初中数学之图形折叠
一．填空题（共9小题）
1．（2003?）已知：如图，把一矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_________（不包括AB=CD和AD=BC）．
2．（2006?）如图，有一面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=_________．
3．有一矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________．
4．（2004?荆州）如图一长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为
_________．
5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=_________．6．如图所示，把一矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=_____
7．如图，取一长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在
AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=_________cm，∠DCE=_________．
8．（2008?）如图，四边形ABCD是一矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_________度．
9．一长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_________．
二．选择题（共9小题）
10．如图，明明折叠一长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（）cm．
A．B．C．D．
12．有一矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）
A．1 B．1 C．D．
13．如图，一四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（）
①AD=AF；②DE=EF=EC；③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S四边形ABCD=AE?BE
A．3个B．4个C．5个D．6个
14．如图，把一矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
15．如图，一平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（）
A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定
16．如图，把一长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（）
A．只能是平行四边形B．只能为菱形C．只能为梯形D．可能是矩形
18．如图，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．
若AD=2，BC=5，则AF：FB的值为（）
A．B．C．D．
三．解答题（共9小题）
19．如图，把一矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，试判断重叠部分的三角形BED的形状，并证明你的结论．
20．（综合探究题）有一矩形纸片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（1），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（2）所示，这时，半圆露在外面的面积是多少？
21．已知：如图所示的一矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC?AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
22．矩形折叠问题：如图所示，把一矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．（1）若AB=4，BC=8，求AF．
（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．
23．（2011?）如图1，一矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C
落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
24．一长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC的长．
25．在如图所示的一矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE2=AC?AP；
（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长．
26．（2010?凉山州）有一矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．
27．（2011?）已知：如图所示的一矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C 重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC?AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
一．选择题（共9小题）
1．如图，ABCD是一矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN经过点O交AD于M，交BC于N．
操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（）
A．B．C．D．
2．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE的长度为（）
A．2 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知一纸片?ABCD，∠B＞90°，点E是AB的中点，点G是BC上的一个动点，沿EG 将纸片折叠，使点B落在纸片上的点F处，连接AF，则下列各角中与∠BEG不一定相等的是（）
A．∠FEG B．∠AEF C．∠EAF D．∠EFA
4．如图，已知长方形纸片ABCD，AB=1．以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；再以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，若折痕恰好经过点D，则长方形纸片ABCD的面积约为（）
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7
5．小明将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cos∠DFC的值为（）
A．B．C．D．
6．如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（）
A．22.5°B．67.5°C．22.5°或67.5°D．45°或135°
7．（2010?）如图是一直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）
A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm
8．如图①，一四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为（）
A．70°B．75°C．80°D．85°
9．如图：将一长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，ED′的延长线与BC交于点G．若∠EFG=55°，则∠1=（）
A．100°B．110°C．120°D．125°
二．解答题（共11小题）
10．（2011?威海）如图，ABCD是一矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
11．有一矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．
（2）若BE=，试求出AM的长．
（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值围．（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．
12．（2005?）将一矩形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．
（1）求证：AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明
13．（2006?聊城）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F．你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由．
14．如图，把一矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）线段BF与DF相等吗？请说明理由．
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，试判断四边形BGDF 的形状，并说明理由．
（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的条件下，求线段DG的长．
15．有一矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；
（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值围；
（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．
16．有一矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？
17．如图，把一长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB 为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
18．如图所示，将一长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC的交点为G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．