高中数学人教A版(2019) 必修(第一册)同步练习：4.1指数之方根与幂的运算与化简
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《作业推荐》—4.1指数之方根与幂的运算与化简 一、单选题(共 40 分) 1.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )
A.18 B.21 C.24 D.27 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数幂的运算法则，可得到x＝3y＋3和x－9＝2y，解之即可得到结果.
【详解】 因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3， 因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y， 解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 所以本题选D. 【点睛】 本题考查指数幂运算，熟记运算公式是基础，需要基本的运算能力，属基础题.
2.若𝑥+𝑥−1=3 则𝑥2+𝑥−2
的值是（ ）
A.15 B.21 C.7 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】 对式子𝑥+𝑥−1=3两边平方，即可得到答案.
【详解】 因为𝑥+𝑥−1=3，所以𝑥2+𝑥−2+2=9⇒𝑥2+𝑥−2=7.
故选：C 【点睛】 本题考查指数式的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3.若(1−2𝑥)−34有意义，则𝑥的取值范围是（ ）
A.𝑥∈𝑅 B.𝑥≠12 C.𝑥≤12 D.𝑥<12
【答案】D
【解析】
因为(1−2𝑥)−34=1√(1−2𝑥)34，所以1−2𝑥>0即𝑥<12，故应选D. 4.设2<𝑎<3，则√(2−𝑎)2+√(3−𝑎)4
4
化简的结果为（ ）
A.1 B.-1 C.2𝑎−5 D.5−2𝑎 【答案】A 【解析】 【分析】 根据√𝑥2=|𝑥|={𝑥,𝑥≥0−𝑥,𝑥<0 ，结合𝑎的取值范围，化简所求表达式. 【详解】 由于2<𝑎<3，所以2−𝑎<0,3−𝑎>0，所以√(2−𝑎)2+
√(3−𝑎)44=|2−𝑎|+|3−𝑎|=𝑎−2+3−𝑎=1.
故选：A. 【点睛】 本小题主要考查根式的化简，考查绝对值的运算，属于基础题. 5.化简(√𝑎−1)2+√(1−𝑎)2+√(1−𝑎)3
3
的结果是（ ）
A.1−𝑎 B.2(1−𝑎) C.𝑎−1 D.2(𝑎−1) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶次根式有意义可求得𝑎≥1，根据根式运算法则可化简求得结果. 【详解】 ∵√𝑎−1有意义 ∴𝑎−1≥0，即𝑎≥1 ∴(√𝑎−1)2+√(1−𝑎)2+√(1−𝑎)33=(𝑎−1)+(𝑎−1)+(1−𝑎)=𝑎−1 故选𝐶 【点睛】 本题考查根式的运算，关键是能够明确根式有意义的条件： 根指数为奇数，被开方数正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同；
根指数为偶数，被开方数非负，结果非负. 6.方程4x-3•2x+2=0的解集为（ ）
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2} 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，用换元法分析：设t=2x，原方程可以变形为t2-3t+2=0，解可
得：t=1或t=2，分别求出x的值，即可得答案．
【详解】 根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2， 若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1， 则方程4x-3•2x+2=0的解集为{0，1}，
故选C， 【点睛】 本题考查指数的运算，关键是掌握指数的运算性质，属于基础题． 7.有下列各式：①(√𝑎𝑛)𝑛=𝑎；② 𝑥−34=√(1𝑥)43；③𝑎34⋅𝑎43=𝑎；
④√𝑎
2+𝑏24=√𝑎+𝑏
其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂的运算法则和根式的定义，分数指数幂的定义判断． 【详解】
根据根式的定义，(√𝑎𝑛)𝑛=𝑎正确；由分数指数幂的定义，𝑥−34=1√𝑥34；𝑎34⋅𝑎43=𝑎34+43=𝑎2512；√𝑎2+𝑏24≠√𝑎+𝑏．只有第一个正确，其他三个都错．
故选：B. 【点睛】 本题考查根式的定义，分数指数幂的定义，考查幂的运算法则，属于基础题．
8.下列各式：①√𝑎𝑛
𝑛
=𝑎；②(𝑎2−2𝑎−3)0=1；③√−33=
√(−3)2
6
．中正确的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】D 【解析】 【分析】 逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】 ①√𝑎𝑛𝑛=𝑎，是错误的，如：√(−2)2=√22=2≠−2，所以该结论是错
误的；
②(𝑎2−2𝑎−3)0=1，是错误的，因为当𝑎=3或-1时，𝑎2−2𝑎−3=
0，原式没有意义，所以是错误的；
③√−33=√(−3)26，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误.
故选：D 【点睛】 本题主要考查根式的运算和零次幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题(共 20 分) 9.已知𝑥+𝑥−1
=3则𝑥32+𝑥
−
3
2的值为__________．
【答案】2√5 【解析】 【分析】 观察前后式子特点指数后面是前面的32，先将所以先将前面式子转换为𝑥12+𝑥−12=√5，再通过立方和公式三次方即可． 【详解】
题意(𝑥12+𝑥−12)2=𝑥+2+𝑥−1=5，∴𝑥12+𝑥−12=√5，
∴𝑥32+𝑥−32=(𝑥12+𝑥−12)(𝑥−1+𝑥−1)=√5(3−1)=2√5，
故答案为2√5． 【点睛】 根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(𝑥12+𝑥−12)2=𝑥+2+𝑥−1，(𝑥+𝑥−1)2=𝑥2+2+𝑥−2，𝑥32+𝑥−32=(𝑥12+𝑥−12)(𝑥−1+𝑥−1)，解题时要善于应用公式变形．属于较易题目．
10.已知𝑎12−𝑎−12=1，则𝑎2+𝑎−2的值为______.
【答案】7 【解析】 【分析】 根据𝑎12⋅𝑎−12=1，两边平方可得𝑎+𝑎−1，然后计算(𝑎+𝑎−1)2，可得结果.
【详解】
由𝑎12−𝑎−12=1，则(𝑎12−𝑎−12)2=1
所以𝑎+𝑎−1−2𝑎12𝑎−12=1，则𝑎+𝑎−1=3
所以(𝑎+𝑎−1)2=32=9，则𝑎2+𝑎−2=7
故答案为：7 【点睛】
本题主要考查指数幂的运算，难点在于𝑎12⋅𝑎−12,𝑎2⋅𝑎−2是个定值，属基础题.
11.若𝑥≤−3，则√(𝑥+3)2−√(𝑥−3)2= ________． 【答案】−6 【解析】 【分析】 根据𝑥≤－3，可得𝑥+3≤0，𝑥−3≤−6，利用根式的性质可得结果. 【详解】
∵𝑥≤－3，∴𝑥+3≤0,𝑥−3≤−6， ∴√(𝑥+3)2−√(𝑥−3)2=−(𝑥+3)−[−(𝑥−3)]=−6，故答案为−6.
【点睛】 解题时要注意根式性质的运用，即（1，(√𝑎𝑛)𝑛=𝑎，，2，当n为奇数时
√𝑎𝑛𝑛=𝑎，
当n为偶数时√𝑎𝑛𝑛={
𝑎,𝑎≥0
−𝑎,𝑎<0,特别是开方时一定要注意结果的符号.
12.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成两个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖成______个. 【答案】512 【解析】 【分析】 先算出经过3小时细胞分裂的次数，利用有理数指数幂，求解即可． 【详解】
