专题16：双曲线的离心率问题34页

双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。

双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。

一、求双曲线的离心率及其范围。

例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。

答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。

答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。

答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。

答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。

双曲线的离心率问题一、引言双曲线是平面几何中的一种重要曲线，其离心率问题是双曲线研究中的重要内容之一。

本文将从离心率定义、离心率的几何意义、离心率的范围、离心率与双曲线的关系、离心率与渐近线的关系、离心率与焦点的关系、离心率与轴比的关系、离心率与实轴和虚轴的关系以及离心率与准线的关系等方面，对双曲线的离心率问题进行详细阐述。

二、离心率定义离心率是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：双曲线的焦距除以双曲线的实轴长度。

离心率的数学表达式为：e=c/a，其中c为焦距，a为实轴长度。

三、离心率的几何意义离心率的几何意义是描述双曲线在平面上的开口程度。

当离心率e越大时，双曲线的开口程度越大；当离心率e越小时，双曲线的开口程度越小。

四、离心率的范围离心率的范围为0<e<1。

其中，0表示圆，1表示直线，0<e<1表示双曲线的形状。

五、离心率与双曲线的关系离心率与双曲线的关系密切。

离心率的改变会导致双曲线的形状和开口程度发生变化。

同时，离心率也是双曲线的一个重要参数，可以用于描述双曲线的几何特征。

六、离心率与渐近线的关系离心率与渐近线的关系也十分重要。

渐近线是双曲线在某一方向上的近似直线，离心率的大小决定了渐近线的斜率。

当离心率e越大时，渐近线的斜率越大；当离心率e越小时，渐近线的斜率越小。

七、离心率与焦点的关系离心率与焦点的关系是双曲线的一个重要特征。

双曲线的焦点到中心的距离为c，其中c的表达式为：c^2=a^2+b^2（在实数轴上）或者c^2=|a^2-b^2|（在复数轴上）。

因此，离心率的改变会导致焦点的位置发生变化。

八、离心率与轴比的关系轴比是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：实轴长度a与虚轴长度b的比值。

离心率的改变会影响轴比的大小，进而影响双曲线的形状和开口程度。

九、离心率与实轴和虚轴的关系实轴和虚轴是双曲线的重要特征线。

离心率的改变会影响实轴和虚轴的长度和位置，进而影响双曲线的形状和开口程度。

求双曲线方程及离心率练习题1．已知双曲线22214y x a -=过点()2,1-，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 2C. 3D. 42．双曲线221()mx y m R +=∈，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C. 1± D ．22．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ）A.3B. 3C. 5D. 53．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的√55，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2√55B. √52C. 2D. √54．设F 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ） A．BC．D ．35．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于 （ ） ABC. 2 D ．36．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14 ，则此双曲线的离心率是（ ）A. 2B. 2C. 3D. 37．过双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）8．已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 1作斜率为√33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率为（ ）. A. √3 B. √5+1 C. √2 D. 2+√3 9．已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1，其一渐近线被圆C:(x −1)2+(y −3)2=9所截得的弦长等于4，则的离心率为( ) A.√52B. √5C.√52或√3 D.√52或√5 10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的渐近线与圆(2283x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ）A.2 B. 32C. D. 311．设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =， 60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 1+C. 2+D. 4+12．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，直线经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( ) A.1+√52B.3+√54C. √1+√52 D.√3+√5213．设F 1，F 2分别为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a22−y 2b22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，，若椭圆的离心率e 1=34，则双曲线C 2的离心率e 2的值为（ ）A. 2B.3√22 C.3 D. 214．已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1+e22的最小值为（ ）A. 6B. 3C. √6D. √3 15．已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=3|ON|，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 16．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2=8a|PF 2|，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. (1,3] B. C. (0,3) D. (0,3]17．已知双曲线 :x 2a 2−y 24=1的一条渐近线方程为2x +3y =0,F 1,F 2分别是双曲线的左, 右焦点, 点P 在双曲线上, 且|PF 1|=2, 则|PF 2|等于（ ）A. 4B. 6C. 8D. 1018．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. 30m -<< B. 32m -<< C. 34m -<< D. 13m -<<19．已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）A. 223144x y -=B. 223122x y -=C. 22513y x -= D. 223122y x -= 20．已知双曲线C:x 2−y 23=1的右顶点为A ，过右焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF =（） A. √3 B.√32C.3√34D.3√381．C 【解析】由题意可得：221411,42a a -=⇒= ，据此有： 2222219,4,22a b c a b ===+=，则： 2229,3c e e a=== .本题选择C 选项.2．B 【解析】因为y 2−x 21−m=1 ,所以√2=√1−1m1,m =−1 ,选B.2．A3．D 【解析】不妨设双曲线的焦点为F(c,0)，则其中一条渐近线为y =b ax ，焦点到其距离d =√a 2+b2=b ，又知，所以e =c a=√5，故选D ．4．B 【解析】由题意得OF 的垂直平分线x =c2与渐近线y =b ax 在第一象限内的交点为(c 2,bc2a ) ，因此到另一条渐近线y =−ba x,bx +ay =0的距离为bc 2+bc 2c=c2,c =2b,c =2√3a,e =2√33. 选B.5．A 【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，所以b =a,e =√2. 选A. 6．A 7．A 8．A，解得，选A.9．D 【解析】 的渐近线为渐近线被截得的弦长为或或e =√52.选D.10．A 【解析】由题意知圆心()22,0到渐近线0bx ay -=的距离等于83,化简得2232a c =,解得62e =,故选A. 11．B 12．D 13．B 14．A15．C【解析】因为轴，所以设M(−c,t)，16．A 【解析】根据双曲线定义，||PF 1|−|PF 2||=2a ，且点在左支，则|PF 1|−|PF 2|=2a ，设|PF 1|=m ，，则m =n −2a ,n 2n−2a=8a ,则n =4a ,m =2a ,在中,m +n�?w2c ,则离心率.∴1<e�?.故选A.17．C 【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y =±bax ，据所给渐近线方程2x +3y =0，又b =2 ，知a =3 ，根据双曲线的定义可得|PF 1−PF 2|=2a =6 ，又|PF 1|=2 ，则|PF 2|=8．故本题答案选．【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.19．D 【解析】可设直线方程： 22(1),:20y k x B x y x =++-=的圆心为(1,0)半径为1，由相切得条件可得： 203131k k k k +-=⇒=±+，所以直线方程： 31),y x =+，联立圆解得： 1313,(,22x y D ==⇒，故渐近线方程为3y x =，设双曲线方程为2213y x m -=代入D 可得双曲线方程： 223122y x -= 20．A【解析】A(1,0),F(2,0) 渐近线为与的一条渐近线平行，不妨用，即的纵坐标.选B.。

椭圆双曲线离心率范围问题离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口如：椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞典例讲解例1：已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. 55⎫⎪⎪⎣⎭B. 22⎫⎪⎪⎣⎭C. 50,5⎛ ⎝⎦D. 22⎛ ⎝⎦解：在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值。

所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥，所以22tan 1OF c OPF OP b∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得22e ≥，再由()0,1e ∈可得22e ⎫∈⎪⎪⎣⎭例2：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线 离心率e 的取值范围为（ ）A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+解：BF AF ⊥可得ABF 为直角三角形，且22AB OF c ==，结合α=∠ABF 可得2sin ,2cos AF c BF c αα==，因为,A B 关于原点对称，所以AF 即为B 的左焦半径。

双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。

椭圆离心率专题1.求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．2.求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围．题型一:分类讨论 1．若椭圆2215x y m+=的离心率为e =，则m 的值为 题型二：利用正余弦定理1．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是2.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）B ．1C ．．3.椭圆C 的焦点为F 1(-1,0），F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2=2F 2B,AB=BF 1，椭圆的离心率为题型三：焦点弦的定比分弦问题1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 32B ． 23C ． 22D ． 33 2．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 52C ． 32D ． 22 3．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的离心率为题型四：利用中位线和相似1．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 13C ． 23D ． 142．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 13B ． 23C ． 36D ． 53 题型五：椭圆的中点弦问题1．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为____ ___.12,F F C2．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ． 12⎛ ⎝⎭B ． 2⎝⎭C ． 14⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知椭圆C ： 22221x y a b+= （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 02⎛ ⎝⎭， 题型六：张角最值1．已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． [√22，1)B ． [12，1)C ． (0，√22]D ． (0，12] 2．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上动点P ,左、右焦点分别为F 1、F 2，当P 点运动时，∠F 1PF 2的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为___ __． 题型七：利用椭圆的焦半径范围1．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是3．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 1,22⎡⎢⎣⎦C ． ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E 的一个长轴端点M 及一个短轴端点N 在直线24y x =-+上.（1）求椭圆E 的离心率.（2）若P 是椭圆C 上一点，（异于M ，N ），试求PMN 面积的最大值.。