牙膏销售量的分析

牙膏销售量的分析摘要牙膏销售量会受到销售价格,广告投入等因素的影响,预测在不同价格和广告投入费用下牙膏的销量，对牙膏制造企业更好地拓展产品市场,有效地管理库存有十分重要的意义。

本文通过牙膏销售量与价格和投入的广告费用的散点图，得到两个函数模型，然后由函数模型解出回归模型，并不断的对回归模型进行改进，添加新的条件，最终确定出合适的回归模型，能够对牙膏销售量起到很好的预测作用。

关键词：回归模型；MATLAB；相关系数；置信区间；检验统计量；预测模型一、问题重述某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查,找出公司牙膏销售量与销售价格,广告投入等之间的关系,从而预测在不同价格和广告投入费用下的销量。

为此,销售部门的研究人员收集了过去30个销售周期(每个周期为4周)公司生产的牙膏的销售量,销售价格和广告费用,以及同期其他厂家生产的同类牙膏的市场平均价格，见表1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。

试根据这些数据建立一个数学模型, 分析牙膏销售量与其它因素的关系,为制定价格策略和广告投入策略提供数量依据。

表1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)1 3.85 3.80 -0.05 5.5 7.382 3.75 4.00 0.25 6.75 8.513 3.70 4.30 0.60 7.25 9.524 3.60 3.70 0.00 5.50 7.505 3.60 3.85 0.25 7.00 9.336 3.6 3.80 0.20 6.50 8.287 3.6 3.75 0.15 6.75 8.758 3.8 3.85 0.05 5.25 7.879 3.8 3.65 -0.15 5.25 7.1010 3.85 4.00 0.15 6.00 8.0011 3.90 4.10 0.20 6.50 7.8912 3.90 4.00 0.10 6.25 8.1513 3.70 4.10 0.40 7.00 9.1014 3.75 4.20 0.45 6.90 8.86销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)15 3.75 4.10 0.35 6.80 8.9016 3.80 4.10 0.30 6.80 8.8717 3.70 4.20 0.50 7.10 9.2618 3.80 4.30 0.50 7.00 9.0019 3.70 4.10 0.40 6.80 8.7520 3.80 3.75 -0.05 6.50 7.9521 3.80 3.75 -0.05 6.25 7.6522 3.75 3.65 -0.10 6.00 7.2723 3.70 3.90 0.20 6.50 8.0024 3.55 3.65 0.10 7.00 8.5025 3.60 4.10 0.50 6.80 8.7526 3.70 4.25 0.60 6.80 9.2127 3.75 3.65 -0.05 6.50 8.2728 3.75 3.75 0.00 5.75 7.6729 3.80 3.85 0.05 5.80 7.9330 3.70 4.25 0.55 6.80 9.26二、问题分析牙膏是我们生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌中间的价格差异，而不是他们的价格本身，因此在研究各个因素对销售量的影响时,用价格差代替公司销售价格更为合适，为了预测在不同广告投入下牙膏的销售量，可以对销售量进行回归分析。

在企业中，有必要利用价格、销售量和广告投入三者的关系，提高市场占有率研究如何使企业利润达到最大的经营决策问题。

三、模型假设1.画出牙膏销售量与价格差的散点图，以及销售量与投入的广告费用的散点图。

2.由画出的散点图确定两个函数模型，再由函数模型解出回归模型。

3.对解出的回归模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，从而得到新的回归模型。

4.对新的回归模型进一步的改进，确定最终的模型。

四、符号说明五、模型建立与求解1.建立基本模型利用表1-1的数据用matlab作出牙膏销售量y与价格差x1的散点图（图1），销售量y与广告费用x2的散点图（图2）。

图1 销售量与价格差的散点图从图1分析可以发现，随着价格差x2的增加，销售量y呈现比较明显的线性增长趋势。

图1中直线是用线性模型：110y x ββε=++ (1)拟合的，（其中ε是随机差）。

图 2 销售量与投入广告费用的散点图从图 2分析可以发现，当投入广告费用x 2增加时，销售量y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线用的是二次函数模型：212202y x x βββε=+++ （2）综合上面的分析，结合模型(1)和模型(2)可以建立如下的回归模型：21320122y x x x ββββε=++++ （3）(3)式右端的x 1和x 2称为回归变量（自变量），20123122x x x ββββ+++是给定价格差为x 1，投入广告费用x 2时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123ββββ，，，称为回归系数，由表 1的数据估计，影响牙膏销售量y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。

假设模型选择恰当，ε应该大致服从值为0的正态分布。

2. 基本模型的求解根据建立回归模型，对于给定的回归变量取值，可以用一定的置信度预测因变量的取值范围，即预测区间。

这里利用regress 工具求解，可以得到回归模型（3）的回归系数估计值和置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R 2，F ,P ,S 2 的值，结果见表 2。

表 2模型(3)计算结果3. 结果分析由表 2可以看出，R 2 =0.9054 指因变量y(销售量)的90.54%可由模型决定，F 值远远超过F 检验的临界值，P 远小于α，由此可以看出模型（3）整体是可用的。

表1-2的回归系数给出了模型（3）中0123ββββ，，，的估计值，其中0123ˆˆˆˆ=17.3244=1.3070=-3.6956=0.3486ββββ，，，。

可以发现回归系数β2的置信区间包含有零点，并且区间右端点距离零点很近，表明回归变量x 2 对因变量y 的影响是不太显著，但是由于x 2是显著的，所以仍然将变量x 2留在模型中。

4. 销售预测将回归系数的估计值代入模型（3），就可以预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y ，预测值记为ˆy，得到模型（3）的预测方程如下所示： 20112232ˆˆˆˆˆy x x x ββββ=+++ (4) 由预测方程可以看出当已知该销售周期的价格差x 1和公司投入的广告费用x 2, 就可以计算预测值ˆy。

公司无法直接确定价格差x 1，只能制定公司的牙膏销售价格x 4 ,其他厂家的平均价格一般可以根据市场情况及原材料的价格等估计。

同时公司不能左右其他厂家的平均价格，为了让公司可以灵活的预测销售量和市场需求量，在模型中利用价格差来做回归变量。

公司在预测时可以通过调整牙膏的销售价格到达设定的回归变量价格差x 1。

5. 模型改进在模型（3）中回归变量x 1和x 2对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值与该公司投入的广告费用x 2的二次关系由回归系数β1和β2确定，而并不是取决于价格差x 1，同样y 的均值与x 1的线性关系是由回归系数β1确定，而不取决于x 2。

根据直觉和经验可以猜想，x 1和x 2之间的相互作用会对y 产生影响，可以简单地用x 1，x 2的乘积代表它们之间的相互作用，所以将模型（3）增加一项，得到模型（5）:021********y x x x x x βββββε=+++++ （5）在模型（5）中，y 的均值与x 2的二次关系为2243122x x x βββ++（），由系数确定，并依赖于价格差x 1。

利用regress 工具再次求解，可以得到回归模型（5）的回归系数估计值和置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R 2，F ,P ,S 2 的值，结果见表 3。

由表 3和表 2的结果比较可知，检验统计量R 2有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所提高。

同时，所有参数的置信区间，特别是x 1，x 2的相互作用项x 1、x 2的系数β3的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。

在保持广告费用x 2=6.5百万元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值ˆy与价格差x 1的关系如图 3所示。

图 3模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值与价格差x 1的关系在保持价格差x 1=0.2元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值ˆy与广告费用x 2的关系如图 4所示。

图 4模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值 与广告费用x 2的关系从图 3图 4,中可以看出，交互作用项x 1,x 2,加入模型，y 对x 1的关系有较大变化，当x 2<6时，y 出现下降，x 2>6以后y 上升则快的多。

6. 模型的进一步改进进一步讨论，为了进一步了解x 1和x 2之间的相互作用，考察模型（5）的预测模型。

021********ˆˆˆˆy x x x x x βββββ=++++ 122221ˆ29.113311.13427.60800.6712 1.4777yx x x x x =+-+- （6） 当价格差x 1=0.1元，代入（6）可得：2120.12ˆ|30.22677.75580.6712x yx x ==-+ (7) 当价格差x 1=0.3元，代入（6）可得：2120.32ˆ|32.45368.05130.6712x yx x ==-+ (8)它们均为x 2的二次函数，如图 5所示：图 5 ˆy与x 2的关系 110.30.12ˆˆ|| 2.22690.2955x x yy x ==-=- (9) 由（9）式可得，当x 2<7.5360时，总有110.30.1ˆˆ|> |x x yy ==，即如果公司投入的广告费用不超过大约7.5百万元，价格差定在0.3元时的销售量比价格差定在0.1元的大，这时的价格优势会使销售量增加。

下面对模型进一步改进，采用式（10）的完全二次多项式模型：22011223124152y +x x x x x x ββββββε=+++++（10）用rstool 直接求解，并且以交互式画面给出y 的估计值ˆy 和预测空间。

（如图7）从左下方的输出Export 可以得到模型（10）的回归系数的估计值为：012345ˆˆˆˆˆˆˆ=,=βββββββ（,,,,）（32.0984,14.7436,-8.6367,-2.1038,1.1074,0.7594）在图 6下方的窗口内输入，可以改变x 1和x 2的数值，当x 1=0.2,x 2=6.5时，左边的窗口显示ˆy=8.3092,预测区间为8.3092±0.2558=[8.0471,8.5587]与模型（5）相差不大。