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人教A版必修3 3.3 几何概型 作业

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-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
金戈铁骑
2019-2020学年人教A版必修3 3.3 几何概型 作业
一、题组对点训练
对点练一 与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )

A.45 B．35

C.25 D.15
解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为
P
＝35.
2．“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm的杆上系一根长
度为1 m的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m的概率
为( )

A.25 B．15

C.13 D.23
解析：选B 空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m，即空竹的运行范围为1－2×0.4＝
0.2(m)，故所求事件的概率为P＝0.21＝15.

3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍
去．
当2答案：3
4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点
Q
且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，
记事件A＝{弦长超过1}．

由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.
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金戈铁骑
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.
对点练二 与面积、体积有关的几何概型
5.如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径
画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )

A.18 B．π8

C.14 D.12
解析：选C 由题意知，大圆的面积为S＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S′＝12π·2
2
－π· 12＝π，
则所求的概率P＝S′S＝π4π＝14.故选C.
6.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面
积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，
据此可估计黑色部分的面积约为________．

解析：由随机模拟试验可得：S黑S正＝453800，

所以S黑＝453800×16≈9.
答案：9
7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1­ABC内的概率
是________．

解析：设正方体的棱长为a，则所求概率
P
＝VA1­ABCVABCD­A1B1C1D1＝13×12a2·aa3＝16.

答案：16
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形
ABCD
是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开
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图内的概率是14，则此长方体的体积是________．

解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展
开图内的概率P＝2＋4h2h＋22h＋1＝14，解得h＝3或h＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1
×3＝3.
答案：3
9.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白
色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的
比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假
设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射
中黄心的概率为多少？

解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm2的大圆

内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概

率为P(B)＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
二、综合过关训练
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部
分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
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金戈铁骑
解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，
∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.
3．在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面
积大于60 cm2的概率为( )

A.14 B.12 C.13 D.34
解析：选A 设MP＝x，则NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60⇒x2－16x＋60<0，(x－6)(
x
－10)<0⇒64.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，
OD为直径作四个圆，在圆O
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概

率是( )

A．1－2π B．12－1π

C.2π D.1π
解析：选A 设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S白＝4π－16π4－12＝8，设“此
点取自阴影部分”为事件A，
则P(A)＝1－S白S大圆＝1－84π＝1－2π.
5.如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连
接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )

A.12 B．32
C.13 D.14

解析：选C 如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝60°，由圆的对称性及
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几何概型得P＝120360＝13.故选C.
6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．

一只苍蝇在几何体ADF­BCE内自由飞行，求它飞入几何体F­AMCD内的概率．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.

因为VF­AMCD＝13S四边形AMCD×DF＝13×1212a＋a·a·a＝14a3，VADF­BCE＝12a2·a＝12a3，

所以苍蝇飞入几何体F­AMCD内的概率为14a312a3＝12.
7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此
折线能构成三角形的概率．
解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，
由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应
的，

先设xCD，BC＋CD>AB，
CD
＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，
符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．
同样地，当y

利用几何概型可知，所求的概率为S△GFE＋S△EHIS正方形＝14.

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巧设问题情景有效实施启发式教学

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巧设问题情景有效实施启发式教学从数学学习的认知本质看，数学学习离不开情境。

事实上，学生学习知识的过程本身是一个建构的过程，无论是对知识的理解，还是知识的运用，都离不开知识产生的环境和适用的范围.新课标强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，“问题——情境”是数学课程标准倡导的教学模式。

它包含两层含义：首先是要有“问题”，即当学生利用已有的认知还不能理解或者不能正确解答的数学问题，当然，问题的障碍性不能影响学生接受和产生兴趣，否则，至少不能称为好问题；其次是“情境”，即数学知识产生或应用的具体环境，这种环境可以是真实的生活环境、虚拟的社会环境、经验性的想象环境，也可以是抽象的数学环境等等.因此，在新课的引入过程中，教师要对教材内容进行二次开发，精心创设问题情境.同时还要激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生最大限度地参与探究新知识活动，促使学生全身心地投入学习.一、问题情景设置的科学性所设置问题情境内容要科学，有针对性，以教学目标为依据，以相应的数学知识点为依托，不可随意编造或东拼西凑，表述要科学，结构要合理，由易到难.案例1 (网载材料) 2006年全国优质课教学比赛，一位教师在讲授人教A版选修2-1中的2.1.1《椭圆及其标准方程》用“神州五号”的太空飞行图来问学生飞行线路是什么?这个情境问题实在难为了学生,都不知怎样回答,“飞行轨迹是椭圆”还是教师自己加上去的,假设学生反问“为什么它的轨迹是椭圆?”恐怕教师就不好回答了.并不是任何问题都能激起学生学习兴趣的，也不是随便地把问题提出来就能使学生产生明显的意识倾向和感情共鸣，其实本例可以用当前学习任务相关的、反映当前学习的内容本质的情境较好.与原来的教材相比，高中数学人教A版的教材可以说是信手拈来、得心应手.章前图（平面截圆锥）的解说；章前引言的实际问题；与之相关的阅读材料；甚至有些联系实际的例题、习题均可作为创设问题情景的材料.当然，如果你把这些素材用现代信息技术教学手段进行适当的加工，效果就会更好.所以利用高中数学人教A版教材创设问题情景，调动学生的学习兴趣显得十分简便、快捷，因此，对情境的设计，最根本的就是“二次开发教材”.二、问题情景设置具有探究性所创设问题应具有探究性，启迪学生思维，引发学生广泛的类比、联想与猜想；还要有挑战性，能促进学生主动参与探究.案例2 教A版必修3第三章3.3.2节内容中的一道几何概型课例的教学。

高中数学第3章概率3.3几何概型自我检测苏教版必修3

高中数学第3章概率3.3几何概型自我检测苏教版必修3

3.3 几何概型自我检测 基础达标 一、选择题1．圆内有一内接正方形，今投射1镖，则落入正方形内的概率是（ ）A ．2π B ．π2 C ．π1D ．π21答案：B2．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（ ）A ．31 B ．21 C ．32D ．97答案：A3．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为（ ）A ．31 B ．32 C ．21D ．65答案：A4．有1杯10升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ） A ．0.1B ．0.01 C ．0.001D ．0 答案：B 二、填空题5．公交车30 min 一班，在车站停2min ，某乘客到达站台立即乘上车的概率是________. 答案：151 6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min 的概率为__________. 答案：61 解析：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的概率公式得，P （A ）=605060-=61． 三、解答题7．现向如右图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率.解：由⎩⎨⎧-==--．，10436y y x得A （61，-1）. ∵B(1,-1),∴|AB|=1-61=65． 同理，由⎩⎨⎧=--=，，04361y x x 得y=32.∴C(1,32), ∴|BC|=32-(-1)= 35.∴S △ABC =21×65×35=3625．而正方形面积为2×2=4．因此所求概率为1442543625=．8．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的概率.解：如右图所示，|AB|=|AC|=OB （半径），则弦长超过半径，相当于动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上.由几何概型的概率计算公式，得P=32234=OB OBππ.答：弦长超过半径的概率为32.9．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字.旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.解析：如右图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由几何概型求概率公式得P=83)8141(22=+=rr S S ππ圆阴更上一层1．一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在8小时内随机到达.顾客甲需要1小时服务时间，顾客乙需2小时.求两人都不需要等待的概率. 解：设顾客甲到达的时间为x ，顾客乙到达的时间为y.则 0≤x ≤8 0≤y ≤8无人需要等待所包含的基本事件为y-x ≥1 x-y ≥2试验的每个结果都是等可能的，由几何概型的条件知，只要在阴影部分就表示无人需要等待.∴P=2228621721⨯+⨯=正阴SS=66.4%．2．把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.分析：要构成三角形，则必须满足三角形中任意两边之和大于第三边，关键在于确定它所包含的基本事件.解：设其中两段的长为x、y，则所有基本事件：x>0,y>0 x+y<a而构成三角形所包含的基本事件：x<2a,y<2a,x+y>2a.P=4121)22(212=⨯⨯aaa=0.25．答：可构成三角形的概率是0.25．3．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？思路分析：到达乙地的时间是9.5时到10时之间的任一时刻，汽车从乙地出发的时间是9.75时到10.25时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内以x轴表示到达乙地的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和汽车从乙地出发的时间是随机的，则随机试验的所有结果（x,y)是正方形内等可能的任一点，事件A（他能赶上车）发生的充要条件是x≤y，即对应正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积有关，适用于几何概型.解析：在平面直角坐标系内，以x和y分别表示到达乙地和汽车从乙地出发的时间，则能赶上汽车的充要条件是x≤y.而（x,y）的所有可能结果是边长为0.5的正方形，而可能赶上车的时间由上图中的阴影所表示.这是一个几何概率问题.由公式得P（A）=2225.021 25.05.0⨯-=0.875．答案：能赶上车的概率为0.875．。

高中数学：第三章概率 小结 (21)

高中数学：第三章概率 小结 (21)

第24页
探究2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点． (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几 何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
第25页
思考题2
(1)(高考真题·北京卷)设不等式组
0≤x≤2， 0≤y≤2
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ②求候车时间不超过10分钟的概率； ②求乘客到达车站立即上车的概率．
第12页
【思路】 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 结果 【解析】 ①如下图所示，设相邻两班车的发出时间为 T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分 钟”为事件A.
【解析】 ∵区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区
间[0，1]的区间长度为1，
∴由几何概型知x∈[0，1]的概率为13.
【答案】
1 3
第9页
(2)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求 AM的长大于AC的长的概率．
【思路】 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的 区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上 时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′.
思考题1 某人向平面区域|x|＋|y|≤ 2 内任意投掷一枚飞 镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．
第51页
【解析】 区域|x|＋|y|≤ 2是边长为2的一个正方形区域(如 图)，由图知所求概率为π4.
第44页
自助餐
第45页
与线性规划有关的几何概型问题 (仅供先学必修五的学校使用)
高一数学人教A版必修3课件：几何概型3

高一数学人教A版必修3课件：几何概型3

思维引导：甲顾客购物的钱数在100元到200元之 间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了 20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于顾 客来说：
绿 黄
黄
绿 绿 绿 红
1 2 4 7 解：P（获得购物券）= 20 20
P（获得100元购物券）=
1 20
P（获得20购物券）=
2 1 P（获得50购物券）= 20 10
这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等。
在问题中:假设每个小方砖的面积是1，则在卧室里时，
80 4 P（“停留在黑色方砖”） 5 100
在书房里时，
20 1 P（“停留在黑色方砖”） 100 5
卧室
书房
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个 特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的 机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点。
三、学法指导
对于学生的学习，结合本课的实际需要，
作如下指导：对于概念，学会几何概型与古
典概型的比较；立足基础知识和基本技能，
掌握好典型例题；注意数形结合思想的运用， 把抽象的问题转化为熟悉的几何概型。
四. 教学过程分析
问题：下图是卧室和书房地板的示意图，图
中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分 别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停 留在某块方砖上，问 在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？ 说明理由.
构成事件A的区域长度（面积或体 积） P（A）= 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来 判别某种概型是古典概型还是几何概型。
过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数 学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题， 体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推 理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的 方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成 勤学严谨的学习习惯。