数学2004上海春季(附解答)

1 2004年上海市普通高校春季高考数学试卷

(考试时间：2003.12.20)

一、填空题（本大题满分48分）

1．若复数z满足2)1(iz，则z的实部是__________.

2．方程1)3(lglgxx的解x__________.

3．在ABC中，cba、、分别是A、B、C所对的边。若105A，45B，22b，

则c__________.

4．过抛物线xy42的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、

AB为直径的圆方程是________________.

5．已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x__________.

6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABCV中，E是BC的中点，若

VAE的面积是41，则侧棱VA与底面所成角的大小为_____________

(结果用反三角函数值表示).

7．在数列}{na中，31a，且对任意大于1的正整数n，点),(1nnaa在直线03yx

上，则2)1(limnann_____________.

8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________个点.

（1） （2） （3） （4） （5）

9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.

10．若平移椭圆369)3(422yx，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别

只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.

11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第

_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.

12．在等差数列}{na中，当sraa)(sr时，}{na

必定是常数数列。然而在等比数列}{na中，对某

些正整数r、s)(sr，当sraa时，非常数数

列}{na的一个例子是____________.

二、选择题（本大题满分16分）

13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）

（A）xy2sin21 （B）)32(sinxy （C）xtgy2 （D）xxycossin

14．若非空集合NM，则“Ma或Na”是“NMa”的 （ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

15．在ABC中，有命题

①BCACAB；②0CABCAB；③若0)()(ACABACAB，则ABC为等

腰三角形；④若0ABAC，则ABC为锐角三角形.

上述命题正确的是 （ ） A

B C V

E

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第0行 1

第1行 1 1

第2行 1 2 1

第3行 1 3 3 1

第4行 1 4 6 4 1

第5行 1 5 10 10 5 1

„„ „„ „„ 2 （A）①② （B）①④ （C）②③ （D）②③④

16．若21aap)0(a，tqarccos)11(t，则下列不等式恒成立的是 （ ）

（A）qp （B）0qp （C）qp4 （D）0qp

三、解答题（本大题满分86分）

17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy中，已知点)22cos2,1cos2(xxP和点

)1,cos(xQ，其中],0[x. 若向量OP与OQ垂直，求x的值.

18. （本题满分12分）已知实数p满足不等式0212xx，试判断方程05222pzz

有无实根，并给出证明.

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.

某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，

随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

(1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？

20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，点P为斜三棱柱111CBAABC的侧棱1BB上一点，1BBPM交1AA于点M，

1BBPN交1CC于点N.

(1) 求证：MNCC1；

(2) 在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222. 拓展到空间，

类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角

之间的关系式，并予以证明.

A

A1

B1 B

C1 C

M

N P 3

21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知函数axxf，122axxxg（a为正常数），且函数xf与xg的图象在y轴上的截距相等。

（1）求a的值；

（2）求函数xgxf的单调递增区间；

（3）若n为正整数，证明：4)54(10ngnf.

22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23||AB.

(1) 求点B的坐标；

(2) 若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为)1,4(，求a的值；

(3) 对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称||PQ的最小值为P与线段AB的距离. 已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式.

4 2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案

一、填空题

1．1 2．2 3．2 4．4)1(22yx 5．1 6．41arctg 7．3 8．12nn 9．145

10．14)2(9)3(22yx

11．34 12．)0(,,,,aaaaa，r与s同为奇数或偶数

二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B

三、解答题

17. 由OQOP，得0)22cos2()1cos2(cosxxx，利用1cos22cos2xx，化简后得

0coscos22xx，于是0cosx或21cosx，],0[x，32或x.

18. 由0212xx，解得212x，212p. 方程05222pzz的判别式)4(42p.

212p，4241p，0，由此得方程05222pzz无实根.

19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{na，其中,5.1,1281qa

则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617qaa（辆）。

(2)记nnaaaS21，依据题意，得3110000nnSS。于是50005.11)5.11(128nnS（辆），即326575.1n，

则有,5.7n因此8n。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。

20. (1) 证：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,,//平面；

(2) 解：在斜三棱柱111CBAABC中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为

平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角.

,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中， cos2222MNPMNPNMNPNPM

MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，

由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，

有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS.

21.(1)由题意，00gf，1||a又0a，所以1a。

(2)12|1|2xxxxgxf

当1x时，xxxgxf32，它在,1上单调递增；

当1x时，22xxxgxf，它在1,21上单调递增。

(3)设ngnfnc)(1054，考查数列nc的变化规律：

解不等式11nncc，由0nc，上式化为1)54(1032n

解得7.3238.0lg21n，因Nn得4n，于是4321cccc，而654ccc

所以4)54(10)54(10)54(1025344gfngnf。

22. (1) 直线AB方程为3xy，设点),(yxB，由18)2()1(322yxxy及0x，0y得4x，1y，点B的坐标为)1,4(。

（2）由13222yxyax得0106)1(212xxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，得2a。