高考数学离心率专题

专题11 离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体 核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体 核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形 核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2D ．33．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）AB ．32C D 5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C无公共点”的e 的一个值______________．【方法技巧与总结】求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛ ⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅=，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A B ．1517 C ．1315D ．1317核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0ab >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1112⎫⎪⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）．A ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．0,2⎛ ⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则221231e e +等于_______． 例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（ ） A ．24B ．37C ．49D ．52例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）AB ．34CD ．3例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（ ） AB ．12CD例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n -=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（ ） ABC ．2D核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体 【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模） 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．12D 例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（ ） A1B ．2C D 例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体 【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=，则E 的离心率为______.例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（ ）AB ．2C D 1例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE 则双曲线的方程为( ) A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．23B ．34C D 例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．52D 核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（ ）A B ．13C D 例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）A ．e =B ．2e =C ．e =D ．e =例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A1B 1C D 例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形 【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 作的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D 例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 作斜l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C D ．2核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D 例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D 例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2C D 例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（ ）A B C D ．2核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点 ，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 （ ） AB C ．2D 例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（ ）AB CD 例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x yE a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ）AB C D 例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（ ） AB C ．2D ．5核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.例40．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P ，Q .若2AP BQ a +=，则双曲线的离心率为___________.例41．（2022·高二课时练习）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________．例42．（2022·全国·高三专题练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F 、2F ，1F 过的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点（P 在第二象限，Q 在第一象限）1122,0=⋅=F P PQ FQ F Q ，则双曲线C 的离心率为______．例43．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．例44．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知F是双曲线22221x y a b-=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.例45．（2022·四川·统考模拟预测）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，左，右顶点分别为A ，B ，以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若2PAF △为等腰三角形，则双曲线的离心率为_________．例46．（2022秋·天津·高三专题练习）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P ，若tan ∠PF 1F 2=该双曲线的离心率为_____．例47．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，两条渐近线分别为1l ，2l .过点2F 且与1l 垂直的直线分别交1l ，2l 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若满足22OF OQ OP +=，则该双曲线的离心率为______.核心考点十一：渐近线平行线与面积问题 【典型例题】例48．（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C D ．例49．（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，若四边形FMON 为正方形，则双曲线C 的离心率为__________.例50．（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.例51．（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且1PF x ⊥轴，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A ，B 两点，若四边形PAOB 的面积为2，则12PF F ∆的面积为______.例52．（2022春·全国·高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是________.例53．（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线2221(0)x y a a-=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______. 例54．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.【新题速递】一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a-=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ）A ．2BC D3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．12C D 4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D ．345．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +-=>与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．346．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12B C D7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F -，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0-B ．直线30x y -=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2by x =D ．双曲线的离心率取值范围为11,2⎛ ⎝⎭12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =-B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c ->-13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2bnθ= 15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于A B 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C．E D ．E 的渐近线方程为y =三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x y C a b-=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为______．20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________21．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.22．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12OO =1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.。

【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】方法1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式ce a=，求出离心率e .例1. 若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A .43 B . 32C . 21D . 41【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21方法2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.例2. 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ）ＡＢＣ．2Ｄ．3例3. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 （ ）A ．65 B . 75C . 58D . 95【变式演练2】设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A （B ）2 （C （D【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，第三步 解不等式，确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22B .⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2 B ．[]22 C ．[,1)2D ．[2方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等；第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】[23【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是 .方法5 借助函数的值域求解范围解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6.已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(,1)2 B ．(0,2C ．(0,1)D ．1(0,)2【答案】A【变式演练6】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） AB C D【高考再现】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22221x ya b-=（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）A. B C D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,by a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立2.【2012高考真题新课标理】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C 【解析】3.【2012高考真题江西理】椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2.若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】55 【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.4【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .6【2013年高考湖南卷（理）】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A .离心率相等B .虚半轴长相等C .实半轴长相等D .焦距相等8.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A B C .3 D .29.【2014江西高考理第16题】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .10.【2014山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A .02=±y x B .02=±y x C .02=±y x D .02=±y x11.【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________12.【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B .35C .49 D .313.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=.以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.【反馈练习】1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( ).A 2B 1C 1+D2.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为( ).A 、5 BC D3.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 _______ ．.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系4. 【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>相交于A ,B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知21,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于( ).A ．35B ．34C ．45D ．566.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A .73 B .3C .7D .2考点：双曲线方程、离心率.7.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ）A .2B .3C .26D .28.【冀州中学高三上学期第一次月考，理11】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则 ( ).A . ||||OA e OB = B . ||||OB e OA =C . ||||OA OB =D . ||OA 与||OB 关系不确定考点：1.双曲线定义；2.三角形内切圆.9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线22215x y a -=的右焦点为（3,0），,则该双曲线的离心率等于 .10.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理19】（本小题满分13分）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为21,F F ，上顶点为A ，点2,F B 关于1F 对称，且2AF AB ⊥（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过2,,F B A 三点的圆上的点，若21F AF ∆的面积为3，求点P 到直线033:=--y x l 距离的最大值.11.椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[33，22]B ．[22，1] C ．[33，1] D ．[13，12]12.已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)13.（2014山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是（ ） (A )(19，+∞) (B )(15，+∞) (C ) (13，+∞) (D )(0，+∞) 【答案】C 【解析】14.已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左右两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）(A )(1，2) (B )(1 （C ）(1,5) (D )(+∞)15.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________．16.F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】22≤e <117.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：12PF F △的面积只与椭圆的短轴长有关．18.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届联考】在平面直角坐标系中，已知点F及直线:0l x y+=，曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)P x y的轨迹：①,PF=其中d是P到直线l的距离；②0.225xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C的方程;(2) 若存在直线m与曲线1C、椭圆22222:1(0)x yC a ba b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C离心率e的取值范围.故2222411a bea t-==-，得2150,16e <<又01,e <<故04e <<所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,4所以椭圆2C 离心率e 的取值范围是(0,419.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )的两个焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0. (1)求椭圆的离心率e 的取值范围 ；(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程．20.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．(1)求1a2＋1b2的值；(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．。

专题13 双曲线目录一览2023真题展现考向一 双曲线的离心率真题考查解读近年真题对比考向一 双曲线的渐近线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 双曲线的离心率1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，→F 1A ⊥→F 1B ，→F 2A =−23→F 2B ，则C 的离心率为 ．解：（法一）如图，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），B （0，n ），设A （x ，y ），则→F 2A =(x−c ，y)，→F 2B =(−c ，n)，又→F 2A =−23→F 2B ，则x −c =23c y =−23n，可得A(53c ，−23n)，又→F 1A ⊥→F 1B ，且→F 1A =(83c ，−23n)，→F 1B =(c ，n)，则→F 1A ⋅→F 1B =83c 2−23n 2=0，化简得n 2＝4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2−49n 2b 2=1，整理可得25c 29a2−4n 29b 2=1，代n 2＝4c 2，可得25c 2a 2−16c 2b 2=9，即25e 2−16e 2e 2−1=9，解得e 2=95或15（舍去），故e（法二）由→F 2A =−23→F 2B ，得|→F 2A ||→F 2B |=23，设|→F 2A |=2t ，|→F 2B |=3t ，由对称性可得|→F 1B |=3t ，则|→AF 1|=2t +2a ，|→AB |=5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ=3t5t =35，所以cos θ=45=t ＝a ，所以|→AF 1|=2t +2a =4a ，|→AF 2|=2a ，在△AF 1F 2 中，由余弦定理可得cos θ45，即5c 2＝9a 2，则e【命题意图】考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．(3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支;②若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.二、双曲线的方程及简单几何性质F (－c,0)，F (c,0)F (0，－c )，F (0，c )双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：aPF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb 推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+-2122||||1cos b PF PF θ=-由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--四、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则===（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B两点，则弦长ab AB 22||=.考向一 双曲线的渐近线方程2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为　．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，一．双曲线的标准方程（共5小题）1．（2023•郑州模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．x±y＝0B．C．D．2x±y＝0【解答】解：∵双曲线的方程是（a＞0，b＞0），∴双曲线渐近线为y＝±x．又∵离心率为e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝＝a，由此可得双曲线渐近线为y＝±x＝±x，即：故答案为：．故选：C．2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；又因为双曲线经过点，代入方程可得，λ＝﹣1；故这条双曲线的方程是；故答案为：．3．（2023•通州区模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（±，0）C．（±，0）D．（±，0）【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．故选：C．4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝x，因为A（，）在渐近线上，故＝所以a＝，又A在以OF为直径的圆上，所以OA⊥AF，所以AF2+OA2＝OF2，即（﹣c）2+（）2+（）2+（）2＝c2解得：c＝2，a＝，b＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，故选：C．二．双曲线的性质（共33小题）6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，此时|AF1|＝|BF1|，且∠AF1B＝90°，因为∠AF1F2＝∠BF1F2＝45°，而|AF2|＝|F1F2|，则，即b2＝2ac，①又b2＝c2﹣a2，②联立①②，解得，因为e＞1，所以．故选：C．7．（2023•朝阳区一模）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．或2【解答】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则，所以，故选：B．8．（2023•博白县模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F 1PF2＝60°，＝ac，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【解答】解：设PF 1＝m，PF2＝n，则＝＝ac，∴mn＝4ac，由余弦定理可得：|F1F2|2＝4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，由双曲线的定义可知m﹣n＝2a，∴4c2＝4a2+4ac，即c2﹣a2＝ac，∴e2﹣e﹣1＝0，解得e＝或e＝（舍）．故选：A．9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5【解答】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay﹣bx＝0，所以（4，0）到ay﹣bx＝0的距离为，不妨设b＝4m（m＞0），则．故选：C．10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标为（ ）A．（±1，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（0，±1）【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，其焦点在x轴上，则c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．11．（2023•河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF1的中点M在另一条渐近线上．若∠PF2F1＝45°，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以MO∥PF2，又∠PF2F1＝45°，所以∠MOF1＝45°，即，所以a＝b，故．故选：A．12．（2023•源汇区校级模拟）已知F1、F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，c＝，则该双曲线的离心率是（ ）A．3B．4C．D．【解答】解：由双曲线的性质可得|PF1|＝2a+|PF2|，所以|PF1|2＝4a2+4a|PF2|+|PF2|2，所以＝|PF2|++4a≥2+4a＝8a，由题意可2c＝8a，即c＝4a，所以双曲线的离心率为e＝＝4．故选：B．13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C 上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：设P（m，n），可得m2﹣＝1，双曲线C：x2﹣＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．∠PAB＝∠PBM，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以△PAN∽△BPN，可得，结合m2﹣＝1，可得b＝1，又a＝1，所以双曲线的离心率为：e＝＝．故选：A．14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的余弦值大小为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝，解得m＝+1，n＝﹣1，∴cos∠F1F2P＝＝，故选：D．15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±x，即ax±2y＝0，由圆（x﹣2）2+y2＝4的方程可得圆心C（2，0），半径r＝2，可得d＝，所以可得弦长2＝2＝，解得a2＝，可得离心率e＝＝＝＝，故选：B．16．（2023•广西模拟）双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y 轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由题意知双曲线左顶点为A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），则有，又，将代入中，得，即a2＝4b2，所以，故，故选：A．17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝（ ）A．B．2C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF2|＝b，则|OP|＝a，cos∠PF2O＝，在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，得|PF1|2＝4c2﹣3b2＝4（a2+b）2﹣3b2＝4a2+b2，∵e＝，得＝1+＝3，得＝2，则＝＝＝＝＝，故选：A．18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为，虚轴长为4，则C 的方程为（ ）A．3x2﹣4y2＝1B．C．D．【解答】解：由双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0），得，可得a＝，b＝，c＝，∵双曲线的离心率为，虚轴长为4，∴，解得．∴C的方程为．故选：D．19．（2023•郑州模拟）已知双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：双曲线，则a＝2，b＝1，，由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2、BF2，则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|，设|AF|＝m，|BF|＝n，则m﹣n＝4，m2+n2＝20，所以．故选：A．20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点．点M满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如下图所示，取线段BF1的中点E，连接AE，因为，则，因为E为BF1的中点，则AE⊥BF1，且∠ABF1＝∠AF1B，由双曲线的定义可得2a＝|AF1|﹣|AF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|BF2|，所以|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，则|BE|＝|EF1|＝2a，由余弦定理可得＝＝，所以，因此该双曲线的离心率为．故选：C．21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0的交点，则双曲线的实轴长为（ ）A．6B．C．D．8【解答】解：由，解得，则双曲线过点（﹣1，4）．若双曲线的焦点在x轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即b＝2a，将（﹣1，4）代入方程，得，有，无解，不符合题意；若双曲线的焦点在y轴，设为，由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，得，即a＝2b，将（﹣1，4）代入方程，得，有，解得，所以双曲线的实轴长为．故选：C．22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）A．2B．4C．8D．16【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2）．设A为双曲线C：的左顶点（﹣2，0），渐近线方程为y＝±x，因为直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，所以＝，解得b＝4，故选：B．23．（2023•恩施市校级模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为（ ）A．△AF1F2的面积为2B．双曲线C的离心率为C．D．【解答】解：设双曲线C的半焦距为c＞0，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，则其中一条渐近线方程为，即bx﹣2y＝0，且F1（﹣c，0），则F1到渐近线的距离为，可得，对于A：因为|AF2|﹣|AF1|＝4且，可得，解得|AF1|⋅|AF2|＝2，所以△AF1F2的面积为，故A错误；对于B：双曲线C的离心率为，故B错误；对于C：因为，可得，所以•＝•＝•（•+）＝2+•＝2＝10﹣4，故C错误；对于D：设|BF 2|＝m，则，因为，即，解得，所以＝+＝，故D正确．故选：D．24．（2023•郑州模拟）已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，则CB∥F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，所以|BC|＝4|BF1|＝20t，所以，由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，在△ABF2中，由余弦定理知，在△F1BF2中，由余弦定理知，即，化简得c2＝6t2，把①代入上式得，解得．故选：A．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线焦距为2c，不妨设点P在第一象限，由题意知PQ∥F1F2，由|PQ|＝|F1F2|且PF1与QF2垂直可知，四边形PQF1F2为菱形，且边长为2c，而△QF1O为直角三角形，|QF1|＝2c，|F1O|＝c，故∠F1QO＝30°，∴∠QF1O＝60°，则∠F1QP＝120°则，|PF2|＝2c，故，即离心率．故选：B．26．（2023•林芝市二模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足，且，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：不妨设|AF1|＝m，|AF2|＝n（m＞n），由双曲线的定义可知，m﹣n＝2a，则m2+n2﹣2mn＝4a2①，又，所以由余弦定理可得m2+n2+mn＝4c2②，由①②可得，所以．又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l＝2（m+n），则，面积，因为，所以，整理得2c2＝3a2，故双曲线C的离心率为，故选：A．27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F2作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）A．2B．C．D．【解答】解：因为F1，F2为双曲线C的左、右焦点，所以|F1F2|＝2c，因为ON⊥PF1，F2M⊥PF1所以ON∥F2M，又O为线段F1F2的中点，所以N为线段F1M的中点，且，又M为线段PN的中点，所以，在Rt△OF1N中，|ON|＝a，|OF1|＝b，所以，所以|PF1|＝3b，|MP|＝b，因为点P在双曲线的右支上，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，故|PF2|＝3b﹣2a，在Rt△MF2P中，|MF2|＝2a，|MP|＝b，|PF2|＝3b﹣2a，由勾股定理可得：（2a）2+b2＝（3b﹣2a）2，所以8b2＝12ab，即2b＝3a，所以4b2＝9a2，又b2＝c2﹣a2，故4c2＝13a2，所以，故选：D．28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足•＝0，点N是线段F1F2上一点，满足＝λ．现将△MF1F2沿MN折成直二面角F1﹣MN﹣F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则λ＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：易知双曲线中，，则，又，即，又，∴，如图，设∠NMF2＝θ，F2G⊥MN，F1H⊥MN，则，∴＝4sin2θ+（2cosθ﹣3sinθ）2+9cos2θ＝13（sin2θ+cos2θ）﹣12sinθcosθ＝13﹣6sin2θ，由三角函数知识可知，当时，F1F2取得最小值，此时MN为△MF1F2的角平分线，由角平分线性质可知，此时，则，∴．故选：C．29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝k（x﹣c），联立方程，消去y得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2（k2c2+b2）＝0，则可得，则，设线段AB的中点M（x0，y0），则，即，且k≠0，线段AB的中垂线的斜率为，则线段AB的中垂线所在直线方程为，令y＝0，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率e＞1，∴双曲线的离心率取值范围是．故选：A．30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）①；②若，则双曲线C的离心率；③|BF1|﹣|BF2|＞2a；④．A．①②B．①③C．①②④D．①③④【解答】解：如图，∵|F1F2|＝2|OB|，O为F1F2的中点，∴|OF1|＝|OF2|＝|OB|，得BF1⊥BF2，则，即|BF1|＝，故①正确；设∠BOF2＝θ，则tanθ＝，cosθ＝，sinθ＝，作AA1⊥x轴，垂足为A1，BB1⊥x轴，垂足为B1，则|OB1|＝|OB|cosθ＝c•＝a，|BB1|＝|OB|sinθ＝c•＝b，∵，∴＝，得|AA1|＝b，|A1F1|＝（a+c），则A（（a﹣2c），b），∴，得（2c﹣a）＝a，则e＝，故②正确；设直线l与C右支的交点为M，则|MF1|﹣|MF2|＝2a，∵||MB|﹣|MF2||＜|BF2|，∴|MB|﹣|MF2|＞﹣|BF2|，则|MF1|﹣|MF2|＝|BF1|+|MB|﹣|MF2|＞|BF1|﹣|BF2|，则|BF1|﹣|BF2|＜2a，故③错误；设A（x0，y0），则|AF1|＝＝＝＝||，得|AF1|＝﹣（+a），由题意可知，0＜y0＜|BB1|＝b，则a2＜＝a2（1+）＜2a2，则﹣a＜x0＜﹣a，故c﹣a＜|AF1|＝﹣﹣a＜c﹣a，故④正确．故选：C．31．（2023•江西二模）已知双曲线E：，其左右顶点分别为A1，A2，P在双曲线右支上运动，若∠A1PA2的角平分线交x轴于D点，A2关于PD的对称点为A3，若仅存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，则E离心率的范围为（ ）A．B．C．D．（2，+∞）【解答】解：设直线PA1的倾斜角为α，直线PA2的倾斜角为β，由题设可得P不为右顶点．设P（x0，y0），则．双曲线在P（x0，y0）处的切线斜率必存在，设切线方程为y＝k（x﹣x0）+y0，由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即．因为存在2个P使直线A3D与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，此时α，β均为锐角且存在唯一的P满足题设条件．故直线PD与渐近线平行或与双曲线相切或．若直线PD与渐近线平行，则，而PD为∠A1PA2的平分线，故其倾斜角γ满足γ﹣α＝β﹣γ，故，故，故，但，故，而，由基本不等式可得，当且仅当tanα＝tanβ即α＝β时等号成立，此时PA1∥PA2，这不可能，故直线PD与渐近线不平行．若直线PD与双曲线相切，且切点为P（x0，y0），双曲线在P的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线A3D的斜率为．此时，而，即，故a2＝a2+b2，矛盾．故直线，所以，而直线A3D的倾斜角为α+β，因为直线A3D与双曲线有且只有一个交点，且D在OA2之间，故，由P在第一象限内的唯一性可得存在唯一的α，β，使得，而，故，所以即b2＞3a2，所以，故选：D．32．（2023•江西模拟）双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．±1D．【解答】解：由题意可知：F（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（0，t），则，由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣2，联立方程组化简整理可得，（m2﹣3）y2﹣4my+1＝0，则m2﹣3≠0，Δ＝16m2﹣4（m2﹣3）＝12m2+12＞0，，故AB的中点P的纵坐标，横坐标，则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以，化简整理可得：①，则圆心G（0，t）到直线AB的距离，，，即，将①代入可得：，即，整理可得：m4﹣5m2+6＝0，则（m2﹣2）（m2﹣3）＝0，因为m2﹣3≠0，所以m2﹣2＝0，解得，所以．故选：A．33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF2与双曲线交点为Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．|OP|＝2aB．双曲线C的离心率e＝C．|QF1|＝aD．若△QF1F2的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为＝1【解答】解：对于A，如图，过F2作F2H⊥PO，垂足点为H，∵F2（c，0）到直线y＝x的距离d＝＝b，∴|F2H|＝b，又|OF2|＝c，tan∠POF2＝，∴易得|OH|＝a，又|F1F2|＝2|PF2|＝2|OF2|，∴|PF2|＝|OF2|，∴H为PO的中点，∴|OP|＝2|OH|＝2a，故A正确；对于B，设∠POF2＝θ，则tanθ＝，∴cosθ＝，sinθ＝，又由A知|OP|＝2a，∴P（2a cosθ，2a sinθ），即P（，），又F1（﹣c，0），|F1P|＝|F1F2|＝2c，∴＝2c，两边平方化简，可得4a4+c4+4a2c2+4a2b2＝4c4，∴4a4+c4+4a2c2+4a2（c2﹣a2）＝c4，∴8a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝，故B错误；对于C，设|QF1|＝t，则QF2|＝t﹣2a，又|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|＝2c，∴cos∠QF2F1＝＝，∴在△QF2F1中，由余弦定理，可得＝，∴t＝，又由B知c＝a，∴t＝＝，故C正确；对于D，设△QF1F2的内心为I，且内切圆I与F1F2切于点E，则根据双曲线的定义及内切圆的几何性质，可得|QF1|﹣|QF2|＝|F1E|﹣|F2E|＝2a，又|F1E|+|F2E|＝2c，∴|F1E|＝c+a，|F2E|＝c﹣a，∴切点E为右顶点，又△QF1F2的内心的横坐标为3，∴a＝3，又由B知e＝，∴c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝24﹣9＝15，∴双曲线C的方程为＝1，故D正确，故选：ACD．34．（2023•万州区校级模拟）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F1作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF2与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，如图，若△PQF1内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝ ；双曲线的离心率e ＝ ．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由Δ＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．另解：设由F1向渐近线y＝﹣x所作垂线的垂足为M，△PQF1的内心为I，由于|QF1|＝|QF2|，所以内心I在y轴上．又内心I在以线段F1，F2为直径的圆上，所以|OF1|＝|OF2|＝c，连接IF1．IF2，则∠IF1O＝∠IF2O＝45°，设∠QF1I＝∠QF2I＝α，则∠IF1P＝∠QF1I＝α，因此∠PF1F2＝45°﹣α，而∠PF2F1＝∠QF2I+∠IF2O＝45°+α，因此∠PF1F2+∠PF2F1＝45°﹣α+45°+α＝90°，故∠F1PF2＝90°．又F1M⊥OM，所以OM∥PF2，所以M为PF的中点，易求得|OM|＝a，于是|PF2|＝2a．由双曲线定义可得|PF1|＝2a+2a＝4a，在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，于是c2＝5a2，故得双曲线的离心率e＝．故答案为：，．35．（2023•淮北一模）已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是 ．所以双曲线C的方程为．②如图：设△AF1F2的内切圆与AF1，AF2，F1F2分别切于H，D，G，所以|AH|＝|AD|，|HF1|＝|GF1|，|DF2|＝|GF2|，所以|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|HF1|﹣|AD|﹣|DF2|＝|HF1|﹣|DF2|＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，又|GF1|+|GF2|＝2c，所以|GF1|＝a+c，|GF2|＝c﹣a，又|EF1|＝a+c，|EF2|＝c﹣a，所以G与E（a，0）重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为θ．则，，＝＝＝＝，当时，|ME|﹣|NE|＝0，当时，由题知，a＝2．c＝4，．因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴．且，，综上所述，．故答案为：；．36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x1，y1）在第一象限，△MF1F2，△NF1F2的内心分别为I1，I2，其内切圆半径分别为r1，r2，△MF1N的内心为I．双曲线C在M处的切线方程为，则下列说法正确的有（ ）A．点I1、I2均在直线x＝3上B．直线MI的方程为C．D．【解答】解：由双曲线得a＝3，b＝4，c＝5，设△MF1F2的内切圆I1与MF1，MF2，F1F2分别切于点A，B，H，则|MA|＝|MB|，|F1A|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|，所以|MF1|﹣|MF2|+|F1F2|＝|F1A|+|MA|﹣|F2B|﹣|MB|﹣|F1H+F2H|＝2a+2c＝16，又|OF1|＝5，所以|OH|＝3，即圆I1与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I1在直线x＝3上，同理可得圆I2与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I2也在直线x＝3上，故选项A正确；因为△MF1N的内心为I，所以MI平分∠F1MF2，根据双曲线的光学性质，双曲线C在M处的切线就平分∠F1MF2，故直线MI的方程为，故B正确；设△NF1F2的内切圆I2与MN切于点D，连接I1B，I2D，I1F2，I2F2，设∠I2I1F2＝θ，∠I1I2F1＝α，因为IB⊥MN，I2D⊥MN，所以I1B∥I2D，所以2θ+2α＝π，即，所以tanθ•tanα＝1，又|F2H|＝2，所以tan，tan，即tan＝1，所以r1r2＝4，故C不正确；由B可得MI的方程为，①设N（x2，y2），同理可得NI的方程为，②联立①②可得x＝，可设MN的方程为x＝my+5，可得x1＝my1+5，x2＝my2+5，则x＝＝，所以I在直线x＝上，所以I到I1I2的距离为d3＝3﹣＝，F2到I1I2的距离为d4＝5﹣3＝2，所以＝＝．故D正确．故选：ABD．37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F1作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（ ）A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）B．r的取值范围为（0，3）C．若r＝1，则tan∠F1PF2＝D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣）【解答】解：设Ⅰ（x，y），设△PF1F2的内切圆分别与边PF1，PF2，F1F2切于A，B，C三点，如图所示，对于A：由题知，a＝4，b＝3，c＝5，F1（﹣5，0），F2（5，0），8＝|PF1|﹣|PF2|＝（|PA|+|F1A|）﹣（PB|+|F2B|）＝|F1A|﹣|F2B|＝|F1C|﹣|F2C|，所以（x+5）﹣（5﹣x）＝8，x＝4，显然y≠0，故A正确；对于B：根据对称性，不妨假设P点在x轴上方，根据A选项可设Ⅰ（4，r），双曲线的一条渐近线为，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1的方程为，圆心到直线的距离为＝3，所以r的取值范围为（0，3），故B正确；对于C：r＝1时，|IB|＝|IC|＝1，|F2C|＝1，此时PF2⊥F1F2，所以，，因为|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，所以，故C错误；对于D：分别延长F1Q，PF2交于点M，因为PQ过内切圆圆心I，所以PQ为角平分线，且PQ⊥F1M，所以|PF1|＝|PM|，且Q为F1M的中点，所以|PF1|﹣|PF2|＝|PM|﹣|PF2|＝|MF2|＝8，又因为点O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，所以，所以动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16，显然x≠4，又考虑P点在无穷远时，此时直线OP趋近于渐近线，直线F1Q为，联立方程组，解得，则，所以点Q的横坐标，动点Q的轨迹方程为，故D正确；故选：ABD．38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线．已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）A．B．C．D．【解答】解：对函数，其定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，用﹣x，﹣y替换x，y，方程不变，故其图象关于原点对称．又当x＞0，且x趋近于0时，y趋近于正无穷，当x趋近于正无穷时，趋近于0，此时的图象与y＝无限靠近，故的两条渐近线为y轴与y＝，为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴x′，y′必须平分两条渐近线的夹角，又y＝，其斜率为k＝，此时其在原坐标系中其倾斜角为30°，与y轴夹角为60°，故新坐标系中，x′轴与x轴的夹角应为60°，故x′轴所在直线在原坐标系中的方程为y＝x，y′轴与其垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立，可得x2＝3，y2＝9，则a2＝x2+y2＝12，又在新坐标系下，双曲线的渐近线x＝0与x轴的夹角为30°，故＝，即，故在新坐标系下双曲线方程为．故选：A．三．直线与双曲线的综合（共22小题）39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C 只有一个交点，则m＝（ ）A．±2B．C．D．±4【解答】解：双曲线的右焦点为F（4，0），点A（0，m），双曲线的渐近线方程：y＝x，直线AF与C只有一个交点，可得，解得m＝．故选：B．40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）A．双纽线C关于原点O成中心对称B．C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，所以，用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知＝，即|y0|＝sin∠F1PF2，所以，所以B正确；对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0，所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；对于D，因为，所以||2＝（﹣cos∠F1PF2+），由余弦定理得4a2＝﹣cos∠F1PF2+，所以||2＝a2+cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为，所以D正确．故选：C．41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：．则k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为，所以M，N是以A（﹣2，0）、B（2，0）为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，，所以，∴双曲线方程为，则过P（0，﹣1）斜率为k的直线方程为y＝kx﹣1，由，消去y整理得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6＝0，所以，解得，即k的取值范围为．故选：C．42．（2023•河南模拟）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段F1B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F2M⊥AB，若∠AF1F2＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），∠AF1F2＝30°，可得AB的方程为：y＝（x+c），代入双曲线方程化简可得：（3b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣3a2b2＝0，所以x M＝，y M＝（+c），＝，解得a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e＝＝＝．故选：D．43．（2023•天津模拟）双曲线的左右焦点分别是F1，F2，离心率为e，过点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF2N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|＝m，因为△MNF2是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝m，|NF2|＝m，|MF1|＝，|NF1|＝m﹣，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，又|MF1|＝m﹣2a，|NF1|＝m﹣2a，，解得m＝2a，则，解得，双曲线的离心率为e，可得e2＝5﹣2．故选：A．44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C 的离心率为（ ）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意可知，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段BF1的中点，当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．根据双曲线可得，F1（﹣c，0），F2（c，0），两条渐近线方程，∵BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，∴BO＝OF1＝OF2＝c，又∵A为线段BF1的中点，∴OA垂直平分BF1，可设直线BF1为①，直线BF2为②，直线BO为③，由②③得，交点坐标，点B还在直线BF1上，∴，可得b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，所以双曲线C的离心率，故选：B．。

2023年高考数学---《离心率问题》解题方法讲解1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）ABC ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y − 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+−+−+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a −=， 所以()2221222114b a x ax a −=−+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =−故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅−=−，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=−，故2214b a = 所以椭圆C的离心率ce a= A. 2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b−=，解得2b y a =±，所以22bAB a =,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bca =c =，所以222212a c b c =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32b b c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 0e <≤当32b b c −>−，即22b c <时， 42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）A B ．32C D 【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ， 所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a −=532222a a b a ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a −=352222a b a a +−=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y −=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49−=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支， 因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα−=+−即()sin sin sin a c αββα=+−，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+−，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=， 代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a =若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=−， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα−=−+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=−−，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e =故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =−=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+−=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c =−，代入椭圆方程22234120x y c +−=，整理化简得到：221390y c −−=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =−==⨯⨯⨯=， ∴ 138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫− ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b −=，解得：228124c a =，所以离心率e =7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________． 【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以=c e a又因为1e >，所以1e <故答案为：2（满足1e <≤。