跨学科的数学题

所谓“文史哲不分家”，任何学习活动都　不是孤立地进行的，数学也不是一门孤立的　：　学科．分数和无理数之问的绷紧状态是打造　：　音乐和声的关键，数学知识的对称性是读懂　阿尔罕布拉的摩尔艺术家优美作品的基础，　：　莎士比亚的诗作中也充满了有趣的数学结　构．所以数学和我们所学的各个学科的知识　之问有着紧密的联系和融合，并由此出现了　很多跨学科的新题型，这一道道丰富多彩的　：　题目，成为中考试卷中靓丽的风景线．　

一、

与历史有关的问题　

清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有　：　兴趣的帝王．在西安曾发现了他的数学专著，　其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为　３、４、５的整数倍的直角三角形，已知面积求　边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积　数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再　以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现　在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边　长分别为３、４、５的整数倍，设其面积为５，则　

第一步：善＝ｍ；第二步：ｘ／ｗ＝　；第三步：分别　

：用３、４、５乘，得三边长”．　（１）当面积Ｓ等于１５０时，请用康熙的　“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边　长：　（２）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？　

请写出证明过程．　分析：先由题中所给的条件找出字母所代　：　表的关系，然后套用公式解题．　

解．（１）当Ｓ　０　＝　＝　＝　俘＝　－ｓ，　｝　．・．

三边长分男ｌＪ为：３×５＝１５，４×５＝２０，５×　

ｔ　５＝２５；　：　（２）证明：三边为３、４、５的整数倍，设为倍，　

：　则三边为３　，铋，５　，　而三角形为直角三角形且３　、４　为直角　

边，其面积５＝　（３ｋ）・（４ｋ）＝６ｋ　，　

数　．‘　＝　（　０），　学　即：将面积除以６，然后开方，即可得到倍数．　笛　二、与地理有关的问题　开田　在中国地图册上，连接上海、香港、台湾　

．．三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之　３０间的距离如图１所示．飞机从台湾直飞上海　

的距离约为１２８４千米，那么飞　香港再到上海的飞行距离约为　解：根据图上距离可知：飞　机从台湾绕道香港再到上海的　图上距离是飞机从台湾直飞上　海的图上距离的３倍，所以，飞　机从台湾绕道香港再到上海的　实际距离设为　（千米）．　机从台湾绕道　千米．　

上海　

．　一１２８４　香港　一　丁’　图１　解得　＝３８５２（千米），故填３８５２．　三、与物理有关的问题　在某一电路中，电源电压ｕ保持不变，电　流，（Ａ）与电阻Ｒ（Ｑ）之间的函数图象如图２　所示：　（１）　与Ｒ的函数关系式为：　；　（２）结合图象回答：当电路　阿百流不得　超过１２Ａ时，电路中电阻的取值范围是　．　

解：（１）设，＝　，　

＿．’函数图象经过点Ａ（６，６），　

．・．所以６：　，解得：Ｕ＝３６．　ｂ　

所以，Ｉ与Ｒ的函数关系式为：，＝　．　

（２）当，≤１２时，即　≤１２，解得电阻的取　

ｉ　。　ｉ　一　Ｄ　解析：ＮａＯＨ溶液呈强碱性，故ｐＨ值远远　大于７，而加水稀释则碱性减弱，即　Ｈ逐渐减　弱，故选Ｂ．　‘　五、与生物有关的问题　某校社会实践小组调查快餐的营养情　况．他们从食品安全监督部门获取了一份快　餐的信息（如图３）．根据信息，解答下列问题．　（１）求这份快餐中所含脂肪的质量；　（２）若碳水化合物占快　一，　霎霹善磐　份江…～　芝…　快餐　慧　霹　藩

白　ｉ　１＞　点　脯ｎ、　（３）若这份快餐中蛋白　“　

要　孪　拿　占夏坌　；　茂　比的和不高于８５％，求其　：　Ⅲ　中所含碳水化合物质量的　㈣　最大值．　．，　解：（１）４００×５％＝２０克．　图３　答：这份快餐中所含脂肪质量为２０克；　（２）设４００克快餐所含矿物质的质量为　克，由题意得：ｘ＋４ｘ＋２０＋４００　Ｘ　４０％＝４００。　

．‘．ｘ＝４４．４ｘ：１７６．　答：所含蛋白质的质量为１７６克：　（３）设所含矿物质的质量为Ｙ克，则所含蛋　白质的质量为４＇，克，所含碳水化合物的质量为　（３８０一ｓｔ）克．　．・．　＋（３８０—５ｒ）￣４００×８５％，　．‘．ｙ≥４０’＿．．一５），≤一２００，　．　．３８０—５ｙ≤３８０－２００．　即３８０－５ｒ≤１８０．　．‘．所合碳水化合物质量最大值为１８０克．　六、与体育有关的问题　如图４，足球场上守门员在０处开出一　高球，球从离地面１米的Ａ处飞出（　在　轴　士），运动员乙在距０点６米的日处发现球在　自　头的正上方达到最高点Ｍ，距地面约４　南，塔落地后又一次弹起．据实验测算，足　黪耷草援上弹起后的抛物线与原来的抛物线　形状相同，最大高度减少到原来最大高度的　一半．　…．（．１）求足球开始飞出到第一次落地时，该　抛物线的表达式．　。　（２）足球第一次落地点Ｃ距守门员多少　米？（取４＼／　＝７）　（３）运动员乙要抢到第二个落点Ｄ，他应　Ｉ　赫　再向前跑多少米？（取２、／　＝５）　Ｉ　４　Ｍ　｛　～　：　：　ｐ　’　Ｃ　Ｄ：　＝３６　一　１．　；　．‘　一

丢（　）２＋４　

、　分损益法是中国古代采用数学运算研　究／乐律的方法，即确定音乐体系中各音酌绝　对高壤及其相互关系的乐律理论．相传春　ｖ－　时管仲所作的《管子

・地员》对其已有明确的　：　载，．它奠定了中国古代五声音阶的基础。其　

一而　——＝商（由徵损其三分之数　一而得）．，、　篇　

中　的　数　学　中　的　数　学　

，’　１０８×　＝７２＝商（由徵损其三分之一而得）；　

’　７２×　４＝９６＝羽（由商益其三分之一而得）　

答案：×手，２×　４１０８　７２；７２　，９６．答案：　×　，　×　，．　、　、　八、与美术有关的问题　如图５是著名画家达・芬　奇的名画《蒙娜丽莎》．画中　的脸部被包在矩形ＡＢＣＤ内，　点Ｅ是ＡＢ的黄金分割点，　ＢＥ＞ＡＥ，若ＡＢ＝２口，则ＢＥ长　为（　）．　图５　

Ａ．（、／５＋１）Ⅱ　Ｂ．（、／５一１）ｏ　Ｃ．（３一、／５）ａ　Ｄ．（　５—２　ａ　分析：根据黄金分割的定义求解．　解：’．’点Ｅ是ＡＢ的黄金分割点，ＢＥ＞ＡＥ，　

．・．

ＢＥ：掣　：单　

＝（、／　一１　ａ　故答案为Ｂ．　评注：本题考查了黄金分割：把线段ＡＢ分　成两条线段４Ｃ和ＢＣ（ＡＣ＞ＢＣ），且使ＡＣ是　Ｂ和ＢＣ的比例中项（即ＡＢ：ＡＣ＝Ａ　Ｃ：ＢＣ），　叫做把线段ＡＢ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的　

黄金分割点．其中Ａｃ＝　－＿二　Ａ　０．６１８ＡＢ，　并且线段ＡＢ的黄金分割点有两个．　九、与计算机有关的问题　如图所示是计算机程序计算，若开始输　入　＝１，则最后输出的结果是——．　

分析：首先要理解该计算机程序的顺序，即　计算顺序，观察可以看出当输入　＝１时可能会　有两种结果，一种是当结果大于１０时直接输出，　另一种是当结果小于１０时，重新返回计算机．　解：当　＝１时，１×（－５）一（一１）＝一５＋１＝一４，　’．‘一

４＜１０．　

．・．把　＝－４代入（一４）×（一５）一（一１）＝２１，　

‘．

‘２１＞１０．　

．‘．输出的结果为２１．　

上期《一次函数与反比例函数综合练习》参考答案　１．Ａ；２．Ｃ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．７７；６．１．５；７．　＞ＯＬ；　８．解：（１）甲行走的速度：１５０＋５＝３（）（米／分）；　蜀【　（２）（图略）　学　（３）设乙出发经过　分和甲第一次相遇，　篇根据题意得：１５０＋３０ｘ＝５０ｘ，　解得：　＝７．５，７．５＋５＝１２．５（分），　

。　由函数图象可知，当ｔ＝１２．５时，ｓ＝ｏ，　一　．－．点　的坐标为（１２．５，０），　

当１２．５≤　≤３５时，设ＢＣ的解析式为：　ｓ＝ｋｔ＋ｂ，（　≠０），　把Ｃ（３５，４５０），Ｂ　ｆｋ＝２０　ｌ　ｂ＝－２５０’　

．‘．ｓ＝２０ｔ一２５０，　当３５＜ｔ≤５０时，　

ｓ＝ｋｌｘ＋ｂ１，（　１≠０），　

（１２．５，０）代入得：　设ＣＤ的解析式为　把Ｄ（５０，０），Ｃ（３５，４５０）代入得：　ｆ　一＝－３０　Ｉｂ；＝１５００　

．’．ｓ＝－３０ｔ＋１５００，　・．‘甲、乙两人相距３６０米，即　＝３６０．　解得：ｔｌ＝３０．５，ｔ２＝３８，　

．・．当甲行走３０．５分钟或３８分钟时，甲、　乙两人相距３６０米．　９．解：（１）把　（一２，０）代入　＝　＋１中，　

求得。：　．ｙ＝　＋１，　

由ＰＣ＝２，把Ｐ代人ｙ：　得：．ｊ２＝４，　则双曲线解析式为　＝　；　（２）设　（口，ｂ），当Ａｐｃ日一ＡＢＡ０时，　可得　：　，即旦手＝｝，　

．・．ａ－２＝２ｂ，即　２＝　，　解得：ｎ＝４或ｎ一２（舍去），　．・．Ｑ（４，１）；当ＡＱＣＨ￣，ＡＡＢＯ时，　可得　＝　，即孚＝争，　

解得：。＝ｌ＋、／丁或ｎ＝１一、／　（舍），　．　．Ｑ（１＋ｘ／３，２、ｖ／３—２），　综上，Ｑ（４，１）或Ｑ（１＋、／　，２Ｘ／－３－一２）．　

上期《＜投影与视图＞拓展精练》参考答案　１．Ｄ；２．Ｄ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．７２；６．１８；７．３６；８．着；　９．解：（１）液体形状为三棱柱；　利用图中数据，可以算出图中液体的体　

积为　液＝—　×３×４×４＝２４（ｄｍ　）．　故答案为：三棱柱，２４；　（２）当容器向左旋转时，　．　液体体积不变，　

．‘．—　

１　

一（ｘ＋ＢＱ）×４×４＝２４，．‘．ＢＱ＝—　＋３．　

当容器向右旋转时，　１×（４　）ｘＢＱ×４＝２４　Ｚ　

．・．８Ｑ＝告．