粗差定位及方法分类

1、粗差定位及方法分类 粗差定位是在平差过程中，自动发现粗差的存在，并正确的指出粗差的位置，从而将它从平差中剔除。它不仅仅是个理论问题，而更主要的是算法上的问题，要针对不同平差系统和可能出现的不同类型的粗差，进行由程序控制的自动探测过程。处理观测值中的粗差有两种不同的模型，一种是所谓“数学期望平移”模型，另一种是“方差扩大”模型。

一、数学期望平移模型 这种方法的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，然后再作最小二乘平差。

含粗差的观测值可以看作与其它同类观测值具有相同的方差、不同的期望的一个子样，即：

iL～)),((2iLEN （1）

jL～),)((2jgjLEN （2）

iL为正常观测值，jL为含粗差的观测值。 它意味着将粗差视为函数模型的一部分。可见，平均漂移模型是将含粗差的观测值jL看作为与正常观测值iL有相同方差不同期望。对此模型，可根据平差的结果严格构建相应的统计量，在给定得显著水平0下，便可与临界值aK相比较，从而判断相应的观测值是否包含粗差。

二、方差扩大模型 含粗差的观测值可以看作与其它同类观测值具有相同的期望，但不同的方差的子样，含粗差观测值的方差将异常得大，即： iL～)),((2iLEN （3） jL～1),),((222aaLENj (4) 可见，方差扩大模型是将含粗差的观测值jL与正常观测值iL视为有相同的期望， 不同的方差，而且2a通常比1大的多。

因此，平均漂移模型可以解释为将粗差归入函数模型，方差扩大模型则解释为将粗差归入随机模型。

2、粗差归入函数模型时的粗差检测方法 当粗差归入函数模型时，单个粗差的检测方法即知名的数据探测法。 一、经典粗差检测法 对于观测数据中可能存在的粗差进行检验，传统上大多采用几何条件闭合差W。在常规大地测量中，由于粗差和极限误差的界限难以清晰的区分，因此用W探测粗差存在着一定的困难，特别是对于那些接近极限误差的W，情况更是如此。用残差（改正数）V检测粗差对于常规大地测量、卫星大地测量和航空摄影测量都适用，它不但可以检验观测列中存在着的粗差，而且还可以检验起始数据粗差和数据传输过程中的其它可能出现的粗差。

利用残差V检验粗差的经典方法是采用3规则，这里0，当 03iV 时，则认为第i个观测值iL存在粗差。 这就是传统上用残差V检验粗差的意义。 二、数据探测法 上述方法检验粗差，在理论上是不严格的。因为V～))(,0(0QHIN，故对V进行标准化，应当用

iiQrV10 (4) 而不应该用0，即

iVii

V

W ， iW～)1,0(N (5)

而不是 iiiVW0 用iW作为探测粗差的统计量，是Baarda数据探测法理论的核心。采用目前国际上公认的Baarda所选用的显著水平001.0，由正态分布可查得

3.3iViiVW (6) 即以iW～)1,0(N作为零假设0H，若iViV3.3，则接受零假设，也就是检验结果为在该显著水平下不存在粗差；反之，若iViV3.3，则拒绝0H，判断其有 粗查存在。

用iW作为探测粗差的统计量，有三种情况： （1） 在已知单位权方差的情况下，有下列正态变量—标准化残差： ]1[0itiviviirvvqvwiiii （7） （2） 当未知单位权方差时，得到下列t分布的检验量：

iivtiiq

vt ～]1[1unt （8）

其中 )(1122itiTtrVPPVVun（ 9）

Baarda粗差探测法每次只能检验出一个粗差，当存在几个粗差时，只有逐个进行检验，即首先剔除超出临界值最大的那个观测值，然后进行下一次平差求出残差，仿照前述方法再一次进行粗差探测，依此继续下去。

三、数据探测法的缺点 数据探测法在具体应用中存在以下几点不足： （1） 某些情况下单位权无法预知。 （2） 剔除含粗差观测值，减少了多余观测分量，可能造成监测网形亏，水准网出现单线甚至不能平差的情况，某些点的高程无法计算，形亏问题可以解决，但大大增加了平差的工作量。

（3）由于粗差对每个观测值都有影响，统计检验中，弃真、纳伪的情况也是存在的，这样， 尤其在存在多个粗差时，第一次去掉的残差最大的观测值很有可能并不包含粗差，从而造成错误的判断。

3、粗差归入随机模型时的粗差定位方法 这种定位方法是根据逐次迭代平差的结果来不断的改变观测值得权，使含有粗差的观测值的权趋向于零，从而达到剔除粗差的目的。目前常用稳健估计的方法进行粗差剔除。

一、稳健估计原理 所谓稳健估计，是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法， 是所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。

稳健估计一般分为三类：M估计、L估计和R估计。M估计是一种广义的极大似然估计，它是经典的极大似然估计的推广，易于实施。所以M估计在参数估计中应用的较广泛。本节将重点介绍M估计的概念及应用。L估计是排序统计量线性组合估计，它需将观测子样按其大小排列。R估计是秩检验型估计，我们只对L估计、R估计的基本概念作一简单介绍。 ① 广义极大似然估计（M估计） 最小二乘估计要求 minPVVT （10） 个别异常大残差的出现将会导致平方和迅速增大，为了达到平方和极小的目的，估值必然要迁就那些异常值。所以，个别异常值会对整个估值产生大的影响，这就启示人们，如果用增长较慢的极小化残差函数代替平方和函数，是否可以得到比最小二乘估计较好的抗粗差性的估计呢？M估计正是基于这样的想法。 设有参数向量X，是未知的非随机量，为了估计X，进行n次观测，得到观测向量L的观测值l，由极大似然估计有

max)ˆ,(ln1niixlf （11）

或 min)ˆ,(ln1niixlf （12）

其中f是随机量L的密度函数。可以用)ˆ,(xli代替函数)ˆ,(lnxlfi，使其定义广泛化，于是可得

min)ˆ,(1niixl （13）

或 0)ˆ,(1niixl （14）

式中

xxlxl),()ˆ,(

 （15）

由（13）和（14）出发，对参数x进行估计，就是广义极大似然估计，简称M估计。 在测量平差中，观测量的平差为V，M估计的函数可取为)(iv，M估计准则为：

min)(1niiv （16） 或 0)(1niiv （17）

M估计中的或是任意适当选取的函数，M估计的稳健性与（或）的选择有关，例如，当

2)(iiivpv （18） 时，就是最小二乘估计，但不具有抗粗差性。选取不同的（或），会得出不同的M估计，稳健性也不相同。 由于选择的不同，M估计将有不同的形式。所以，M估计不是指某个特定的估计，而是某一类具有稳健性的估计。

在假定模型基本正确的前提下，稳健估计具备抗大量随机误差和少量粗差的能力，使所估参数达到最优或接近最优。抵抗少量粗差对参数估值的影响是稳健估计理论的研究重点，而抗粗差干扰强弱的标志是能容然多少个观测粗差。因此稳健估计不象最小二乘估计那样，追求参数估计在绝对意义上的最优，而是在抗粗差前提下的最优或接近最优。

二、选权迭代法 选权迭代法的基本思想是：从最小二乘进行平差，得到第一组残差，在每次平差后，根据其残差和有关的其他参数，按照所选取得权函数，计算出下次迭代中观测值相应的权。而含粗差观测值的权将越来越小，直至趋近于零。迭代中止时，相应的残差将直接指出粗差的值，而平差的结果也将不受粗差的影响， 从而实现粗差的定位剔除。

随着权函数的选取不同通常权是一个在平差过程中随改正数变化的量，经过多次迭代，从而使含有粗差的奇异观测的权为零（或接近于零）。而相应的残差值在很大程度上反映了其粗差值。这样一种通过在平差过程中的变权实现参数估计的稳健性的方法，称之为选权迭代法。]2[

其中权函数的选取应该满足下列条件： （1） 通过迭代，含粗差观测值的权应逐步趋近于零； （2） 不含粗差观测值的权，在迭代中止时应等于该组观测值的权。 （3） 权函数的选择应保证迭代过程能以较快的速度收敛。

设M估计的函数F可取为)(ivF，M估计的准则为:

min)(1niivF （19） 通常残差V为未知参数的函数，将上式对未知参数x求一阶导数，并令其等于零，求出极值点

0)()('1xVvFxvFiinii (20) 平差中的误差方程

iiilxbv （21）

ib为b的第i行向量，则根据（20）式有 0)('1iiiniTivvvFb （22） 令iivvF)('为权函数)(iivp，则上式成为： 0)(1iiiniTivvpb （23） 将（21）代入上式得 0))((1iiiiniTilxbvpb （24） 若以矩阵形式表示上式则为：