初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》解答优生辅导训练题（附答案）1．已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC 于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①直接写出△BDQ的周长；②直接写出tan∠BDQ的值．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1交抛物线于点C（2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．（3）在y轴上是否存在点D，使得以点A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC∥OA，已知点O（0，0），A（6，0），B （3，m），AB＝3．（1）求B点坐标及抛物线的解析式；（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线l交抛物线于点E，交OB于点D，求DE 的最大值；（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y＝x2﹣x﹣m2﹣m．（1）求证：抛物线与x轴必定有公共点；（2）若P（a，y1），Q（﹣2，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．求a的取值范围；（3）设抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且|x1|+|x2|＝3，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接CD、DB，△DBC 面积是否存在最大值，若存在，求点D的坐标，若不存在说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．6．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）（1）当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为．②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为．（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．12．抛物线y＝ax2+4x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其顶点为M，且经过点B、C 的直线解析式为y＝﹣x+5．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，且以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．（3）直线y＝kx﹣2k+4（k＞0）与抛物线交于点P、Q，若△MPQ的面积等于15，求k 的值．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣4）和B （0，﹣1）．（1）求抛物线C1的函数表达式；（2）将抛物线C1向右平移2个单位长度得到抛物线C2，平移后的抛物线C2与原抛物线C1相交于点C，点E是平面直角坐标系内任意一点，原抛物线C1的对称轴上是否存在点D，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是以BC为边的菱形，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴分别交于A、B 两点，且点A在点B的左侧．（1）求出点A、B的坐标．（2）记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使得∠DOA＝45°？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；16．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．（1）求直线BC解析式．（2）如图①，求OP+P A的和取最小值时点P的坐标．（3）如图②，求AQ+QP的最小值．（4）如图③，求AQ+QC的最小值．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求点P的坐标和S1﹣S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A1C1（线段A1C1始终在直线l的左侧），是否使得△A1C1G是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足要求的点G的坐标；若不存在，请说明理由．18．函数图象交x轴于A，B两点（点A在左侧）、交y轴交于点C．已知：OB＝2OA，点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线上点P在第一象限，当∠OCB＝2∠PCB时，求点P的坐标；（3）抛物线上的点D在第一象限内，过点D作直线DE⊥x轴于点E，当7OE＝20DE 时，直接写出点D的坐标；若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．综合与探究已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）求tan∠CBD的值．（3）若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为．（4）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得∠PCB＝∠DCB，求出P点的坐标；（3）点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，∴△PEH∽△OEC，∴＝，∵＝k，OC＝3，∴k＝PH，设直线BC的解析式为y＝kx+n，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，k取得最大值，此时P（，）；（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∴Q（1，0），∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，∵点C关于x轴的对称点为点D，∴D（0，﹣3），∵B（3，0），∴OB＝OD＝3，∵∠BOD＝90°，∴DQ＝＝，BD＝＝＝3，∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3，故答案为：2++3；②在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO＝45°，∵∠BTQ＝90°，∴△BQT是等腰直角三角形，∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，∴tan∠BDQ＝＝＝，故答案为：．2．解：（1）∵y＝﹣x﹣1与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝x2+bx+c，∴，解得∴函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，∴﹣1≤x≤2，∴PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，PE的最大值是，此时P（，﹣）；（3）存在点D，使得以点A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：设点D的坐标为（0，m），①当CD为底，且AC＝AD时，1+m2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，解得：m＝±，∴D（0，）或（0，﹣）；②当AD为底，且CA＝CD时，22+（m+3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，解得：m＝﹣3±，∴D（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣）；③当AC为底，且DA＝DC时，1+m2＝22+（m+3）2，解得：m＝﹣2，∴D（0，﹣2）；综上所述：点D的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0.3+）或（0，3﹣）或（0，﹣2）．3．解：（1）∵抛物线经过O（0，0），∴c＝0，∵A（6，0），B（3，m），∴AB＝，∵AB＝3，∴＝3，∴m＝±6，∵m＞0，∴m＝6，∴B（3，6），∵点O（0，0），A（6，0）是抛物线与x轴的交点，∴抛物线的对称轴为x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴y＝ax2﹣6ax，将B（3，6）代入y＝ax2﹣6ax，解得a＝﹣，∴抛物线的解析为y＝﹣x2+4x；（2）∵BC∥OA，M是CB上一点，∴ED⊥x轴，设直线BO的解析式为y＝kx，∴3k＝6，∴k＝2，∴直线BO的解析式为y＝2x，设E（t，﹣t2+4t），则D（t，2t），∴ED＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，DE的最大值为；（3）存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形，理由如下：∵BC∥OA，B（3，6），∴C（0，6），由（2）知D（，3），设F（x，y），当DF、BC为菱形对角线时，BC＝CD，∴，∴，∴F（，9）；综上所述：F点的坐标为（，9）．4．证明：（1）∵y＝x2﹣x﹣m2﹣m，∴Δ＝1+4（m2+m）＝（2m+1）2≥0，∴抛物线与x轴必定有公共点；（2）∵y＝x2﹣x﹣m2﹣m＝（x﹣）2﹣﹣m2﹣m，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵a＝1，∴抛物线的开口向上，∵y1＞y2，∴|a﹣|＞|﹣2﹣|，解得a＞3或a＜﹣2；（3）△DBC面积是否存在最大值，理由如下：令x＝0，则y＝﹣m2﹣m，∴C（0，﹣m2﹣m），令y＝0，则x2﹣x﹣m2﹣m＝0，∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣m2﹣m，∵|x1|+|x2|＝3，∴++2|x1•x2|＝9，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2+2|x1•x2|＝9，∴1+2m2+2m+2|﹣m2﹣m|＝9，解得m＝1或m＝﹣2，∴y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣1或x＝2，∴A（﹣1，0），B（2，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣2，过点D作DE∥y轴交直线BC于点E，设D（t，t2﹣t﹣2），则E（t，t﹣2），∴ED＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，∴S△BCD＝×（﹣t2+2t）×2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，∴当t＝1时，△DBC面积有最大值1，此时D（1，﹣2）．5．解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．6．解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4）；（2）过点C作CE⊥x轴于点E，设D（m，0），∵A（﹣1，0），C（1，4），∴EA＝2，EC＝4，DE＝m﹣1，AD＝|m+1|，在Rt△AEC中，AC＝2，在Rt△DEC中，DC＝，①当AD＝CD时，|m+1|＝，解得m＝4，∴D（4，0）；②当CA＝CD时，＝2，解得m＝﹣1（舍）或m＝3（舍）；③当AC＝AD时，|m+1|＝2，解得m＝2﹣1或m＝﹣2﹣1，∴D（2﹣1，0）或D（﹣2﹣1，0）；综上所述：D点坐标为（4，0）或（2﹣1，0）或（﹣2﹣1，0）．7．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+4；（2）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴S△OAC＝×3×4＝6，∵S△BOP＝2S△AOC，∴S△BOP＝12，设P（t，﹣t2+t+4），∵B（4，0），∴OB＝4，∴×4×|﹣t2+t+4|＝12，解得t＝6或t＝﹣5，∴P（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；（3）存在点Q，使得∠QBA＝75°，理由如下：∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为x＝，在对称轴上取点M使QM＝MB，∴∠EMB＝2∠MQB，∵∠QBA＝75°，∴∠MQB＝15°，∴∠EMB＝30°，∴MB＝2BE，∵B（4，0），E（，0），∴BE＝，∴BM＝QM＝7，ME＝，∴QE＝7+，∴Q（，7+）；Q点关于x轴对称的点为（，﹣7﹣）；综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，﹣7﹣）．8．解：（1）①∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为（1，﹣4），故答案为：（1，﹣4）；②设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，∴抛物线经过定点（2，﹣3），∴当m＝﹣3时，EF的长度不变，当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，解得x＝0或x＝2，∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），∴EF＝2；（3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下：设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，∴Q（1，a﹣3），∵y＝ax2﹣2ax﹣3，∴P（1，﹣a﹣3），∵EF⊥PQ，∴EF与PQ为正方形的对角线，∵E、F关于x＝1对称，∴EP＝PF，∴EF＝2＝PQ，∴2＝|2a|，∴a＝±1．9．解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，∵m＞0，∴﹣m＜0，∴A（﹣m，0），B（2，0），∴AB＝2+m，令x＝0，则y＝﹣2m，∴C（0，﹣2m），∵△ABC的面积为8，∴×（2+m）×（2m）＝8，解得m＝2或m＝﹣4（舍）；（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，∵的横坐标为t，∴T（t，t2﹣4），过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，∵∠DCT＝90°，∴∠DCE+∠TCF＝90°，∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠TCF＝∠CDE，∴△CED∽△TFC，∴＝＝，∵∠ATC＝60°，∴＝，∵C（0，﹣4），∴CF＝t，TF＝t2，∴DE＝t，CE＝t2，∴D（﹣t2，t﹣4），设直线AT的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，∴（t﹣1）2＝；（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，∵A、B关于y轴对称，∴AP＝BP，∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ABG＝∠ACO，∵AO＝2，CO＝4，∴AC＝2，∴sin∠ACO＝，∴＝，∴CP＝GP，∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，∵cos∠ACO＝＝＝，∴BG＝，∴CP+AP的最小值为8，∵tan∠ACO＝＝＝，∴OP＝1，∴P（0，﹣1）．10．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）存在，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0．∴x＝﹣1或x＝4．∴点A（﹣1，0）．∴OA＝1．∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2．∴＝．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC．Ⅰ、当△PNC∽△AOC时，∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC．∴CP∥OB．∴点P的纵坐标为﹣2．∴m2﹣m﹣2＝﹣2．∴m＝0（舍）或m＝3．∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD．∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP．∴∠PCD＝∠PDC．∴PC＝PD．由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝．∴2m﹣m2＝．∴m＝或m＝0（不符合题意，舍去）．∴P（，﹣）．即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．11．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标为C（0，6）．∴抛物线为y＝ax2+bx+6．将A（﹣1，0）、B（3，0）C（0，6）．代入y＝ax2+bx+6，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴点C的坐标为（0，6）．设直线BC的解析式为y＝kx+c，将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S＝PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m＜3．综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值；（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当＝＝＝时，△COB∽△CDM∽△CMN，∴＝，解得，a＝1，∴M（1，8），此时ND＝DM＝，∴N（0，），当＝＝时，△COB∽△MDC∽△NMC，∴＝，解得a＝，∴M（，），此时N（0，）．如图3，当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：＝或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，∴M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC 相似．12．解：（1）∵经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+5．令x＝0，则y＝5，令y＝0，则0＝﹣x+5，解得x＝5，∴B（5，0），C（0，5），代入抛物线y＝ax2+4x+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x+5；（2）①如图，若BC为平行四边形的一边，则DE∥BC，且DE＝BC，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴点D的横坐标为2，∵B（5，0），C（0，5），∴点E的横坐标为﹣3或7，∴点E的横坐标为（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）；②如图，若BC为平行四边形的一条对角线，则BE∥CD，设BC、DE交于点F，则点F的横坐标为，∴点D的横坐标为2，∴点E的横坐标为3，∴E（3，8）．综上，点E的横坐标为（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）或（3，8）；（3）如图：∵直线y＝kx﹣2k+4（k＞0），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴直线y＝kx﹣2k+4（k＞0）与抛物线的对称轴交点N的坐标为（2，4），抛物线的顶点M的坐标为（2，9），设点P、Q的横坐标为m、n（m＞n），则m、n为方程kx﹣2k+4＝﹣x2+4x+5的两根，化简方程kx﹣2k+4＝﹣x2+4x+5得x2+（k﹣4）x﹣2k﹣1＝0，∴m+n＝4﹣k，mn＝﹣2k﹣1，∵△MPQ的面积等于15，∴×（9﹣4）（m﹣n）＝15∴m﹣n＝6，∴（m﹣n）2＝36，∴（m+n）2﹣4mn＝36，即（4﹣k）2﹣4（﹣2k﹣1）＝36，∴k＝±4，∵k＞0，∴k＝4．13．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；（2）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）．设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），∴m＝t﹣3＝﹣1，故点D（﹣2，﹣1）；联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，∴m＝t+3＝﹣1或﹣1﹣，故点D（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1﹣）；综上，点D的坐标为：（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣1﹣）．14．解：（1）令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），B（3，0）；（2）存在点D使得∠DOA＝45°．∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴顶点C的坐标为（2，﹣a），∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA＝AB，∠ACB＝90°，∵CH⊥AB，∴CH＝AH＝BH，∴﹣a＝1，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，设D（t，﹣t2+4t﹣3），∵∠DOA＝45°，∴|x D|＝|y D|，∴|t|＝|﹣t2+4t﹣3|，解得：t＝，∴D（，）或（，﹣）．15．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，若△PCM和△ABC相似，分两种情况：①当△CPM∽△CBA，∴，即，解得：m＝，∴P（，﹣）；②当△CPM∽△ABC，∴，即，解得：m＝，∴P（，﹣）；综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，同理可得m＝m2﹣3m，解得m1＝0（舍去），m2＝3+，∴P（3+，），综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．16．解：（1）令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），把x＝0代入y＝x2﹣4x+3得y＝3，∴C（0，3），设BC解析式为y＝kx+b，将（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+3．（2）过点C作直线CM∥x轴，过点B作BM∥y轴，两直线交于点M，连接AM，点P 为AM与BC交点，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴四边形OBMC为正方形，∴点M，点O关于BC对称，点M坐标为（3，3），设直线AM解析式为y＝mx+n，将（1，0），（3，3）代入y＝mx+n得，解得，∴y＝x﹣，令x﹣＝﹣x+3，解得x＝，把x＝代入y＝﹣x+3得y＝，∴点P坐标为（，）．（3）设点A关于y轴对称点为A'，作A'P⊥BC于点P，A'P交y轴于点Q，则AQ+QP 最小值为A'P的长度，∵点A（1，0），∴A'（﹣1，0），∴A'B＝3+1＝4，∵∠CBA＝45°，∴△A'PB为等腰直角三角形，∴A'P＝PB＝A'B＝×4＝2．∴AQ+QP的最小值为2．（4）在x轴负半轴上取点G，使∠GCO＝30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q，在Rt△CQH中，∠HCQ＝30°，∴HQ＝CQ，∴AH＝CQ+AQ，∵∠GCO＝30°，∴OG＝OC＝，∴AG＝1+，∵∠CGO＝90°﹣30°＝60°，∴AH＝AG＝．∴AQ+QC的最小值为．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，当x＝0时，y＝2，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把点C（0，2），B（3，0）代入得：，解得：．∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2．设AD的解析式为，y＝﹣x+m，把点A（﹣1，0）代入得：−×（−1）+m＝0，解得：m＝−，∴AD的解析式为：y＝−x−，由解得：，，∴D（4，−），∴直线CD的解析式为：y＝−x+2，当y＝0时，−x+2＝0，解得：x＝，记直线CD与x轴交于点N，则：N（，0），BN＝3﹣＝，过点P作PM⊥AB交BC于点M，设P（a，−a2+a+2），∴M（a，−a+2），∴PM＝−a2+a+2−（−a+2）＝−a2+2a，∴S1＝S△ABC+S△PCM+S△PBM＝•AB•OC+•PM•|xP|+•PM•|xB−xp|＝×4×2+×（−a2+2a）×a+×（−a2+2a）×（3−a）＝﹣a2+3a+4，S2＝S△BNC+S△BND＝•BN•OC+•BN•|yD|＝××2+××＝4，∴S1﹣S2＝﹣a2+3a+4﹣4＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，S1﹣S2的最大值为，此时，点P的坐标为（，）（3）∵−＝−＝1，∴抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴为：x＝1，∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，∴直线l为：x＝2，过点A1作A1Q⊥C1H于点Q，∵∠HC1G1+∠QC1A1＝90°，∠QC1A1+∠QA1C1＝90°，∴∠HC1G1＝∠QA1C1，又∵∠A1QC1＝∠C1HG1＝90°，A1C1＝C1G1，∴△A1QC1≌△C1HG1（AAS），∴QA1＝C1H，HG1＝QC1，∵AC∥A1C1，设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），∴C1H＝2﹣a，A1Q＝2，HG1＝C1Q＝1，∴2﹣（a+1）＝2，解得：a＝﹣1，∴C1（0，2），H（2，2），∴G1（2，1），（ii）当等腰三角形以∠CA1G2＝90°，A1C1＝A1G2时，如图，过点A1作A1F⊥l于点F，过点C1作C1E⊥A1F于点E，同（i）理可证：△C1A1E≌△A1G2F，设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），∴G2F＝A1E＝1，F A1＝2﹣a＝2，∴a＝0，∴A1（0，−），∴F（2，−），∴G2（2，−），Q，过点C1作C1P⊥l于点P，同（i）理可证：△C1PG3≌△G3A1Q，设点A1（a，−a−），C1（a+1，−a+），∴A1Q＝G3P＝2﹣a，C1P＝QG3＝1﹣a，PQ＝2，∴2﹣a+1﹣a＝2，解得：a＝，∴C1（，1），G3P＝2﹣＝，∴G3（2，﹣），综上所述：存在点G1（2，1），G2（2，−），G3（2，﹣），使得△A1C1G是等腰直角三角形．18．解：（1）∵点F的坐标为（0，2），△AFB≌△ACB，∴C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝x2+bx﹣2，令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，∴x A•x B＝﹣8，∵OB＝2OA，点A在左侧，∴x B＝﹣2x A，∴x A＝﹣2，x B＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），将点A代入y＝x2+bx﹣2，得b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∵∠OCB＝2∠PCB，∴P点在∠OCB的角平分线上，设CP交x轴于点D，过点D作DG⊥BC于点G，∴DO＝DG，∵B（0，4），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴OB＝2，∴sin∠OBC＝，∴＝，解得OD＝﹣1，∴D（﹣1，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，联立方程组，解得x＝0（舍）或x＝2+4，∴P（2+4，5+3）；（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设D（t，t2﹣t﹣2），则E（t，0），∵点D在第一象限内，∴DE＝t2﹣t﹣2，OE＝t，∵7OE＝20DE，∴7t＝20（t2﹣t﹣2），解得t＝5或t＝﹣（舍），∴D（5，），∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴函数的对称轴为直线x＝1，设M（m，m2﹣m﹣2），N点横坐标为1，①当MN、BD为平行四边形的对角线时，m+1＝4+5，∴m＝8，∴M（8，10）；②当MB、ND为平行四边形的对角线时，m+4＝1+5，∴m＝2，∴M（2，﹣2）；③当MD、NB为平行四边形的对角线时，m+5＝1+4，∴m＝0，∴M（0，﹣2）；综上所述：M点的坐标为（8，10）或（2，﹣2）或（0，﹣2）．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D的坐标为（1，﹣4），∴抛物线的解析式：y＝a（x﹣1）2﹣4，把C（0，﹣3）代入解析式y＝a（x﹣1）2﹣4，得a（0﹣1）2﹣4＝﹣3，解得a＝1．∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，连接CD，过点D作DE⊥y轴于点E，由（1）知抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，得y＝（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3；∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴CE＝1，DE＝1，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，CD＝．∴∠DCB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CBD＝＝；（3）S四边形ACDB＝S△ABC+S△BCD＝+＝9．∴直线y＝mx﹣m﹣4把四边形ACDB的面积为3和6两部分；∵直线y＝mx﹣m﹣4＝m（x﹣1）﹣4，当x＝1时，y＝﹣4，∴直线y＝mx﹣m﹣4过定点D（1，﹣4），设直线y＝mx﹣m﹣4与x轴交于点M，∴S△BDM＝3或6，即×4•BM＝3或6，∴BM＝或3，∴M（，0）或M（0，0），把点M的坐标代入直线y＝mx﹣m﹣4得，m﹣m﹣4＝0或0m﹣m﹣4＝0，解得m＝8或m＝﹣4．故答案为：8或﹣4．（4）存在，理由如下：分情况讨论，当BC为平行四边形的边时，①当点Q在x轴下方时，如图2所示，此时P1Q1∥BC，CQ1∥BP1，∴点Q1的纵坐标为﹣3，令x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝0（舍去）或x＝2，∴Q1（2，﹣3），②当点Q在x轴上方时，如图3所示，此时BC∥PQ，设P（m，0），∵点C先向右移动3个单位，再向上平移3个单位到点B，∴点P先向右移动3个单位，再向上平移3个单位到点Q，令x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝1+或x＝1﹣．∴Q2（1﹣，3），Q3（1+，3）．当BC为对角线时，如图4所示，此时BP∥CQ，∴Q4（2，﹣3）．综上可知，符合题意的点Q的坐标为（2，﹣3），（1﹣，3），（1+，3）．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．∴D（1，0）．（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，过点E作EF⊥x轴交CP于点F，令x＝0，解得y＝3，∴C（0，3），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵∠PCB＝∠DCB，∴∠OCD＝∠ECF，令y＝3，则﹣x2+2x+3＝3，解得x＝0（舍去）或x＝2，∴E（2，3）．∴CE＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∴tan∠OCD＝＝，∴tan∠ECF＝，即＝，∴EF＝，∴F（2，）．设直线CF的解析式为：y＝kx+3，∴2k+3＝，解得k＝﹣，∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+3，令﹣x2+2x+3＝﹣x+3，解得x＝0（舍去）或x＝．∴P（，）．（3）存在，理由如下：根据菱形的对称性可知△CDM是等腰三角形，需要分三种情况：①当点C为顶点，如图2，分别记为M1和M2；由（2）可知，∠OCB＝∠OBC＝45°，C（0，3），D（1，0），∴CD＝．∠M1CG＝45°，∴CM1＝CM2＝CD＝．过点M1作M1G⊥y轴于点G，过点M2作M2H⊥y轴于点H，则M1G＝CG＝CM1＝，M2H＝CH＝CM2＝，∴OH＝3﹣，∴M1（﹣，3+），M2（，3﹣）．②当点D为顶点，如图3，记为M3，过点M3作M3J⊥x轴于点J，∴DM3＝CD＝．∵∠OBC＝45°，∴∠JBM3＝45°，∴M3J＝BJ，设BJ＝m，∴M3J＝m，DJ＝2+m，∴m2+（2+m）2＝10，解得m＝﹣3（舍）或m＝1，∴M3J＝1，OJ＝4，∴M3（4，﹣1）．③当点M为顶点，如图4，取CD的中点K，作KP⊥CD交y轴于点P，交直线BC于点M4．∵C（0，3），D（1，0），CD＝．∴K（，），CK＝DK＝．∵∠CKP＝∠COD＝90°，∠PCK＝∠DCO，∴△CPK∽△CDO，∴CP：CD＝CK：CO，即CP：＝：3，∴CP＝，∴OP＝，∴P（0，）．∴直线PK的解析式为：y＝x+．∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，令x+＝﹣x+3，解得x＝，∴M4（，）．综上，符合题意的点M的坐标为：（﹣，3+）或（，3﹣）或（4，﹣1）或（，）．。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．3．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴MA =MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣MC |＜BC ，∴当M 、B 、C 三点共线时，|MA ﹣MC |最大，为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b （k ≠0），则03k b b +=⎧⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣3x +3．∵抛物线y =x 2﹣4x +3的对称轴为直线x =2，∴当x =2时，y =﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M （2，﹣3），使|MA ﹣MC |最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD 的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M 的位置是解题的关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =-A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知， 方程的两根为：2572m m x （）-±-=- 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．7．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，152-），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（55-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E （3，3），易得OE 的解析式为：y=x ，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =12×3×3+12PG•AE ， =92+12×3×（-m 2+5m-3）， =-32m 2+152m ， =32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：5+555- ∴P 5+51+555-152）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：3+535；P3+5152-35，1+5综上所述，点P的坐标是：（52，1+52）或（552-，1523+515-35，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.9．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +； （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4）， 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。

(C)有且只有两个交点。

(D)有且只有三个交点。

2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。

5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。

6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。

7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。

8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。

则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。

9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。

10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。

11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。

12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。

（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为 ， 和 ，用等式表示 ， 、 之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线 （a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．求a的值
29．当m≠3时，求S与m的函数关系式．
30．如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝ ．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．
参考答案
【答案】B
【解析】分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
23．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y= x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y= x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．
24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y= x2+5x+90，