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大一(上)-微积分-知识点(重点)

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精品 大一（上） 微积分 知识点

第一章 函数

一、AB=,则A、B是分离的。

二、设有集合A、B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差。 A-B={x|xA且xB}（属于前者，不属于后者）

三、集合运算律：交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； 摩根律：交的补等于补的并。

四、笛卡尔乘积：设有集合A和B，对xA,yB，所有二元有序数组（x,,y）构成的集合。

五、相同函数的要求：定义域相同对应法则相同

六、求反函数：反解互换

七、关于函数的奇偶性，要注意：

1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；

2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为偶函数；若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为奇函数；若)()(xfxf或)()(xfxf不能对所有的)(fDx成立，则)(xf既不是奇函数也不是偶函数；

3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。

第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。

二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。

三、无穷小量的几个性质：

1、limf(x)=0，则

2、若limf(x)=)(limxg=0，则0)()(limxgxf

3、若limf(x)=)(limxg=0，则lim)(xf·)(xg0 精品 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x）=0

四、无穷小量与无穷大量的关系：

若y是无穷大量，则y1是无穷小量；

若y（y0)是无穷小量，则y1是无穷大量。

五、无穷小量的阶数比较（假设0)(lim)(limxgxf)：

若0)()(limxgxf 称f(x)是较g（x)高阶的无穷小量；

若)()(limxgxf 称f(x)是较g（x)低阶的无穷小量；

若)0(g(x)f(x)limCC 称f(x)是较g（x)同阶的无穷小量；

④若1)()(limxgxf 称f(x)是较g（x)等价的无穷小量，记为)(~)(xgxf。

六、极限的运算法则：

lim)(yx=yxlimlim xlim·y=xlim·ylim

Clim·y=yClim ④nxlim=)(limxn

⑤xnlim1=)(lim1xn ⑥yxyxlimlimlim0limy

精品 七、求极限的几种技巧： 当极限过程是x时，除以最高次项； 当带有根号时，进行有理化； 当遇到分式的加、减运算时，进行通分； ④当极限过程是x时，分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时，结果为0；分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时，结果为；分子、分母最高次项的指数相等时，结果为最高次项的系数比。

八、两个重要极限：

)0(1sinlimxxx )0(1tanlimxxx

)()11lim(xexx )0()1lim(1xexx

九、等价无穷小量（乘积的时候才可以换）：

)0(~sinxxx )0(~tanxxx

)0(~arcsinxxx )0(~arctanxxx

)0(2~cos12xxx )0(~11xnxxn

)0(~)1ln(xxx )0(~1xxex

十、证明在某一点ox处连续：需证明))(()(limooxxxfxf

十一、出现函数的间断点的情况：

在点ox处）（xf没有定义；

))((limoxxxf不存在；

虽然)(oxf有定义，且))((limoxxxf存在，但)())((limooxfxxxf

精品 十二、间断点分类：

1、第一类间断点：如果函数）（xf在点oxx处的左、右极限都存在，但不全等于)oxf（，就称点oxx为）（xf的第一类间断点。

可去间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在并相等，只是不等于该点的函数值，那么我们可以重新定义函数在间断点的值，使得所形成的函数，在该点连续。

跳跃间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在但不相等。

2、第二类间断点：如果函数）（xf在点oxx处的左、右极限至少有一个不存在，就称点oxx为）（xf的第二类间断点。

无穷间断点（属于第二类间断点）：只要左右极限有一个为。

振荡间断点

十三、介值定理：如果函数）（xf在闭区间ba,上连续，m和M分别为）（xf在ba,上的最小值和最大值，则对介于m与M之间的任一实数c（即Mcm），至少存在一点ba,，使得Cf。

推论：如果函数）（xf在闭区间ba,上连续，且af与bf异号，则至少存在一点ba,，使得0f。

精品 第三章 导数与微分

1、xy在0x处不可导（1xy就在1x处不可导)

第五章 不定积分

一、基本积分公式表：

1、为常数）（CCdx0

2、)1(11aCaxdxxaa

3、Cxdxxln1

4、)1,0(ln1aaCaadxaxx

5、Cedxexx

6、Cxxdxcossin

7、Cxxdxsincos

8、Cxdxxcotcsc2

9、Cxxdxtansec2

10、Cxxdxarcsin12

11、Cxxdxarctan12

12、Cxxdxcoslntan

13、Cxxdxsinlncot

14、Cxxxdxtanseclnsec

15、Cxxxdxcotcsclncsc 精品 16、)0(arctan122aCaxaxadx

17、)0(ln2122aCxaxaaxadx

18、)0(arcsin22aCaxxadx

19、)0(ln2222aCaxxaxdx

20、)0(2arcsin222222aCxaxaxadxxa

二、一般地，如被积函数含有nbax，令nbax=t，可以消去根号，如被积函数含有nx，mx，令kx=t，k为m与n的最小公倍数，可同时消去两个根号。

三、三角代换：

被积函数含有22xa，可作代换taxsin或taxcos

被积函数含有22xa，可作代换taxtan或taxcot

被积函数含有22a-x，可作代换taxsec或taxcsc

化被积函数为新变量t的三角函数的积分，积分后将新变量t还原为原积分变量x时，可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量t的三角函数还原为原积分变量的关系式。

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大一高数知识点导数总结

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一、导数定义

在微积分中，导数是描述函数变化率的一个概念。对于函数y=f(x)，若x在某一点a处的微分商在极限意义下存在，则称该函数在点a处可导，并记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)，其值为函数f(x)在点a处的导数。

二、导数基本规则

1. 常数规则：若y=c（c为常数），则dy/dx=0。

2. 幂函数规则：若y=x^n（n为正整数），则dy/dx=nx^(n-1)。

3. 和差规则：若y=u(x)+v(x)，则dy/dx=u'(x)+v'(x)。

4. 积法则：若y=u(x)v(x)，则dy/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

5. 商法则：若y=u(x)/v(x)，则dy/dx=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)^2。

6. 复合函数法则：若y=f(g(x))，则dy/dx=f'(g(x))g'(x)。

三、基本导函数表

1. 常数函数f(x)=c的导函数为f'(x)=0。

2. 幂函数f(x)=x^n（n为正整数）的导函数为f'(x)=nx^(n-1)。 3. 指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=a^xln⁡(a)。

4. 对数函数f(x)=logₐ(x)（a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=1/(xln⁡(a))。

5. 三角函数：

- 正弦函数f(x)=sin(x)的导函数为f'(x)=cos(x)。

- 余弦函数f(x)=cos(x)的导函数为f'(x)=-sin(x)。

- 正切函数f(x)=tan(x)的导函数为f'(x)=sec^2(x)。

6. 反三角函数：

- 反正弦函数f(x)=arcsin(x)的导函数为f'(x)=1/√(1-x^2)。

- 反余弦函数f(x)=arccos(x)的导函数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。

- 反正切函数f(x)=arctan(x)的导函数为f'(x)=1/(1+x^2)。

大一高数常考知识点总结

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高等数学是大学理工类专业中的一门重要课程，也是学生们在大学期间必修的一门课程。在大一的学习过程中，高等数学常常是学生们的一块难点。为了帮助同学们更好地掌握和复习高等数学知识，下面将对大一高数常考的知识点进行总结。

1. 函数与极限

1.1 函数的概念及性质

1.2 极限的定义与性质

1.3 无穷大与无限小

1.4 极限运算法则

1.5 重要的极限公式和常用极限

2. 导数与微分

2.1 导数的定义

2.2 导数的计算方法

2.3 高阶导数

2.4 隐函数求导 2.5 微分的概念及计算方法

2.6 函数的单调性与极值

3. 积分与定积分

3.1 积分的概念及性质

3.2 基本积分公式与常用积分

3.3 定积分的概念及性质

3.4 牛顿-莱布尼茨公式

3.5 反常积分

3.6 微积分基本定理

4. 一元函数的应用

4.1 曲线的切线与法线

4.2 参数方程与极坐标系

4.3 函数的应用（最值、最值问题、曲线的凹凸性）

4.4 速度、加速度与曲线的运动

5. 多元函数与偏导数

5.1 多元函数的概念及性质

5.2 偏导数及其计算

5.3 隐函数偏导数

5.4 多元函数的极值问题

5.5 条件极值与拉格朗日乘数法

6. 重积分

6.1 二重积分的概念及性质

6.2 极坐标下的二重积分

6.3 三重积分的概念及性质

6.4 柱面坐标与球面坐标下的三重积分

6.5 重积分的应用

7. 曲线积分与曲面积分

7.1 参数曲线的弧长与曲线积分

7.2 曲线积分的计算 7.3 曲面的面积与曲面积分

7.4 参数曲面的面积与曲面积分

8. 常微分方程

8.1 常微分方程的基本概念

高数大一重难点知识点总结

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高数大一重难点知识点总结

大学的第一学期，高数课程是许多学生都要面对的科目。对于一些数学基础较弱的同学来说，高数可能会带来一定的困扰。在这篇文章中，我将总结高数大一课程中的重难点知识点，以帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

一、极限和连续性

极限和连续性是高数课程中最基础也最重要的内容之一。在研究函数的性质时，我们经常要用到极限的概念。理解极限的含义，能够正确计算极限的运算法则，是学好高数的关键。另外，连续性是极限的重要应用之一，学生们需要掌握连续函数的判定方法和连续函数的性质。

二、微分和导数

微分和导数是高数课程中的一大难点。在学习微分与导数时，需要逐渐掌握导数的定义、求导法则和高阶导数的计算。此外，学生们还要理解导数的几何意义和物理意义，以便能够更好地应用导数进行问题求解。

三、积分和不定积分 积分和不定积分是微积分学中的另一个重要部分。学生们需要熟悉积分的定义和性质，掌握不定积分的计算方法和技巧。特别地，需要重点掌握常见函数的不定积分公式，并学会运用换元积分法和分部积分法解决一些复杂的积分问题。

四、微分方程

微分方程是高数课程中的一大难点，也是工科学生必须掌握的重要数学工具。学生们需要学会分类和解常微分方程，并且掌握常微分方程的一些常用求解技巧和方法。此外，对于一阶线性微分方程和二阶线性常系数齐次微分方程的解法，也需要加强理解和掌握。

五、级数和数列

级数和数列是高数课程中的另一个重要部分。学生们需要了解数列的定义和数列的极限概念，以及级数的定义和级数的收敛性判定方法。此外，还要学会运用级数的求和公式，以及级数的一些特殊性质进行问题求解。

六、多元函数的极值与条件极值 多元函数的极值与条件极值是高数课程中较为复杂的内容。学生们需要深入理解多元函数的极值定义和条件极值的求解方法，熟悉方向导数和梯度的概念和计算方法。另外，要牢记拉格朗日乘数法和极值存在性的相关定理，并能够灵活应用于问题求解中。

大一数学必学知识点

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在大一学习数学的过程中，有一些必学的知识点对于打好数学基础、提高学习效果非常重要。下面将介绍一些大一数学必学的知识点，并对每个知识点进行详细的解释和举例说明。

一、集合论

集合论是数学的基础，是研究对象及其相互关系的一种方法。了解集合的概念、运算以及集合的表示方法是数学学习的基础。在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∩表示“交集”，∪表示“并集”，∅表示“空集”等。

例如，对于集合A = {1, 2, 3}和集合B = {2, 3, 4}，则A∪B表示A和B的并集，即A∪B = {1, 2, 3, 4}；A∩B表示A和B的交集，即A∩B = {2, 3}。

二、数列与数学归纳法

数列是指按照一定顺序排列的一组数。掌握数列的概念，学会求解数列的通项公式以及计算数列的和是大一数学学习的重要内容。数学归纳法是一种证明方法，常用于证明数学命题关于自然数集的成立。

例如，等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。若数列的首项是a，公差是d，则等差数列的通项公式为an = a + (n-1)d，其中an表示数列的第n项。

三、函数与极限

函数是数学中的重要概念，描述了一个数集到另一个数集的对应关系。了解函数的定义、性质以及函数的图像表示方法是大一数学学习的关键。极限是函数概念的延伸，用于研究函数的趋势和性态。

例如，对于函数f(x) = 2x + 1，它的定义域是所有实数集R，值域是所有实数集R。当x趋于正无穷时，f(x)的极限是正无穷；当x趋于负无穷时，f(x)的极限是负无穷。

四、微积分基础

微积分是数学的重要分支，研究了函数的变化率、曲线的切线以及曲线下的面积等问题。了解求导法则、定积分以及微分方程等基本概念和方法是大一数学学习的核心。

例如，对于函数f(x) = x^2，其导数f'(x) = 2x表示了函数在每个点的斜率，即曲线的切线斜率。定积分∫[a,b] f(x)dx表示曲线f(x)在[a,b]区间下的面积。