复合函数的概念及复合函数的单调性
一、知识点内容和要求：
理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间
二、教学过程设计
（一）复习函数的单调性
引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？
（二）新课
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立，a是中间变量。
2、复合函数单调性
由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，
当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，
∵y=f（u）是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地，
当0＜a＜1时，
是单调递增函数
一般地，
定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况：
（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性
（1）（2）
解：①
又是减函数
∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）
令
∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
∵是增函数
∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域
练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；
（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；
（3）减区间，增区间；
（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
（1）y=f（x）的表达式及定义域；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。
答案：（1）x∈（0，3）
（2）（0，]
（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数
当x∈时，；
当x∈时，。
例3、确定函数的单调区间。
提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。
函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）
函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。
作业：1、求下列函数的单调区间。
（1）（2）（3）
2、求函数的递减区间。
3、求函数的递增区间。
4、讨论下列函数的单调性。
（1）（2）
答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）2、[，2] 3、（-∞，-2）
4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
