大一上微积分知识点重点(供参考)
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大一(上) 微积分 知识点
第一章 函数
一、A ⋂B=∅,则A 、B 是分离的。
二、设有集合A 、B ,属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合,称为A 与B 的差。
A-B={x|x ∈A 且x ∉B}(属于前者,不属于后者)
三、集合运算律:①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致; ②摩根律:交的补等于补的并。
四、笛卡尔乘积:设有集合A 和B ,对∃x ∈A,∃y ∈B ,所有二元有序数组(x,,y )构成的集合。
五、相同函数的要求:①定义域相同②对应法则相同
六、求反函数:反解互换
七、关于函数的奇偶性,要注意:
1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的,若函数的定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言,那么函数既不是奇函数也不是偶函数;
2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义:若对所有的)(f D x ∈,)()(x f x f =-成立,则)(x f 为偶函数;若对所有的)(f D x ∈,)()(x f x f -=-成立,则)(x f 为奇函数;若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立,则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数;
3、奇偶函数的运算性质:两偶函数之和是偶函数;两奇函数之和是奇函数;一奇一偶函数之和是非奇非偶函数(两函数均不恒等于零);两奇(或两偶)函数之积是偶函数;一奇一偶函数之积是奇函数。
第二章 极限与连续
一、一个数列有极限,就称这个数列是收敛的,否则就称它是发散的。
二、极限存在定理:左、右极限都存在,且相等。
三、无穷小量的几个性质:
1、limf(x)=0,则
2、若limf(x)=)(lim x g =0,则0)()(lim =+x g x f
3、若limf(x)=)(lim x g =0,则lim )(x f ·)(x g 0=
4、若g(x)有界(|g(x)|<M ),且limf(x)=0,则limf(x)·g(x )=0
四、无穷小量与无穷大量的关系:
①若
y 是无穷大量,则y 1是无穷小量; ②若y (y ≠0)是无穷小量,则y
1是无穷大量。
五、无穷小量的阶数比较(假设0)(lim )(lim ==x g x f ):
①若
0)()(lim =x g x f 称f(x)是较g (x)高阶的无穷小量; ②若
∞=)()(lim x g x f 称f(x)是较g (x)低阶的无穷小量; ③若
)0(g(x )f(x )lim ≠=C C 称f(x)是较g (x)同阶的无穷小量; ④若1)()(lim =x g x f 称f(x)是较g (x)等价的无穷小量,记为)(~)(x g x f 。
六、极限的运算法则:
①lim )(y x ±=y x lim lim ± ②x lim ·y
=x lim ·y lim ③C lim ·y =y C lim ④n x lim =)(lim x n
⑤x n lim 1=)(lim 1x n ⑥
y x y x lim lim lim =()0lim ≠y
七、求极限的几种技巧:
①当极限过程是∞→x 时,除以最高次项;
②当带有根号时,进行有理化; ③当遇到分式的加、减运算时,进行通分;
④当极限过程是∞→x 时,分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时,结果为0;分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时,结果为∞;分子、分母最高次项的指数相等时,结果为最高次项的系数比。
八、两个重要极限: ①)0(1sin lim →=x x x )0(1tan lim →=x x x ②)()11lim(∞→=+x e x x )0()1lim (1→=+x e x x
九、等价无穷小量(乘积的时候才可以换):
十、证明在某一点o x 处连续:需证明))(()(lim o o x x x f x f →=
十一、出现函数的间断点的情况:
①在点o x 处)(x f 没有定义;
②))((lim o x x x f →不存在;
③虽然)(o x f 有定义,且))((lim o x x x f →存在,但)())((lim o o x f x x x f ≠→ 十二、间断点分类:
1、第一类间断点:如果函数)(x f 在点o x x =处的左、右极限都存在,但不全等于)o x f (,就称点o x x =为)(x f 的第一类间断点。
①可去间断点(属于第一类间断点):函数间断点的左、右极限存在并相等,只是不等于该点的函数值,那么我们可以重新定义函数在间断点的值,使得所形成的函数,在该点连续。
②跳跃间断点(属于第一类间断点):函数间断点的左、右极限存在但不相等。
2、第二类间断点:如果函数)(x f 在点o x x =处的左、右极限至少有一个不存在,就称点o x x =为)(x f 的第二类间断点。
①无穷间断点(属于第二类间断点):只要左右极限有一个为∞。 ②振荡间断点
十三、介值定理:如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,m 和M 分别为)(x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则对介于m 与M 之间的任一实数c (即M c m <<),至少存在一点ε()b a ,∈,使得()C f =ε。
推论:如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,且()a f 与()b f 异号,则至少存在一点ε()b a ,∈,使得()0=εf 。
第三章 导数与微分
1、x y =在0=x 处不可导(1-=x y 就在1=x 处不可导)
第五章 不定积分
一、基本积分公式表:
1、⎰=为常数)
(C C dx 0 2、)1(11
-≠++=+⎰a C a x dx x a a