高等数学数学实验报告终极版 (1)

一、实验目的

通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容

1. 插值方法

（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法

（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法

（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤

1. 拉格朗日插值法

（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法

（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法

（1）输入方程和初始值。 （2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法

（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析

1. 插值方法

（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法

（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

湖南城市学院

数学与计算科学学院

《数学建模》实验报告

专 业：

学 号：

姓 名：

指导教师：

成 绩：

年 月 日

实验一 初等模型

实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A、B两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A题 飞机的降落曲线

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g／10，此处g是重力加速度。

（1）若飞机从0xx处开始下降，试确定出飞机的降落曲线；

（2）求开始下降点0x所能允许的最小值。

y

u

h

O 0x x

B题 铅球的投掷问题

众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

成绩：

工程数学实验报告

2015—2016—2学期

学部：

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电话: 2015-2016-2学期工程数学实验报告

1 Ⅰ 展示图形之美篇

要求：涉及到的文字用中文宋体五号字，Mathematica程序中的字体用Times New Roamn。

【数学实验一】题目:利用Mathematica制作如下图形

（1），,其中k的取值为自己学号的后三位。

（2),其中k的取值为自己学号的后三位。

Mathematica程序：（1)ParametricPlot［｛423Sin［t］，423Sin［2t]｝，｛t，0,2Pi｝］

（2）

x=Sin［u］Cos［423v］

y=Sin［u］Cos[v]

z=Cos[u］

ParametricPlot3D［｛Sin［u］Cos［423v］，Sin[u]Cos［v］，Cos[u］},{u，0,Pi｝,{v,0，2Pi}］

运行结果：

【数学实验二】题目：请用Mathematica制作五个形态各异三维立体图形，图形函数自选,也可以由几个函数构成更美观、更复杂的图形；并用简短的语言说明选择该图形的理由和意义.

Mathematica程序：

x［u_，v_]：=Sin[u]Cos［v]；

y［u_，v_］:=Sin［u］Sin［v];

z［u_,v_］:=Cos［u］；

ParametricPlot3D［{x［u,v］，y[u,v],z［u，v］｝，｛u，—Pi/12，Pi/12Pi｝,{v，0，4Pi}，Boxed—〉False,BoxRatios{1，1,1｝］

运行结果:

图片像一个窝窝头，粮食是人类的生存之本

Mathematica程序：ParametricPlot3D[｛r,Exp［—r^2Cos［4r］^2］*Cos[t]，Exp[—r^2Cos[4r］^2]Sin［t]｝,｛r,-1.2,1.2｝，{t,0,2Pi｝]

1

《数学建模实验》

实验报告

学院名称 数学与信息学院 专业名称

提交日期 课程教师 2 实验一： 数学规划模型AMPL求解

实验内容

1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:

一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。

（1）建立模型文件：

milk.mod

set Products ordered;

param Time{i in Products }>0;

param Quan{i in Products}>0;

param Profit{i in Products}>0;

var x{i in Products}>=0;

maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];

subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;

subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;

subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;

（2）建立数据文件milk.dat

set Products:=A1 A2;

param Time:=A1 12 A2 8;

param Quan:=A1 3 A2 4;