二次函数在闭区间上的最值

二
若 ３ ２＜ ， ａ ｌ 当 －ａ ａ即 ＞ 则 时 ， ［一３ ２） ＋ 一 ａ－ ｓ 口 （—ａ ］ １ ８＇ ＝ － － ４ ｏ １其对称轴方程为 一 ２ 顶点 坐标 为（ ２ｎ＿ １ ， 此时 ，＝ ， 一， ， ＿ ，２４ ） ａ ５ 或 １ 因ａ ｌａ ｌ （ ＞ ，＝ 舍去 ） 。 图象开 口 向由 ａ 方 决定 。很明显 ， 其顶点横坐标在 区间 ［ ，］ １上。 综上所述 ， 变数 ｎ的取值为 ａ ｌ 或 ｎ ， ａ ５ 参 ＝ ， ＝１ 或 ＝ 若 ａ Ｏ 函数图象 开 口向下 ， ＜， 当 ＝ ２ ， 一 时 函数取 得最 大值 ５ 。
即 － 一 ）ａ－ ａ １ ５ 解得 Ⅱ ２ ， ２ ＝ ２４ － ＝ ， （ ＝± ， ａ ２ 故 ＝一 （＝ 一 口２
图２
（ 作者单位 山西省晋 中 次第一职业中专学校 ） 榆
， 一
５ — ５
向 匕。
例 ５ 已知 ＝ （一 ）ｏ ０ ， 当 ≥口时 ，＝ ３ 的最 ： 铊 Ⅱ （＞ ）且 ｓ ＜一 ） ＋
解 ： ：－ ａ ｘ ａ代入 Ｓ中， 将 ￣． （— ） ４ 得
Ｖ
由ａ ≥２可 得 ＝ ≤ 一 ， 一ａ １ 显
Ｓ （－ ） （— ） ＝ ｘ ３ 十
￡ １ｔｏ １ 。＜ ＋
例 ２ 已知 ． ， ａ２ Ｏ求 函数 ． ） ｚ ｘ ３ ： Ｔ ； ｔ 且 －￣ ， ２ ≤１ ＞ ， ＝ ＋ ＋ 的最值。 （ ｘａ ｘ 解： 由已知 有一 ≤ ≤ｌ口 ， １ ，≥２ 于是 函数 ， ） （ 是定 义 在 区 间
四、 动二次函数在 动区间上 的最值 二次 函数是含参数 的函数 ， 而定义域 区问也是变化 的 ， 我们称
、
．

二次函数在闭区间上的最值问题分析与求解摘要二次函数在闭区间上的最值问题，有四种类型：（1）定轴，定区间；（2）定轴，动区间；（3）动轴，定区间；（4）动轴，动区间。

文章对此进行了探讨。

关键词函数最值分析求解中图分类号：u174 文献标识码：aproblem analysis and solving of the most value of quadratic function on the closed intervalliu huiwen, liu ying([1] jiangsu yancheng technicians’ college, yancheng,jiangsu 224002;[2] mathematics department, southeast university, nanjing, jiangsu 211189)abstract quadratic function on the closed interval of themost value problem, there are four types: （1）fixed axis,the given interval; （2） fixed axis, dynamic range; （3）moving axes, fixed interval; （4）moving axes, fixedinterval.the paper talks about this issue.key words most value of function; analysis; solving二次函数是中学数学最基本、最重要的函数，是中学数学函数内容中的核心知识之一。

特别是：二次函数最值，它已渗透高中数学过程各个环节，是历年普通高考、对口高考重点、热点考题。

事实上，二次函数最值与抛物线开口方向、定义区间及对称轴有一定关系：当三者确定时，结合图象最值容易求出；倘若三者中有不确定因素，往往需要配方、分类讨论与数形结合。

＿（ ） 厂 ｚｚ ．
厂解析 函数对称轴 ｘ 口在［＋１ａ ］ ｌ ＝２ ｎ ，＋２的左侧 ，
在 ［ ＋１ ａ ］ 为单 调 递 减 ． ／（ ｆ 口等 价 ｎ ， ＋２ 上 ｆ ） ≤
于 一ａ ， ｚ ≤ｎ， ｆ（ ＋１ ≤ ａ ｆ（ ＋２ ≥ 一ａ 解 ≤ （） 故 ａ ） ， ａ ） ，
题 型 ４ 动 区 间动轴
主
◇ 甘肃 闫 新 旭
息， 预支 了 ， ｎ一部分 范 围 ， 而 回避 了分 类讨 论 ， 从 简
化 了解 题 过 程 ， 也 是 根 据 具 体 问 题 具 体 分 析 的 原 这
理 ， 向思维 的结 果 ； 逆 而解 法 １未 能抓 住 这 一 关键 信
两个 自变量都 必 须取 自给定 区间 ， 能从 区 间外 不 取 ． 区间 是 封 闭 的 ， 否 取 其 端 点 ？ 当 然 可 以． 任 若 能 “
意 两个 ” 是指 不 能 取 特 定 的值 来 判 断 ， “ 有 ” 是 而 都 则 说 只要 ｚ ＜ ， （ 就 必须 恒 小 于 － ｚ ） ｆ ｘ） 厂 ｚ 或恒 大 于 （
值域 为 ［ ）厂 ｎ ］ 于是 ， ｍ） ｍ， ” 一３ ． 厂（ ， （ ） ， （ 一３ ，（ ） ｎ 又
＜ ， 所 以 ｌ ，＂ ｚ ， ＂ ７是方 程 厂 ｚ 一３ ｒ １ ｌ （ ） ｘ的 ２ 根 ， 个 于是 可
得 ＝ １ ７ ． ＝ ，ｚ ＝ 一４
彝
息 ， 而导致 解题 过程 的繁 琐． 从
域 为［ ｍ，， ， ｚ 一２ ＋４ （ 一１ 。 ≥ ３ 可 知 ３ ３ｚ 且 ｘ ］ 一 Ｉ ｚ ） ＋３ ， ３ ≥ ３ 即 ≥ １ 故 厂 ） 。 ｘ＋４在［ ， 上 是 ， ， （ 一 一２ ］

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。