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不等式的证明及著名不等式

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第二讲 不等式的证明及著名不等式 1．基本不等式 (1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么a＋b2____ab，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式

(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c3____3abc，当且仅当________时，等号成立． 即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋an

n

____na1a2…an， 当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1

＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，

n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求 差比较法． ②求商比较法

由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式______的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．

1．已知a<0，b<0，且1a2>1b2，则a，b的大小关系为______． 2．已知a、b、m均为正数，且a3．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为__________． 4．已知a>0，b>0，则P＝lg(1＋ab)，Q＝12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．

5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为________. 题型一 柯西不等式的应用 例1 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.

思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______． 题型二 用综合法或分析法证明不等式 例2 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，

求证：(1)(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8； (2)a＋b＋c≤3.

思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3；

(2) abc＋ bac＋ cab≥3(a＋b＋c)．

题型三 放缩法或数学归纳法 例3 若n∈N*，Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，求证：nn＋12

思维升华 (1)与正整数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同 时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦． (2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k2

<1kk－1，1k2>1kk＋1，1k<2k＋k－1，1k>2k＋k＋1.上面不等式中k∈N*，k>1.

求证：32－1n＋1<1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n≥2，n∈N＋)．

利用算术—几何平均不等式求最值 典例：(5分)已知a，b，c均为正数，则a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2的最小值为________． 思维启迪 (1)a2＋b2＋c2，1a＋1b＋1c分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件． 解析 因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc)23，① 1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，

所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.② 故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，③ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc)23＝9(abc)－23时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝314时，原式取得最小值63. 答案 63 温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件． (2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误； 二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错.

方法与技巧 1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法． 2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范 1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征． 2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.

A组 专项基础训练 1．若1a<1b<0，则下列四个结论：

①|a|>|b|；②a＋b2；④a2b<2a－b. 其中正确的是________． 2．若T1＝2sm＋n，T2＝sm＋n2mn，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________． 3．设04．已知x，y∈R，且xy＝1，则(1＋1x)(1＋1y)的最小值为________． 5．设x>0，y>0，M＝x＋y2＋x＋y，N＝x2＋x＋y2＋y，则M、N的大小关系为__________． 6．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________． 7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________． 8．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则3a＋2b＋c的最大值为________．

9．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．

10．设a>0，b>0，则以下不等式①ab>2aba＋b，②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋2ab>2中恒成立的序号是________． B组 专项能力提升

1．已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为_________________________．

2．函数y＝x2·(1－3x)在0，13上的最大值是________． 3．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 4．已知a，b为实数，且a>0，b>0.

则a＋b＋1aa2＋1b＋1a2的最小值为________． 5．P＝xx＋1＋yy＋1＋zz＋1(x>0，y>0，z>0)与3的大小关系是________． 6．已知x2＋2y2＋3z2＝1817，则3x＋2y＋z的最小值为_________________________． 7．设a，b，c都是正数，那么三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a________.(填序号) ①都不大于2； ②都不小于2； ③至少有一个大于2； ④至少有一个不小于2.

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证明柯西不等式

证明柯西不等式

证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。

本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。

一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。

2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。

3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。

二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。

三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。

以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。

由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。

这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。

由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。

詹森不等式证明及应用

詹森不等式证明及应用

用泰勒展开式证这种方法比第一种要求条件高在前一个的条件下还要求二阶可导并丏导数大于零为了是能满足泰勒展开的条先设出定义域上的一点再在这点迚行泰勒展开利用已知条件化简和代换可以得到结论
XXX数学系XXX级 学位论文答辩
詹森不等式的证明及应用
指导老师：XXX 姓名：XXX 学号：XXX
专业：数学与应用数学
a
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詹森不等式的证明
方法二：用泰勒展开式证
这种方法比第一种要求条件高，在前一个的条件下，还 要求二阶可导并且导数大于零，为了是能满足泰勒展开的条
件。 先设出定义域上的一点，再在这点进行泰勒展开，利用 已知条件，化简和代换可以得到结论。关键选取泰勒展开点。
a
4
詹森不等式的应用
应用1：利用詹森不等式证明其它几个常见且极其 重要的不等式
例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中 均
为正数。
a
5
sinx1 sin x2
sinx1
x2
xn
n
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
n
1 1 1
n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
an
ak0,k1,2,L,n a
a
1
立题背景及意义
詹森不等式是数学中的重要理论之一，是解决不
等式问题的重要方法，是发现数学问题的重要手段
。
詹森不等式概念是数学中重要的不等式。由于
数学中的许多重要不等式都是通过在詹森不等式证
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
几个著名的不等式公式

几个著名的不等式公式

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

不等式证明

不等式证明

不 等 式2.不等式的基本性质（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）（），4011011a b a b a b a b>>⇒<<<⇒> （11）)1且,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n （平方法则） （12）)1且,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n （开方法则） 3.几个重要不等式()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。

a b = ()a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈， 当且仅当时取等号。

a b c == a b m n >>>>000，，，则b a b m a m a n b n a b<++<<++<13,3a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（5）理解不等式|│a │-│b │|≤│a+b │≤│a │+│b │ 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么222.1122a b a b ab a b++≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）)时取等,,,(332222c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++-- ②11111(1)121n n n n n n n nn n +-==--≥+++-典型例题一例1 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ）．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。