高二 定积分与微积分基本原理

定积分和微积分要点讲解

一、定积分的概念

教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数fx在区间,ab上是连续的，用分点011iinaxxxxxbLL将区间,ab等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点i（1,2,,inL），作和式11nniiiibafxfn，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数fx在区间,ab上的定积分，记作bafxdx，即1limnbianibafxdxfn．

对这个概念我们应从如下几个方面进行理解

１．对区间,ab分割的绝对任意性：在定义中我们将区间,ab进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间,ab的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．

２．在每个小区间1,iixx上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间1,iixx的端点，实际上我们可以在区间1,iixx上任意取点，如取中点等．

３．当n时，和式11nniiiibafxfn无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间,ab的分割方法，也不依赖于在每个小区间1,iixx上取点的方式．即bafxdx是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即bbaafxdxftdt．

４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间0,1等分成n个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了2fxx，1x， x轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积．

高二数学定积分

目标认知

学习目标：

1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思

想，了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体

验定积分的价值.

教学重点：

正确计算定积分，利用定积分求面积。

教学难点：

定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

知识要点梳理

知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.

说明：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

知识点二：定积分的几何意义

设函数在区间上连续.

在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；

在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值；

在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；

在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.

知识点三：定积分的性质

（1）（为常数），

（2），

（3）（其中）， （4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数在区间上是奇函数，则；

若函数在区间上是偶函数，则.

知识点四：微积分基本定理

第四节

定积分与微积分基本定理

高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．

[知识梳理]

1．定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

3．微积分基本定理

4．定积分的几何和物理应用

[辨识巧记]

1．两个结论

(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．

(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．

2．两个性质

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )

(2)若abf(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

[解析] －1 1|x|dx＝－1 0(－x)dx＋01xdx＝－12x2 0－1＋12x210＝12＋12＝1.

[答案] A

3．(选修2－2P65A组T5改编)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为( )

A.16 B.13 C.56 D.23

[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S

＝－1 0[x－(x2＋2x)]dx

＝－1 0(－x2－x)dx

＝－13x3－12x2 0－1＝16.

147 课题：定积分与微积分基本定理

考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .

② 了解微积分基本定理的含义.

教材复习

1.定积分

1积分的定义及相关概念

如果函数()fx在区间,ab上连续，用分点0122nnaxxxxxb，将区间,ab 等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点i(1,2,i…，n)，作和式1()niibafn，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间,ab 上的定积分，记作()bafxdx.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间,ab叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()fxdx叫做被积式．

2定积分的性质：

①1badx ；②()bakfxdx (k为常数)；

③()()bafxgxdx ；()bafxdx

3定积分的几何意义：

① 当函数()fx在区间,ab上恒正时，定积分()bafxdx

的几何意义是由直线xa，xb，0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baSfxdx； 当()fx≤0时，()baSfxdx ()bafxdx.

② 一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、曲边()fx

以及直线xa，xb之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.

2.微积分基本定理

如果()fx是区间,ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()bafxdx ，

这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．