 3
容易解得 p=1/3.
3. 设 P ( A) = 0.5 , P ( B ) = 0.4 , P ( A | B ) = 0.6 ,则 P ( A | A ∪ B ) =
。
答案：
25 37
解答 由 P ( A) = 0.5 ， P ( B ) = 0.4 ， P ( A | B ) = 0.6 ， P ( AB ) = 0.36，P ( AB ) = 0.14
某大学期末考试《概率论和数理统计》试卷解答
选 择 题（6×3 分） 一、 一、选 ： 1. 设0 < P ( A) < 1,0 < P ( B ) < 1, P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1, 则（ ）
(A)
P( A | B) = P( A)
答案：A
(B) B = A
(C) AB ≠ Φ
P( A1 ) = 0.94, P( A2 ) = 0.03， P( A3 ) = 0.02, P( A4 ) = 0.01
P( B | A1 ) = 0.98, P( B | A2 ) = 0.95， P( B | A3 ) = 0.9, P( B | A4 ) = 0.85 -------------------------4 分
P( AB)的最小值为 ，则 P( A ∪ B) = 1 ,那么 P( AB)的最小值为0.2
19 ，则每次试验成功的 27
2. 三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为 概率为 ；
答案：
1 3
解答： 由模型 X ~ b（3，p）， 1 − P( X = 0) = 19 / 27, 则P( X = 0) = 8 / 27 = C3 P (1 − P)