2019年高考数学一轮复习课时分层训练28平面向量的数量积与平面向量应用举例理北师大版
- 格式：doc
- 大小：95.50 KB
- 文档页数：6
北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
1 课时分层训练(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
A组 基础达标
一、选择题
1．在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－32 B．0
C.32 D．3
A [依题意有a·b＋b·c＋c·a＝－12＋－12＋－12＝－32.]
2．已知AB→＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB→在CD→方向上的投影为 ( )
A．－322 B．－35
C.322 D．35
C [因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB→＝(2,1)，所以向量AB→在CD→方向上的投影为
|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.]
3．(2018·海口调研)若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)满足(6a－b)·c＝8，则x等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
D [因为6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8，解得x＝7，故选D.]
4．已知O为坐标原点，向量OA→＝(3sin α，cos α)，OB→＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈3π2，2π，且OA→⊥OB→，则tan α的值为( )
【导学号：79140158】
A．－43 B．－45
C．45 D．34
A [由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
2 α∈3π2，2π，
则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A.]
5．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C.94 D．－94
B [∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，
即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|2＝0，
解得t＝－4.故选B.]
二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
－2 [∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]
7．(2018·合肥一检)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
14 [由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝12，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝14.]
8．已知向量a＝－12，32，OA→＝a－b，OB→＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________.
【导学号：79140159】
1 [由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA→⊥OB→，|OA→|＝|OB→|.由OA→⊥OB→得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，
由|OA→|＝|OB→|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.
所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2， 北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
3 所以|OB→|＝|OA→|＝2，故S△OAB＝12×2×2＝1.]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
[解] 由已知得，a·b＝4×8×－12＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝163.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10.如图432，已知O为坐标原点，向量OA→＝(3cos x,3sin x)，OB→＝(3cos x，sin x)，OC→＝(3，0)，x∈0，π2.
图432
(1)求证：(OA→－OB→)⊥OC→；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．
[解] (1)证明：OA→－OB→＝(0,2sin x)，
∴(OA→－OB→)·OC→＝0×3＋2sin x×0＝0，
∴(OA→－OB→)⊥OC→.
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，
∴(2sin x)2＝(3cos x－3)2＋sin2x，
整理得2cos2x－3cos x＝0，
解得cos x＝0，或cos x＝32. 北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
4 ∵x∈0，π2，∴cos x＝32，x＝π6.
B组 能力提升
11．(2018·广州综合测试(二))已知两点A(－1,1)，B(3,5)，点C在曲线y＝2x2上运动，则AB→·AC→的最小值为( )
A．2 B．12
C．－2 D．－12
D [设C(x0,2x20)，因为AB→＝(4,4)，AC→＝(x0＋1,2x20－1)，所以AB→·AC→＝8x20＋4x0＝8x0＋142－12≥－12，即AB→·AC→的最小值为－12，故选D.]
12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是( )
A．－2 B．－32
C．－43 D．－1
B [法一：(解析法)
(1)建立坐标系如图(1)所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，
∴PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－3y)＝2x2＋y－322－34≥2×－34＝－32.
当且仅当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，最小值为－32.
故选B.
法二：(几何法) 北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
5 (2)如图(2)所示，PB→＋PC→＝2PD→(D为BC的中点)，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→.
要使PA→·PD→最小，则PA→与PD→方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA→·PD→)min＝－2|PA→||PD→|，问题转化为求|PA→||PD→|的最大值．
又|PA→|＋|PD→|＝|AD→|＝2×32＝3，
∴|PA→||PD→|≤|PA→|＋|PD→|22＝322＝34，
∴[PA→·(PB→＋PC→)]min＝(2PA→·PD→)min＝－2×34＝－32.
故选B.]
13．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
33 [由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|3e1－e2|＝(3e1－e2)2
＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.
同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.
所以cos 60°＝(3e1－e2)·(e1＋λe2)|3e1－e2||e1＋λe2|
＝3e21＋(3λ－1)e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，
解得λ＝33.]
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA→·BC→＝cCB→·CA→.
(1)求角B的大小；
(2)若|BA→－BC→|＝6，求△ABC面积的最大值.
【导学号：79140160】
[解] (1)由题意得(2a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案
6 所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，
即2sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝22，又B∈(0，π)，所以B＝π4.
(2)因为|BA→－BC→|＝6，所以|CA→|＝6，
即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋2)，
故△ABC的面积S＝12acsin B≤3(2＋1)2，
即△ABC的面积的最大值为32＋32.
