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网址： 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 1 因式分解
【知识梳理】
6.1因式分解
一般地，把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。因式分解和整式乘法具有互逆的关系。
6.2提取公因式法
一般地，一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
应提取的多项式各项的公因式应是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
提取公因式法的一般步骤是：
1.确定应提取的公因式；
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
3.把多项式写成这两个因式的积得形式。
一般地，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。
一般地，添括号的法则如下:括号前面是“+”，括到括号里得各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
6.3用乘法公式分解因式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。
【方法介绍】
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
一、提公因式法
这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：
因式分解下列多项式：
(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;
(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;
(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)
=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).
二、公式法
因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
还有两个常考的 n 次方展开的公式：
an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)
例题：
因式分解： (a2+b2−1)2−4a2b2
=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)
=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]
=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)
三、十字相乘法（双十字相乘法）
简单的十字相乘其实就是公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。熟练的时候也不会想什么口诀，就这样做下来了。
1 因式分解. 提取公因式法（第一课时）
教案
教学目的：了解因式分解的方法、知道什么是公因式、掌握提取公因式分解因式的方法。
教学重点：找公因式。
教学过程：
1、复习：什么叫因式分解？
（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。注意两个关键词：
化成、和变形。说明变形后前后两个式子形式不一样而值是相等的。）
2、因式分解有好多方法，我们一种方法一种方法的来研究，今天我们学习和研究因式分解的第一种方法:提取公因式法。
1）、板书：因式分解的方法：提取公因式法
看一下几个式子：1、ab+bc 2、3x2 +x 3、mb+nb-b 4、ma+mb-m
(1中具体分析，这两项中有没有相同的因式？是什么？
2、3、4中有没有相同的因式？是什么？尝试一下：这几个多项式你能写成几个因式的乘积么？方法：讨论、交流。如果写不出因式的乘积的形式也没问题，但要知道公因式。）
小结：像这样的多项式中都有的相同的因式，我们就叫做这几个多项式的公因式。注意：1、是多项式中都有的，也就是说都有这个因式，多项式中只要一项中没有，那这个因式也不叫公因式。2、有的公因
2 式是通过变形才能找到，如：x2 和x就是变形后才可以看出公因式的）
2）、你能找出下列多项式的公因式吗？
1、 3x+x2 2、2x2+6x3 3、4a+4b (公因式都是什么？）
3x+x2 =3x+x x （公因式是x
2x2+6x3=2x2+2x2 3x (公因式是2x2
4a+4b=4a+4b （公因式是4
（注意：公因式可以是字母也可以是数字）
2、 你能把以上的多项式分解因式么？（讨论交流）
3、看一下这些式子x(3+x) 、4（a+b）、 2x2(1+3x)与 3x+x2 2、2x2+6x3 3、4a+4b式子中有什么关系？
分解公因式的常用方法
分解公因式的常用方法有以下几种：
1. 提取公因式法：将多项式中各项中的公因式提取出来，用括号括起来，保留多项式中去除公因式后的部分。例如，对于多项式3x+6y，可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。
2. 公式法：对于特定形式的多项式，可以利用相应的公式进行分解。例如，对于二次三项式a²+2ab+b²，可以将其分解为(a+b)²。
3. 分组法：当多项式可以分为两组，每一组有公共的因式时，可以利用分组法进行分解。例如，对于多项式3x+6y-2xy-4y²，可以先将其分为(3x-2xy)+(6y-4y²)，再对每一组提取公因式，得到3x(1-2y)+6y(1-2y)。
4. 因式分解法：对于二次以上的多项式，可以使用因式分解法进行分解。这种方法一般较复杂，需要通过观察多项式的结构和运用一些数学原理来进行因式分解。
