2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2020年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2020.4.2 8：00～11：00

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分

第Ⅰ卷（选择题共36分）

一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知数列﹛a

n ﹜的通项公式

2

2

45

n

a

n n

=

-+

，则﹛a

n

﹜的最大项是（）

(A) a

1 (B) a

2

(C ) a

3

(D) a

4

2. 函数3log

3x

y=的图像大致是（）

(A ) (B )

(C ) (D)

3. 已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有( ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个

4.设f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1+x 2>O ，x 2+x 3>O ，x 3十x 1>O ，

则 ( )

(A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)f(x 3)

5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )

(A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，.10

10

3cos ,2

1tan ==B A 若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为（ ） A ．

B

C ．

D ．

5

5

二．填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分.

7．集合A={x ∣x=3n ，n ∈N，0

3

，则COS 4θ+sin 4 θ的值是 9．(x-3x 2)3的展开式中，x 5的系数为

≥0 ≥0 ≥0

333y x y x y ⎧⎪

-⎨⎪+-⎩

10.已知

,则x 2+y 2的最大值是

11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12

q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积，

则当n= 时，()f n 有最大值．

12．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1=4，AD 1=3，则对角线AC 1 的取值范围为 三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分） 13．设集合A=12

log (3)2x x ⎧⎫⎪⎪-≥-⎨⎬⎪⎪⎩

⎭

，B=21a

x

x a ⎧

⎫>⎨⎬-⎩⎭

，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范

围。

14．椭圆22

194

x y +=的右焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆

上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 4=…=∠P 24FP 1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 2的值．

15. △ABC中,AB

16. 设p是质数，且p2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p

[参考答案]

1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8.

11

18

9. 27 10. 9 11. n=12 12. AC 1∈(4,5) 13. a ∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略

16. 质数p 为2或3 6．解：由10103cos =

B 知B 为锐角.3

1

tan =∴B 故1tan tan 1tan tan )tan()tan(tan -=⋅-+-

=+-=--=B

A B

A B A B A C π

由（1）知︒=∠135C ，故c 边最长，即c=1，又B A tan tan >，故b 边最短

∴==

2

2sin ,1010sin C B 由正弦定理

C

c

B b sin sin =得 55sin sin ==

C B c b 即最短边的长为5

5

. 11．解 112002()2

n n a -=⨯-，(1)21()2002()2n n n

f n -=•-

∵|(1)|2002|()|

2

n

f n f n +=， ∴当n ≤10时，|(1)|2002|()|

2

n

f n f n +=＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |； 当n ≥11时，|(1)|2002

|()|2

n f n f n +=＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞… ∵(11)0,

(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．

∵

1266

33031093612020()(12)1202022020()()11(9)22

2020()2

f f ⨯==⨯=>⨯-， ∴ 当n=12时，()f n 有最大值为12661(12)2002()2

f =⨯．

16.解： 当p=2时，p 2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 满足要求．当p=3时，p 2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件．

当p>3时，p 2+71=p 2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p 必为3k ±1型的奇数

p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p —1)(p+1)是24的倍数，

从而p 2+71是24的倍数． 设p 2+71=24×m ，m ≥4．

若m 有不同于2、3的质因数，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 若m 中含有质因数3，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10； 若m 中仅含有质因数2，则p 2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10； 所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p 是2或3.