非线性时间序列混沌特性分析及短期预测

第２９卷第１０期计算机仿真２０１２年１０月

文章编号：１００６—９３４８（２０１２）１０—０３７０—０４

非线性时间序列混沌特性分析及短期预测

刘道文１，忽海娜２（１．许昌学院公共实验中心，河南许昌４６１０００；２．许昌学院网络中心，河南许昌４６１０００）

摘要：为提高非线性时间序列预测的准确性和可靠性，采用基于混沌理论的方法对时间序列进行分析和预测。在研究关联维数和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数算法基础上，利用关联维数和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数判定时间序列的混沌特性，根据混沌特性参数建立预测模型，并对非线性时间序列进行预测。以上海证券交易所股票价格指数时间序列为实例验证预测模型，研究结果表明，基于混沌特性参数建立的预测模型具有较好的预测能力和预测精度，证明用该方法预测非线性时间序列具有可行性。关键词：非线性；时间序列；｝昆沌特性；预测中圈分类号：０２４１．５文献标识码：Ｂ

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２．ＴｈｅＮｅｔｗｏｒｋＣｅｎｔｅｒｏｆＸｕｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＸｕｃｈａｎｇＨｅｎｎａ４６１０００，Ｃｈｉｎａ）

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１引言

从动力系统中提取出来的时间序列蕴含了系统演化的规律，通过对这样的时间序列进行分析和研究可以发现某些隐含的系统特性，充分利用这些特性可以实现对系统演化趋势的控制和预测。基于混沌理论时间序列预测是混沌理论的一个重要应用领域，广泛应用于自然科学和社会科学的多个领域，具有重要的实际应用价值和意义…。基于混沌理论时间序列预测的一个重要的前提是要证实所研究的时间序列具有混沌特性，对具有混沌特性的时间序列才可依据混沌基金项目：河南省教育厅科学技术研究重点项目（１２８５１００２８）；许昌市科技计划项目（１１０３０１５）收稿１３期：２０１ｌ一１２—２４－－－－——３７０·－－－——理论进行预测和分析。混沌是指确定性系统中存在的一种貌似无规则、随机的现象，研究混沌现象的一个重要的领域是根据历史信息对系统的未来进行预测。混沌现象所固有的确定性表明许多貌似随机的现象是可以通过一定方式进行预测的，但混沌所具有的对系统初值的敏感依赖性又决定着其预测能力将受到一定的限制。因此，混沌现象短期可以预测，而长期不能预测嵋Ｊ。

２时间序列混沌特性分析一般地，从非线性系统中提取的时间序列具有较明显的非线性特征，分析其是否具有混沌特性可以用该序列的关联维数及最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数来判定。若一个时间序列具有混

万方数据沌特性，其关联维数为非整数并且该时间序列的最大Ｌｙａ．ｐｕｎｏｖ指数为正数。２．１时间序列的关联维数关联维是判定一个时间序列具有混沌特性的一个重要特征量，混沌时间序列的关联维数为非整数并且会随着嵌入维数的增大而趋于收敛。确定时间序列的关联维数和嵌入维数最常用方法是Ｇ—Ｐ法∞Ｊ，具体算法如下ＨＪ：①从第嵌入维数ｍ＝２开始，对时间序列｛ｘ；，ｉ＝１，２…Ⅳ｝蜥相空间重构，即相点墨＝（石ｆ，ｘｊ＋，…，算，＋（。一１），）√＝１，２，…，Ⅳ一（ｍ一１）＿ｒ（１）②从某参考点ｘ；开始，计算其余相点盖ｉ与ｘ；的欧氏距离，统计距离小于占的点对数；③在距离极限ｓ范围内改变占的值，重复②，并计算关联函数：三ｃ（ｓ）２南叫善，尸‘ｓ一｜｜置一墨Ｉｉ）（２）其中日（ｒ）是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数，当ｒ＜０时日（ｒ）＝０，当ｒＩ＞０时日（ｒ）＝１；ｎ＝Ｎ一（ｍ一１）＿ｒ为相空间点数。绘制关系曲线１ｎ（Ｃ（占））一ｌｎ６，通过最小二乘法计算Ｄ（ｍ）＝ｌｎ（Ｃ（８））／ｌｎ６；④以相同的步长增加嵌入维数ｍ重复计算①、②、③，直到在一定误差范围内相应的关联维数估计值Ｄ（ｍ）不再随嵌入维数ｍ的增加而增加，此时得到的Ｄ（ｍ）即为时间序列的关联维数，ｍ则为时间序列最小嵌入维数。Ｔａｋｅｎｓ‘５ｏ证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数Ｉｎ１＞２ｄ４－１，ｄ是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹（吸引子）恢复出来。也即在重构的Ｒ“空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚，从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础怕１。２．２时间序列的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数混沌动力系统的相空间中呈现不规则轨道形成的奇怪吸引子，其基本特点是对系统的初始值极其敏感，两条很靠近的初始值所产生的轨道，随时间的推移按照指数方式发散或收敛。Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数是定量描述轨道发散或收敛速度的特征量＂Ｊ。非线性动力学系统在初始条件变化后，将出现不同的运动吸引子形态，而吸引子是否表现为混沌，可以用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数来表征。对连续非线性动力学系统，可以用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数谱来判定系统是否具有混沌特性；而对于离散的时间序列，用序列的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数来判定该序列是否具有混沌特性。对于非线性时间序列，若其最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数Ａ，＜０，该序列呈现定常或周期状态；Ａ，＞０意味着该序列具有混沌特性。８。。对于从动力系统中提取出来的时间序列是离散的，计算出该时间序列的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数即可判定其混沌特性。小数据量法‘９ｏ并不计算出所有的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，而只计算最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，其计算步骤如下：①对时间序列｛戈。，ｉ＝１，２…Ⅳ｝进行ＦＦＴ变换，计算出时间延迟＿ｒ和平均周期Ｐ；②计算出关联维数ｄ，根据ｍ＞，２ｄ＋１确定嵌入维数；③根据时间延迟ｒ和嵌入维数ｍ对时间序列进行重构，得到多维相空间｛置√＝１，２…Ｍ｝；④找相空间中每个相点ｘ，的最近邻点置，并限制短暂分离，即ｄｊ（ｏ）＝ｍｉｎ｜｜墨一ｘ川，ｌ，一，‘Ｉ＞Ｐ（３）

⑤对相空间中的每一个点ｘｉ，计算出该邻点的ｉ个离散时间步后的距离ｄｉ（ｉ），ｄｉ（ｉ）＝Ｉ葺＋。一鼍＋；ｌ，ｉ＝１，２…ｍｉｎ（Ｍ－ｊ，Ｍ－ｊ）（４）⑥对每个ｉ，求出所有，的ｌｎｄｊ（ｉ）的平均值Ｙ（ｉ），Ｙ（ｉ）＝

ｑｌ－Ａｔ＿骞＝ｌｌｎｄｉ（ｉ），其中ｇ是非零嘭（ｉ）的数目，并用最小二乘法

做出回归直线，该直线的斜率即为最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数Ａ。。

３实例分析本文将从股票市场中提取的股票价格指数时间序列作为研究对象，计算出其关联维数和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数入，判定其混沌特性并对其进行预测。３．１时间序列的提取由于序列混沌特性分析对时间序列元素的数量要求较大，在分析股票价格指数时间序列时，选取了２００２年１２月１１日至２０１１年３月１０日２０００个交易日的上证指数收盘价作为分析对象。为便于混沌特性的分析和计算，将由这２０００个数据构成时间序列进行归一化处理。设样本数据为｛Ｙ；，ｉ＝１…Ｎ．Ｎ＝２０００｝

Ｙｉ—Ｙ’１ＦＮｚｆ＝■—＿，Ｙ＝—万己Ｙｌ，Ｖ—Ｖ．州一

（ｉ＝１…Ｊ］、ｒ，Ｎ＝２０００）（５）

３．２股票价格指数混沌特性判定

对经过（５）式归一化处理的时间序列，采用ｃ—ＣＭｅｔｈ．ｏｄｆＩ叫计算其延迟时间Ｔ＝２４。为了全面地考察上证指数时间序列的混沌特性，在计算其关联维数和嵌入维数的同时分别绘制了阢（Ｃ（￡））一Ｉｎｓ曲线（如图１）和Ｄ（ＩＴＩ）一ｉｎ曲线（如图２）。从图２中可以看出：该时间序列的关联维数随着嵌入维数的增加而趋于收敛，当嵌入维数ｉｎ等于１２时关联维数的值是１．０１８６，为非整数。采用小数据量方法计算出上证指数时间序列的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数入。＝０．００３３。因此，可以证实上海证券交易所股票价格指数时间序列具有混沌特性。３．３预测模型对于具有混沌特性时间序列的预测，一般是将其转换到高维相空间中，找出蕴涵在混沌吸引子中的演化规律。在实际预测过程中，当嵌入维数较高时，时间序列的相空间轨迹可能很复杂，很难找出一种映射关系来预测未来时刻的数值。而神经网络是通过对简单的非线性函数的多次复合来逼近复杂函数，可以表达复杂的物理现象Ｈｏ。

ＲＢＦ神经网络是局部逼近网络，收敛速度快且不易陷入

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万方数据