一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C在y轴正半轴上,点B的坐标为
(4,m)(5≤m≤7),反比例函数y=16
x
(x>0)的图象交边AB于点D.
(1)用m的代数式表示BD的长;
(2)设点P在该函数图象上,且它的横坐标为m,连结PB,PD
①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S,求当m为何值时,S取到最大值;
②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在x轴上时,求m的值.
【答案】(1)BD=m﹣4(2)①m=7时,S取到最大值②m=5
【解析】
【分析】
(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标,即可得出结论;
(2)①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=﹣1
2
(m﹣8)2+24,即可
得出结论;②利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标,即可得出结论.【详解】
解:(1)∵四边形OABC是矩形,
∴AB⊥x轴上,
∵点B(4,m),
∴点D的横坐标为4,
∵点D在反比例函数y=16
x
上,
∴D(4,4),
∴BD=m﹣4;
(2)①如图1,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),
∴S矩形OABC=4m,
由(1)知,D(4,4),
∴S△PBD=1
2(m﹣4)(m﹣4)=
1
2
(m﹣4)2,
∴S=S矩形OABC﹣S△PBD=4m﹣1
2(m﹣4)2=﹣
1
2
(m﹣8)2+24,
∴抛物线的对称轴为m=8,
∵a<0,5≤m≤7,
∴m=7时,S取到最大值;
②如图2,过点P作PF⊥x轴于F,过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G,
∴∠DGP=∠PFE=90°,
∴∠DPG+∠PDG=90°,
由旋转知,PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠DPG+∠EPF=90°,
∴∠PDG=∠EPF,
∴△PDG≌△EPF(AAS),
∴DG=PF,
∵DG=AF=m﹣4,
∴P(m,m﹣4),
∵点P在反比例函数y=16
x
,
∴m(m﹣4)=16,
∴m=2+25或m=2﹣25(舍).
【点睛】
此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,矩形的性质,三角形的面积公式,全等三角形的判定,构造出全等三角形是解本题的关键.
2.如图①,在等腰△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=120°.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接CD,点M、P、N分别为DE、
DC、BC的中点,连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)在(2)中,把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=6,请分别求出
△PMN周长的最小值与最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)△PMN是等边三角形.理由见解析;(3)△PMN周长的最小值为3,最大值为15.
【解析】
分析:(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等边三角形,利用三角形的中位线定理可得
PM=1
2
CE,PM∥CE,PN=
1
2
BD,PN∥BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所
以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,所以
∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得
∠MPN=60°,所以△PMN是等边三角形;(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,
PM=PN=1
2
BD,所以当PM最大时,△PMN周长最大,当点D在AB上时,BD最小,PM
最小,求得此时BD的长,即可得△PMN周长的最小值;当点D在BA延长线上时,BD最大,PM的值最大,此时求得△PMN周长的最大值即可.
详解:
(1)因为∠BAC=∠DAE=120°,
所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,
所以△ABD≌△ADE;
(2)△PMN是等边三角形.
理由:∵点P,M分别是CD,DE的中点,
∴PM=1
2
CE,PM∥CE,
∵点N,M分别是BC,DE的中点,
∴PN=1
2
BD,PN∥BD,
同(1)的方法可得BD=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,
∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形.
(3)由(2)知,△PMN是等边三角形,PM=PN=1
2 BD,
∴PM最大时,△PMN周长最大,
∴点D在AB上时,BD最小,PM最小,
∴BD=AB-AD=2,△PMN周长的最小值为3;
点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,
∴BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为15.
故答案为△PMN周长的最小值为3,最大值为15
点睛:本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定,解决第(3)问,要明确点D在AB上时,BD最小,PM最小,△PMN周长的最小;点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,△PMN周长的最大值为15.
3.如图:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠PCQ=45°,把∠PCQ绕点C旋转,在整个旋转过程中,过点A作AD⊥CP,垂足为D,直线AD交CQ于E.
(1)如图①,当∠PCQ在∠ACB内部时,求证:AD+BE=DE;
(2)如图②,当CQ在∠ACB外部时,则线段AD、BE与DE的关系为_____;
(3)在(1)的条件下,若CD=6,S△BCE=2S△ACD,求AE的长.
【答案】(1)见解析(2)AD=BE+DE (3)8
【解析】
试题分析:(1)延长DA到F,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证;
(2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=∠BCE,然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE;
(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长,再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.试题解析:(1)证明:如图①,延长DA到F,使DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°.又∵∠ACB=90°,∠PCQ=45°,∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,
∵
CE CF
ACF BCE
AC BC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,∴△ACF≌△BCE(SAS),∴AF=BE,∴AD+BE=AD+AF=DF=DE,即
AD+BE=DE;
(2)解:如图②,在AD上截取DF=DE.∵CD⊥AE,∴CE=CF,
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°,∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCF=90°,∴∠ACF=∠BCE.在△ACF和△BCE中,
∵
CE CF
ACF BCE
AC BC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,∴△ACF≌△BCE(SAS),∴AF=BE,∴AD=AF+DF=BE+DE,即
AD=BE+DE;
故答案为:AD=BE+DE.
(3)∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°,∴∠ECF=45°+45°=90°,∴△ECF是等腰直角三角形,
∴CD=DF=DE=6.∵S△BCE=2S△ACD,∴AF=2AD,∴AD
=
1
12
+
×6=2,∴AE=AD+DE=2+6=8.
点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,但难度不是很大,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
4.已知:△ABC和△ADE均为等边三角形,连接BE,CD,点F,G,H分别为DE,BE,CD 中点.
(1)当△ADE绕点A旋转时,如图1,则△FGH的形状为,说明理由;
(2)在△ADE旋转的过程中,当B,D,E三点共线时,如图2,若AB=3,AD=2,求线段FH的长;
(3)在△ADE旋转的过程中,若AB=a,AD=b(a>b>0),则△FGH的周长是否存在最大值和最小值,若存在,直接写出最大值和最小值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)△FGH是等边三角形;(2)61
2
;(3)△FGH的周长最大值为
3
2
(a+b),最小值为3
2
(a﹣b).
【解析】
试题分析:(1)结论:△FGH是等边三角形.理由如下:根据三角形中位线定理证明FG=FH,再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题;、
(2)如图2中,连接AF、EC.在Rt△AFE和Rt△AFB中,解直角三角形即可;
(3)首先证明△GFH的周长=3GF=3
2
BD,求出BD的最大值和最小值即可解决问题;
试题解析:解:(1)结论:△FGH是等边三角形.理由如下:
如图1中,连接BD、CE,延长BD交CE于M,设BM交FH于点O.
∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ADB=∠AEC,∵EG=GB,EF=FD,∴FG=1
2
BD,GF∥BD,
∵DF=EF,DH=HC,∴FH=1
2
EC,FH∥EC,∴FG=FH,∵∠ADB+∠ADM=180°,
∴∠AEC+∠ADM=180°,∴∠DMC+∠DAE=180°,∴∠DME=120°,∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°,∴△GHF是等边三角形,故答案为:等边三角形.(2)如图2中,连接AF、EC.
易知AF ⊥DE ,在Rt △AEF 中,AE =2,EF =DF =1,∴AF =2221-=3,在Rt △ABF 中,BF =22AB AF - =6,∴BD =CE =BF ﹣DF =61-,∴FH =12EC =612
-. (3)存在.理由如下.
由(1)可知,△GFH 是等边三角形,GF =
12
BD ,∴△GFH 的周长=3GF =3
2BD ,在△ABD
中,AB =a ,AD =b ,∴BD 的最小值为a ﹣b ,最大值为a +b ,∴△FGH 的周长最大值为
3
2
(a +b ),最小值为3
2
(a ﹣b ).
点睛:本题考查等边三角形的性质.全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正确寻找全等三角形解决问题,学会利用三角形的三边关系解决最值问题,属于中考压轴题.
5.如图①,在
ABCD 中,AB =10cm ,BC =4cm ,∠BCD =120°,CE 平分∠BCD 交AB 于点E .
点P 从A 点出发,沿AB 方向以1cm/s 的速度运动,连接CP ,将△PCE 绕点C 逆时针旋转60°,使CE 与CB 重合,得到△QCB ,连接PQ . (1)求证:△PCQ 是等边三角形;
(2)如图②,当点P 在线段EB 上运动时,△PBQ 的周长是否存在最小值?若存在,求 出△PBQ 周长的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图③,当点P 在射线AM 上运动时,是否存在以点P 、B 、Q 为顶点的直角三角形?
若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.
(1) (2)
(3)
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,理由见解析;(3)t为2s或者14s.
【解析】
分析:(1)根据旋转的性质,证明△PCE≌△QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可;
(2)利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形,然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可;
(3)根据点的移动的距离,分类讨论求解即可.
详解:(1)∵旋转
∴△PCE≌△QCB
∴CP=CQ,∠PCE =∠QCB,
∵∠BCD=120°,CE平分∠BCD,
∴∠PCQ=60°,
∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°,
∴△PCQ为等边三角形.
(2)存在
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=60 ,
∵在平行四边形ABCD 中,
∴AB∥CD
∴∠ABC=180°﹣120°=60°
∴△BCE为等边三角形
∴BE=CB=4
∵旋转
∴△PCE≌△QCB
∴EP=BQ,
∴C△PBQ=PB+BQ+PQ
=PB+EP+PQ
=BE+PQ
=4+CP
∴CP⊥AB时,△PBQ周长最小
当CP⊥AB时,CP=BCsin60°=3
∴△PBQ周长最小为4+23
(3)①当点B与点P重合时,P,B,Q不能构成三角形
②当0≤t<6时,由旋转可知,
∠CPE=∠CQB,
∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°
则:∠BPQ+∠CQB=60°,
又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°
∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°
∴∠QBP=60°,∠BPQ<60°,
所以∠PQB可能为直角
由(1)知,△PCQ为等边三角形,
∴∠PBQ=60°,∠CQB=30°
∵∠CQB=∠CPB
∴∠CPB=30°
∵∠CEB=60°,
∴∠ACP=∠APC=30°
∴PA=CA=4,
所以AP=AE-EP=6-4=2
÷=s
所以t=212
③当6<t<10时,由∠PBQ=120°>90°,所以不存在
④当t>10时,由旋转得:∠PBQ=60°,由(1)得∠CPQ=60°
∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC,
而∠BPC>0°,
∴∠BPQ>60°
∴∠BPQ=90°,从而∠BCP=30°,
∴BP=BC=4
所以AP=14cm
所以t=14s
综上所述:t为2s或者14s时,符合题意。
点睛:此题主要考查了旋转图形变化的应用,结合平行四边形、等边三角形、全等三角形的判定与性质,进行解答即可,注意分类讨论思想的应用,比较困难.
6.已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD= ;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD= ;(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
【答案】(1);(2);(3)当∠ACB=120°时,CD有最大值是a+b.
【解析】
【分析】
(1)a=b=3,且∠ACB=60°,△ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解;
(2)a=b=6,且∠ACB=90°,△ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差;
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.
【详解】
(1)∵a=b=3,且∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴OC=,
∴CD=3;
(2)3;
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,
则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a,
∴△CDE为等边三角形,
∴CE=CD.
当点E、A、C不在一条直线上时,
有CD=CE<AE+AC=a+b;
当点E、A、C在一条直线上时,
CD有最大值,CD=CE=a+b;
只有当∠ACB=120°时,∠CAE=180°,
即A、C、E在一条直线上,此时AE最大
∴∠ACB=120°,
因此当∠ACB=120°时,CD有最大值是a+b.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD有最大值的条件,
是解题的关键.
7.如图1,在△ABC中,E、D分别为AB、AC上的点,且ED//BC,O为DC中点,连结EO 并延长交BC的延长线于点F,则有S四边形EBCD=S△EBF.
(1)如图2,在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,当直线MN满足某个条件时,△MON的面积存在最小值.直接写出这个条件:_______________________.
(2)如图3,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,
0)、(6,3)、(,)、(4、2),过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
【答案】(1)当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时,△MON的面积最小;(2)10.【解析】
试题分析:(1)当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF 于G.由全等三角形的性质可以得出结论;
(2)①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N,由(1)的结论知,当PM=PN时,△MND的面积最小,此时四边形OANM的面积最大,S =S△OAD-S△MND.
四边形OANM
②如图3②,过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,利用S
=S△OCT-S△MN T,进而得出答案.
四边形OCMN
试题解析:(1)当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时,△MON的面积最小.
如图2,过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,∴S△MON<S△EOF.
∴当点P是MN的中点时S△MON最小.
(2)分两种情况:
①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N.
延长OC、AB交于点D,易知AD = 6,S△OAD=18 .
由(1)的结论知,当PM=PN时,△MND的面积最小,此时四边形OANM的面积最大.过点P、M分别作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分别为P1、M1.
由题意得M1P1=P1A = 2,从而OM1=MM1= 2.又P(4,2),B(6,3)
∴P1A=M1P1="O" M1=P1P=2,M1M=OM=2,可证四边形MM1P1P是正方形.
∴MN∥OA,∠MND=90°,NM=4,DN=4.求得S△MND=8.
∴.
② 如图3②,过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N.
延长CB交x轴于T点,由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y =-x+9 .
则T点的坐标为(9,0).
∴S△OCT=×9×=.
由(1)的结论知:当PM=PN时,△MNT的面积最小,此时四边形OCMN的面积最大.
过点P、M点分别作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足为P1,M1.
从而 NP1=P1M1,MM1=2PP1=4.
∴点M的横坐标为5,点P(4、2),P1M1= NP1= 1,TN =6.
∴S△MNT=×6×4=12,S四边形OCMN=S△OCT-S△MNT =-12=<10.
综上所述:截得四边形面积的最大值为10.
考点:1.线动旋转问题;2.正方形的判定和性质;3.图形面积求法;4.分类思想的应用.
8.思维启迪:(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米,那么A,B间的距离是米.
思维探索:(2)在△ABC和△ADE中,AC=BC,AE=DE,且AE<AC,∠ACB=∠AED=90°,将△ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为α,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC,PE.
①如图2,当△ADE在起始位置时,猜想:PC与PE的数量关系和位置关系分别是;
②如图3,当α=90°时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
③当α=150°时,若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.
【答案】(1)200;(2)①PC=PE,PC⊥PE;②PC与PE的数量关系和位置关系分别是
PC=PE,PC⊥PE,见解析;③PC21033
.
【解析】
【分析】
(1)由CD∥AB,可得∠C=∠B,根据∠APB=∠DPC即可证明△ABP≌△DCP,即可得AB =CD,即可解题.
(2)①延长EP交BC于F,易证△FBP≌△EDP(SAS)可得△EFC是等腰直角三角形,即可证明PC=PE,PC⊥PE.
②作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,易证△FBP ≌△EDP (SAS ),结合已知得BF =DE =AE ,再证明△FBC ≌△EAC (SAS ),可得△EFC 是等腰直角三角形,即可证明PC =PE ,PC ⊥PE .
③作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°,得∠FBC =∠EAC ,同②可证可得PC =PE ,PC ⊥PE ,再由已知解三角形得∴EC 2=CH 2+HE 2
=10+
求出2211022
PC EC +==
【详解】
(1)解:∵CD ∥AB ,∴∠C =∠B , 在△ABP 和△DCP 中,
BP CP
APB DPC B C =??
∠=∠??∠=∠?
, ∴△ABP ≌△DCP (SAS ), ∴DC =AB . ∵AB =200米. ∴CD =200米, 故答案为:200.
(2)①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F , 同(1)理,可知∴△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴PF =PE ,BF =DE , 又∵AC =BC ,AE =DE , ∴FC =EC , 又∵∠ACB =90°,
∴△EFC 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴PC =PE ,PC ⊥PE .
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC =PE ,PC ⊥PE . 理由如下:如解图2,作BF ∥DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF , 同①理,可知△FBP ≌△EDP (SAS ), ∴BF =DE ,PE =PF =1
2
EF , ∵DE =AE , ∴BF =AE ,
∵当α=90°时,∠EAC =90°, ∴ED ∥AC ,EA ∥BC
∵FB ∥AC ,∠FBC =90, ∴∠CBF =∠CAE , 在△FBC 和△EAC 中,
BF AE CBE CAE BC AC =??
∠=∠??=?
, ∴△FBC ≌△EAC (SAS ), ∴CF =CE ,∠FCB =∠ECA , ∵∠ACB =90°, ∴∠FCE =90°,
∴△FCE 是等腰直角三角形, ∵EP =FP , ∴CP ⊥EP ,CP =EP =
1
2
EF . ③如解图3,作
BF
∥
DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点,
当α=150°时,由旋转旋转可知,∠CAE =150°,DE 与BC 所成夹角的锐角为30°, ∴∠FBC =∠EAC =α=150° 同②可得△FBP ≌△EDP (SAS ),
同②△FCE 是等腰直角三角形,CP ⊥EP ,CP =EP =2
2
CE , 在Rt △AHE 中,∠EAH =30°,AE =DE =1, ∴HE =
12,AH =3, 又∵AC =AB =3, ∴CH =3+
3
2
, ∴EC 2=CH 2+HE 2=1033+ ∴PC 2=
211033
22
EC +=
【点睛】
本题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.
9.如图,是边长为的等边三角形,边在射线上,且,点从点出发,沿的方向以的速度运动,当不与点重合是,将
绕点逆时针方向旋转得到,连接.
(1)求证:是等边三角形;
(2)当时,的周长是否存在最小值?若存在,求出的最小周长;
若不存在,请说明理由.
(3)当点在射线上运动时,是否存在以为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)存在,2+4;(3)当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.
【解析】
试题分析:(1)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;(2)当6<t<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;(3)存在,①当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,②当0≤t<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2,于是得到t=2÷1=2s;③当6<t<10s时,此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.
试题解析:(1)证明:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形;
(2)存在,当6<t<10时,
由旋转的性质得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,
此时,CD=2cm,
∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4;
(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,
∴当点D与点B重合时,不符合题意,
②当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2s;
③当6<t<10s时,由∠DBE=120°>90°,
∴此时不存在;
④当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
从而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14s,
综上所述:当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.考点:旋转与三角形的综合题.
10.如图1,O为直线AB上一点,OC为射线,∠AOC=40°,将一个三角板的直角顶点放在点O处,一边OD在射线OA上,另一边OE与OC都在直线AB的上方.
(1)将三角板绕点O顺时针旋转,若OD恰好平分∠AOC(如图2),试说明OE平分
∠BOC;
(2)将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转,当OD落在∠BOC内部,且∠COD=
1
∠BOE时,求∠AOE的度数:
3
(3)将图1中的三角板和射线OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周,求第几秒时,OD恰好与OC在同一条直线上?
【答案】(1)证明见解析;(2)142.5°;(3)第10秒或第55秒时.
【解析】
【分析】
(1)由角平分线的性质及同角的余角相等,可得答案;
(2)设∠COD=α,则∠BOE=3α,由题意得关于α的方程,求解即可;
(3)分两种情况考虑:当OD与OC重合时;当OD与OC的反向延长线重合时.
【详解】
解:(1)∵OD恰好平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠BOE=90°,∠COD+∠COE=90°
∴∠BOE=∠COE
∴OE平分∠BOC.
(2)设∠COD=α,则∠BOE=3α,当OD在∠BOC的内部时,
∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+α
∵∠AOD+∠BOE=180°﹣90°=90°
∴40°+α+3α=90°
∴α=12.5°
∴∠AOE=180°﹣3α=142.5°
∴∠AOE的度数为142.5°.
(3)设第t秒时,OD与OC恰好在同一条直线上,则∠AOD=6t,∠AOC=2t+40°;
当OD与OC重合时,6t﹣2t=40°
∴t=10(秒);
当OD与OC的反向延长线重合时,6t﹣2t=180°+40°
∴t=55(秒)
∴第10秒或第55秒时,OD恰好与OC在同一条直线上.
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质、余角的性质,角度的计算,进行分类讨论不漏解是关键.