平方根(提高)知识讲解

81 重点知识： 1、平方根:如果一个数X 的平方等于a ,即X2=a 那么这个数 X 就叫做a 的平方根。

例如，22=4, 2是4的平方根，(2)2=4，- 2是4的平方根，即2和一2都是4的平方根。

2、算术平方根：如果一个正数 X 的平方等于a,即X2=a 那么这个正数 X 就叫做a 的算术平方根。

(特别规定：0的算术平方根 是0)。

例如，22 =4，正数2是4的算术平方根。

虽然(-2)2=4，但—2不是正数，所以—2不是4的算术平方 根。

3、表示方法：平方根：一个非负数 a 的平方根记做 皿，读作“正负根号 a ”；例如：5的平方根记做土 V5，读作“正负 根号5”。

算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作,.a ，读作“根号a ”；例如，5的算术平方根记作,5，读作“根 号5”。

结论： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根.求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方.练习题课前准备：写出并熟记 1—— 20的平方:(1) 12 二-22 ：——? J 32=.；42=；52 二 ----；62-72:；82>_； 92 =.；102 = (2) 112 口；122 二132二 ； 142二 ； 152二162 -172:182二； 192二； 202 二例1 求下列各数的平方根。

4下列说法是否正确？为什么?(4) 81的平方根是_9 ；(5)2 是一4的算术平方根;(1) 5是25的平方根;(2) 25的平方根是5；(3) — 5是(-5)2的算术平方根;9 (2) 252、判断下列各数，哪些有算术平方根，哪些没有:(1) 121(3) 0 (4)(-5)20.2, - 9,81 , ( - 2) 24),-3求下列各数的算术平方根。

64(2)(1) 225 (3) 0.49 (4) . 625的算术平方根是一3。

例5求下列各式的值。

平方根与算术平方根知识点 1 ：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：有意义时，≥0，≥0. 2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..x a 2x a =x a a a a a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ≥a a a ±a 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aaa =≥62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=【典例分析】【考点1：算术平方根】【典例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.0001．【变式1-1】求下列各数的算术平方根．（1）196 （2）（3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2．【变式1-2】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）【考点2：算术平方根的性质】【典例2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【变式2-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3【变式2-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（）A．1B．﹣1C．0D．2022【考点3：算术平方根的估算】【典例3】（2022•东丽区二模）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-1】（2022•河西区模拟）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【变式3-2】（2020秋•福田区期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【变式3-3】（2018•台州）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【典例4】（2015秋•萧山区期中）已知，则0.005403的算术平方根是（）A．0.735B．0.0735C．0.00735D．0.000735【变式4-1】（2019春•港口区期中）若＝5.036，则＝．【变式4-2】（2022春•渝中区校级月考）若≈7.149，≈22.608，则的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【考点4：平方根】【典例5】求下列各数的平方根（1）49；（2）；（3）；（4）0.0016．【变式5-1】（2021秋•卫辉市月考）求下列各数的平方根（1）49 （2）；（3）2；（4）0.36；（5）（﹣）2．【变式5-2】（2022秋•青羊区校级期中）若m2＝4，则m＝（）A．2B．﹣2C．±2D．±【考点5 ：利用平方根的定义解方程】【典例6】（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝36．【变式6-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x﹣1）2﹣9＝0．【变式6-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．【考点6：利用平方根的定义求参数】【典例7】（2021春•昭阳区校级月考）若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根．【变式7-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．【变式7-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．（1）求a的值；（2）求这个数m．【变式7-3】（2022秋•朝阳区校级月考）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【考点7：平方根的实际应用】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【变式8】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．。

平方根与立方根的运算知识点总结平方根与立方根是数学中重要的运算概念，用来求解方程、计算面积和体积等问题。

了解平方根与立方根的运算规则和性质，对我们在数学和实际生活中的应用都具有重要的意义。

一、平方根运算平方根是对一个数的平方进行逆运算，即对一个数求出使其平方等于该数的非负实数。

通常使用符号"√"来表示平方根。

下面是一些关于平方根的运算规则和性质：1. 平方根的定义：对于非负实数a，若存在非负实数x，使得x²=a，则称x为数a的平方根，记作√a。

2. 平方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|3. 平方根的性质：(a) √a ≥ 0，即平方根的结果为非负数。

(b) 若a > b，则√a > √b。

(c) 若a > 0，则√a < √(a + 1)。

二、立方根运算立方根是对一个数的立方进行逆运算，即对一个数求出使其立方等于该数的实数。

通常使用符号"³√"来表示立方根。

下面是一些关于立方根的运算规则和性质：1. 立方根的定义：对于任意实数a，若存在实数x，使得x³=a，则称x为数a的立方根，记作³√a。

2. 立方根的运算规则：若a≥0，b≥0，则有以下运算规则：(a) ³√(a*b) = ³√a * ³√b(b) ³√(a/b) = ³√a / ³√b(c) ³√(a³) = a3. 立方根的性质：(a) ³√a ≥ 0，在实数范围内，立方根的结果为非负数。

(b) 若a > b，则³√a > ³√b。

(c) 若a > 0，则³√a < ³√(a + 1)。

七年级平方根知识点平方根是数学中常见的概念，也是七年级数学中的重要知识点。

学好平方根，不仅可以提高数学素养，还能帮助我们解决实际问题。

下面就来详细了解一下七年级平方根知识点。

1. 平方根的定义平方根指的是一个数的正平方根或负平方根。

例如正数a的正平方根是x，即x²=a，那么x就是a的正平方根；负数a的平方根是i*x，即(i*x)²=a，其中i表示虚数单位，那么i*x就是a的负平方根。

2. 平方根的性质平方根有以下几个重要的性质：（1）正数的平方根是正数，负数的平方根是虚数；（2）任何正数都有两个平方根，一个正平方根和一个负平方根；（3）零的平方根是零，任何负数的平方根都不存在实数解。

3. 简化平方根当我们求解平方根时，有一些情况下可以将平方根简化为较小的数。

例如对于正整数a，如果a可以分解成两个数的积，那么a 的平方根可以被简化。

具体地说，我们可以找到a的因数b和c，使得a=b*c，那么a的平方根就可以化简成根号b*根号c。

4. 平方根的运算在平方根的运算中，最基本的运算是加减。

有平方根的表达式相加减时，我们需要先将同类项合并，再根据平方根的性质进行约分，最后将常数项相加减即可。

在乘除运算中，平方根可以和普通数相乘除，也可以和平方根相乘除。

具体方法如下：（1）和普通数相乘除时，我们可以将平方根化简为最简形式，再和另一个数相乘除。

例如sqrt(2) * 3 = 3sqrt(2)，3 / sqrt(2) =3sqrt(2) / 2。

（2）和平方根相乘除时，我们需要用到一个公式：sqrt(a) *sqrt(b) = sqrt(ab)。

例如，我们要求解sqrt(2) * sqrt(3)，可以将其化为sqrt(6)，即sqrt(2)*sqrt(3) = sqrt(6)；同样地，我们也可以将sqrt(2)/sqrt(3)化为sqrt(2/3)。

5. 平方根的应用平方根除了在数学中起到重要的作用外，在实际生活中也有许多应用。