高三基础知识天天练 数学选修4-5-1人教版

复习课整合·网络构建]警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式时，易忽略等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来证明不等式，还可以用来求参数的取值范围、方程的解等，而应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且注意等号成立的条件．例1] 已知|x |≤1，|y |≤1，试求x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值． 解：由柯西不等式，得x 1－y 2＋y 1－x 2≤x 2＋（1－x 2）2·y 2＋（1－y 2）2＝1，当且仅当xy ＝1－x 2·1－y 2， 即x 2＋y 2＝1时，等号成立，所以x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值为1. 归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．变式训练] 若n 是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 证明：因为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以原不等式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]≥n 2.因为n 是不小于2的正整数， 所以等式1n ＋1＝1n ＋2＝ (12)不成立，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞n 2（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47. 由柯西不等式，得1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜ （12＋12＋…＋12）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（n ＋1）2＋1（n ＋2）2＋…＋1（2n ）2＜n ·12n ＝22.所以原不等式成立． 专题二 排序不等式的应用应用排序不等式可以比较方便地证明一类不等式，但在应用排序不等式时，要抓住它的本质含义：同向时乘积之和最大，反向时乘积之和最小．例2] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a22b≥a ＋b ＋c .证明：设a ≥b ≥c ＞0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ，①a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.② ①＋②，得2⎝⎛⎭⎪⎫a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ＋a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b，则2(a ＋b ＋c )≤a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ，所以a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b≥a ＋b ＋c 成立．归纳升华应用排序不等式的关键在于构造两个数组．而数组的构造需要考虑条件和结论间的关系，因此需要对式子观察分析，给出适当的数组.变式训练] 已知a ，b ，c ∈R ，求证a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则有a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .由排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b . 又a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c ，由排序原理，得a 3c ＋ab 3＋bc 3≤a 4＋b 4＋c 4，所以a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc.专题三 转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想．例3] 求使lg(xy )≤lg a ·lg 2x ＋lg 2y 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围．解：因为lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，所以原不等式等价于lg a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y max .令f (x ，y )＝lg x ＋lg ylg 2x ＋lg 2y＝（lg x ＋lg y ）2lg 2x ＋lg 2y＝1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y (lg x ＞0，lg y ＞0)．因为lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0， 所以0＜2lg x lg ylg 2x ＋lg 2y≤1，所以1＜f (x ，y )≤2，即lg a ≥2， 所以a ≥102.归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．变式训练] 已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n （n ＋1）(n ∈N *)，求证：n （n ＋1）2＜a n ＜n （n ＋2）2.证明：因为n （n ＋1）＝ n 2＋n ，n ∈N *， 所以n （n ＋1）＞n ，所以a n ＝1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＞1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.因为n （n ＋1）＜n ＋（n ＋1）2，所以a n＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n＋（n＋1）2＝12＋(2＋3＋…＋n)＋n＋12＝n（n＋2）2.综上得n（n＋1）2＜a n＜n（n＋2）2.。

一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >2．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >3．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <B ．11b ba a+<+ C ．11b ba a+>+ D ．ac bc ≥4．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >5．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >6．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 7．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >8．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a |>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 12．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 2二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．16．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 17．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．18．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 19．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设不等式|1||1|2x x +--<∣∣的解集为A （1）求集合A ； （2）若,,a b c A ∈，证明：11abcab c->-． 22．设函数()22f x x x =+--. （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. 23．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32++≥+++a b c b c a c a b ； （II 1≥. 24．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 26．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.4．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立； 取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当11,2x y ==时，1112x y =<=，则A 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；当3,22x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.6．D解析：D 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.8．C解析：C 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.9．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．10．A解析：A 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论. 【详解】设公差为d ，若21a =，315a d =+>，则43d >>，所以()3925223939312271227393S S a a a a d d +=+=++=+>+⨯=，充分性成立； 反之， 39193S S +>成立，则()22393122793,3a a d d d ++=+>>3214a a d d =+=+>，35a >不一定成立，即必要性不成立，所以35a >是39193S S +>的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ，令0,1a b ==-，200=，()211-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 恒成立对于D ，令0,1a b ==-，011a b =<-，故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

高三选修4-1，4-4，4-5单元练习题一、选择题（每小题4分，共32分）1.直线:l 002sin 20(5cos 20x t t y t ⎧=-+⎨=+⎩为参数）的倾斜角为（ ） A 020 B 070 C 0160 D 01202.参数方程是2232(05)1x t t y t ⎧=+≤≤⎨=-⎩表示的曲线是（ ） A 线段 B 双曲线 C 圆弧 D 射线3.实数变量22.1,(,)m n m n m n mn +=+满足则坐标表示的点的轨迹是（ ）A 抛物线B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线的一部分4.圆心在(3,)π，半径为3的圆的极坐标方程是（ ）A 6sin ρθ=B 6sin ρθ=-C 6cos ρθ=D 6cos ρθ=-5.极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线是（ ）A 直线B 圆C 双曲线D 抛物线6.直线2360x y +-=向着x 轴伸缩，伸缩变换为14，则伸缩后的直线的斜率为（ ） A 83- B 32- C 23- D 16- 7.若,,p q m 是三个正数，且100q <，现把m 增加%p ，再把所得的结果减少%q ，这样所得的数仍大于m ，那么必须且只需（ ）A 100100q p q >-B 100100q p q >+C 100q p q>- D p q > 8.设命题:p 函数()(0)a f x a x =>在区间（1，2）上单调递增；命题:q 不等式 124x x a --+<对任意x R ∈都成立，若p q 是真命题，p q 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A 143<<aB 43>aC 430<<aD 41>a二、填空题（每小题4分，共24分）9.设点M 的直角坐标为(1,--，则它的球坐标为 ；10.直线3x-4y+5=0经过变换⎩⎨⎧='='y y x x 23后，坐标没变化的点为 ； 11.把直角坐标方程222(0)y px p p =+>化为极坐标方程为 ；12.已知直线⎩⎨⎧+=--=t y t x 4221（t 为参数）与曲线22(2)1y x --=相交于AB ，点M（-1，2）到弦AB 的中点的距离为 ；13.对任意实数x ，不等式kx x >-1恒成立，则k 的取值范围是 ；14.已知,a b 是关于x 的方程230x mx m +++=的两个实根，则22a b +的最小值是 。

复习课[整合·网络建立 ][警告·易错提示 ]1．比较法的一个易错点．忽视议论致使错误，看作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类议论．2．剖析法和综合法的易错点．对质明方法不理解致使证明错误，在不等式的证明过程中，常因对剖析法与综合法的证明思想不理解而致使错误．3．反证法与放缩法的注意点．(1)反证法中对结论否认不全．(2)应用放缩法时放缩不适合．专题一比较法证明不等式比较法证明不等式的大概步骤是：作差(或商 )—恒等变形—判断差的符号 (或商与 1 的大小 )，此中，恒等变形是重点，目的在于判断差的符号或商与 1 的大小．[例 1]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：由于 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－ b2)(2a＋b)＝ (a＋b)(a－b)(2a＋b)．又由于 a≥b>0，所以 a＋b>0，a－b≥0， 2a＋ b>0，所以 (a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，所以 2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0，所以 2a3－b3≥2ab2－ a2b.概括升华变形所用的方法要详细状况详细剖析，能够配方、因式分解，可运用全部恒等变形的方法．[变式训练 ]已知a＞0，b＞0，a≠b，求证：a6＋b6＞a4b2＋a2b4.证明：由于 a6＋ b6－(a4b2＋a2b4)＝ a4(a2－b2)＋b4(b2－ a2)＝(a2－b2)(a4－b4)＝ (a2－b2)(a2－ b2)(a2＋b2)＝(a＋b)2(a－b)2(a2＋b2)．由于 a＞0，b＞0，a≠b，所以 (a＋b)2＞0， (a－b)2＞0，a2＋b2＞0，所以 (a6＋b6)－ (a4b2＋a2b4)＞0，所以 a6＋b6＞a4b2＋a2b4.专题二综合法证明不等式综合法证明不等式的思想方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐渐推出其必需条件 (由因导果 )，最后推导出所要证明的不等式建立．证明时要注意的是：作为依照和出发点的几个重要不等式(已知或已证 )建立的条件常常不一样，应用时要先考虑能否具备应有的条件，防止错误．[例 2]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a2b2c2b＋c＋a≥ 1.a2b2c2证明：由于b＋ b≥2a，c＋c≥2b，a＋a≥2c，a2b2c2故b＋c＋a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，a2b2c2则b＋c＋a≥a＋b＋c.a2b2c2所以b＋c＋a≥1.概括升华用综合法证明不等式，可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．1 1 1[变式训练 ]设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：a＋b＋ab≥8.证明：由于 a＞0，b＞0，a＋b＝1，11所以 1＝a＋b≥2 ab，ab≤2，所以ab≥4.所以1＋1＋1＝(a＋b)a b ab所以1＋1＋1≥8，a b ab 1111a＋b＋ab≥2 ab· 2ab＋4＝ 8，1当且仅当 a＝b＝2时，等号建立．专题三用剖析法证明不等式剖析法证明不等式的思想方法是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐渐逆求它要建立的充足条件(执果索因)，最后获得的充足条件是已知 (或已证 )的不等式．当要证的不等式不知从何下手时，可考虑用剖析法去证明，特别是关于条件简单而结论复杂的题目，常常更加有效．[例 3]求证：3＋6＜4＋ 5.证明：欲证3＋6＜4＋5，22只要证( 3＋6) ＜( 4＋5) ，只要证 9＋6 2＜ 9＋4 5，即证 6 2＜4 5.只要证 (6 2)2＜ (4 5)2，即证 72＜ 80.上式显然建立，所以原不等式建立．概括升华1．剖析法的格式是固定的，可是一定注意推演过程中的每一步都是追求相应结论建立的充足条件．2．剖析法是“执果索因”，逐渐追求上一步建立的充足条件，而综合法是“由因导果”，逐渐推导出不等式建立的必需条件，二者是对峙一致的．一般来说，关于较复杂的不等式，直接用综合法常常不易下手，所以往常用剖析法探究证题门路，而后用综合法加以证明，所以剖析法和综合法可联合使用．[变式训练 ]已知a＞b＞0，求证：a－b＜a－b.证明：要证a－b＜a－b，即证a＜b＋a－b，只要证 a＜b＋ 2 （a－b） b＋a－ b，只要证 0＜2（a－b）b.由 a＞b＞0 知最后一个不等式建立，故原不等式建立．专题四用反证法证明不等式反证法常用于直接证明困难或结论以否认形式出现的命题，波及“都是”“都不是”“起码”“至多”等形式的命题．[例 4]若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.证明：法一：假定 a＋b＞2，则 a＞2－b，故 2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即 2＞8－12b＋6b2，即 (b－1)2＜0，这不行能，假定不建立，进而 a＋ b≤2.法二：假定 a＋b＞2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋ b)＞8.由 a3＋b3＝2，得 3ab(a＋b)＞ 6.故 ab(a＋ b)＞2.又 a3＋b3＝(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝2，所以 ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)，所以 a2－ ab＋ b2＜ab，即 (a－b)2＜0，这不行能，假定不建立，故 a＋b≤2.概括升华反证法是从否认结论出发，经过推理论证，得出矛盾，进而一定原命题正确的证明方法，其步骤为： (1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定数题 (否认结论 )．(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾． (3)判定产生矛盾的原由在于开始所作的假定不正确，于是原命题建立，进而间接证了然原命题为真命题．变式训练若，，均为实数，且＝2π[]a a－2y＋，b＝y2－2zb c x2ππ＋3，c＝z2－2x＋6，求证： a，b，c 中起码有一个大于 0.证明：假定 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则有 a＋b＋c≤0.由于a ＋＋＝x2－2y＋π＋2－2z＋π＋2－2x＋π＝(x2－2x) b c2y3z6＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)，所以 a＋b＋c＞0.这与 a ＋b ＋c ≤0 矛盾，故假定不建立．所以 a ，b ，c 中起码有一个大于 0.专题五 用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或增添一些项，有时需要拆项、添项，使不等式的一边放大或减小， 而后利用不等式的传达性达到证明的目的．运用放缩法证明的重点是放缩要适合， 既不可以太大， 也不可以太小．[例5]设，，∈＋且 abc ＝1，求证：1 ＋ 1 ＋a b cR1＋a ＋b 1＋b ＋c11＋c ＋ a ≤1.证明：设 a ＝x 3，b ＝y 3，c ＝z 3且 x ，y ，z ∈R ＋.由题意得： xyz ＝1，所以 1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3.所以 x 3＋ y 3－(x 2y ＋xy 2)＝x 2(x －y)＋y 2(y －x)＝(x －y)2(x ＋ y)≥0.所以 x 3＋ y 3≥x 2y ＋ xy 2.所以 1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3≥xyz ＋xy(x ＋y)＝xy(x ＋y ＋z)．1 1 z所以 1＋a ＋b ≤xy （x ＋y ＋ z ）＝x ＋ y ＋z .1 x 1 y 同理，可得 1＋b ＋ c ≤x ＋y ＋z ，1＋ c ＋a ≤x ＋y ＋z ，1 1 1 x ＋y ＋z 三式相加得 1＋a ＋ b ＋1＋b ＋c ＋1＋c ＋a ≤x ＋y ＋z ＝1.所以命题得证．概括升华用放缩法证明不等式时， 常有的放缩依照或技巧是不等式的传达性．减小分母，扩大分子，分式值增大；减小分子，扩大分母，分式减小；全量不小于部分；每次 小其和 小，但需大于所求；每一次 大其和 大， 但需小于所求，即不可以放 不 或放 ． 同 ，放 有 需便于乞降．[ 式 ]若 n 是大于 1 的自然数，求12＋12＋12＋⋯＋12＜123n2.明：因11＝ 1－12k (k ＝2，3，4，⋯，n)，k＜k （k －1）k －1所以 12 ＋ 12＋12＋⋯＋12＜1＋ 1 ＋ 1＋ ⋯＋ 1 ＝ 11 2 3n1××（ － ）112 2 3n 1 n1－1＋ 1－11 1 ＝2－ 1＜2，＋＋⋯＋ － －n1 22 3 n 1 n故 12＋ 12 ＋ 12＋⋯＋ 12＜2.1 2 3 n六 函数与方程思想函数与方程思想是先结构 助函数， 将所 化 函数的性(如 性、奇偶性、最 等 ) ．运用此方法要能 依据 的 构特点适合地结构函数，正确地利用函数的性 解决 ．[例6]已知a ，b 是正 数，且1 17a ＋b ＝1，求 ab ＋ab ≥4 .明：因a ，b 都是正 数，a ＋b ＝ 1，所以a ＋b 0＜ab ≤221＝4.1令 f(x)＝x ＋x (0＜x ＜1)，0＜x 1＜x 2＜1，f(x －f(x 2) ＝ 1 ＋x － 1－x ＝(x －x 1－ 1 . 1)1 1 x 2212) x 1x 2x因 0＜x 1＜x 2＜ 1，所以 x1－ x2＜0， 0＜x1x2＜ 1.1所以 1－x1x2＜0.所以 f(x1)－f(x2)＞0，所以 f(x1)＞f(x2)．所以函数 f(x)在(0，1)上单一递减．1117，所以当 x∈ 0，4时， f(x)min＝f4＝4117令 x＝ab，得ab＋ab≥4 .a b[变式训练 ]已知a，b，c为三角形的三条边，求证1＋a，1＋b，c也能够组成一个三角形．1＋cx证明：设 f(x)＝1＋x，x∈[0，＋∞)，0≤x1＜x2，则 f(x2－1＝ x2－ x1＝x2－x1＞ 0.)f(x )1＋x21＋x1（ 1＋x1）（ 1＋x2）故 f(x)在[0，＋∞)上为单一增函数．由于 a，b，c 为三角形的三条边，所以a＋b＞c.由于 c ＜a＋b＝a＋b＜a＋b，1＋c1＋（ a＋b）1＋a＋b 1＋a＋b1＋a1＋b 所以 c ＜a＋b，1＋c1＋a1＋ba b c b c a同理可证＜＋，＜＋，a b c所以以 1＋a，1＋ b，1＋c为边能够组成一个三角形．。