只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b 是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数是1。
编辑本段
性质
一.等式的性质一:等式两边同时加一个数或减一同一个数，等式两边相等。
二.等式的性质二:等式两边同时乘一个数或除以同一个数（0除外），等式两边相等。
三.等式的性质三：两边都可以有未知数。
编辑本段
一元一次方程的解
ax=b 超准确答案！
1，当a≠0，b=0时，方程有唯一解，x=0；
2，当a≠0，b≠0时，方程有唯一解，x=b/a。
3，当a=0， b=0时，方程有无数解
4，当a=0，b≠0时，方程无解
例：
（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5
去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
↓
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
去括号
↓
15x+5-20=3x-2-4x-6
移项
↓
15x-3x+4x=-2-6-5+20
合并同类项！！！！！！！
↓
16x=7
系数化为1
↓
x=7/16
编辑本段
一元一次方程与实际问题
一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如：
工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题。
从算式到方程
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程（equation)。
1.4x=24
2.1700+150x=2450
3.0.52x-(1-0.52)x=80
上面各方程都只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
编辑本段
一元一次方程的学习实践
在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题
一元一次方程含
工程问题
油菜种植问题
相遇问题（路程问题）
牛吃草问题
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍然相等。
3x-4x=-25-20
向上面那样把等式的一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
编辑本段
配套问题解一元一次方程的步骤
1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的
另一边；
4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；
5.系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.
定义
：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。
一般解法
：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。⒉去括号一般
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使
计算简便。可根据乘法分配律。⒊移项把方程中含有未知数的项移到方
程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都
是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！~ ⒋
合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。⒌系数化一方程两边同时
除以未知数的系数。⒍得出方程的解。
同解方程
：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同
解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方
程是同解方程。⒉方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与
原方程是同解方程。做一元一次方程应用题的重要方法：⒈认真审题⒉
分析已知和未知的量⒊找一个等量关系⒋设未知数⒌列方程⒍解方程
⒎检（jian三声）验⒏写出答
教学目标
1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题； 2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力； 3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
教学重点和难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数． (首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3．答：某数为3． (其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成) 解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．解之，得x=3．答：某数为3．纵观例1
的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析： 1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？ 2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量) 3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x 千克，由题意，得 x-15％x=42 500，所以 x=50 000．答：原来有 50 000千克面粉．此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？ (还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 教师应指出：(1)这两种相等关系
的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程； (2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下： (1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数； (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)； (3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等； (4)求出所列方程的解； (5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
《二元一次方程组》 一、知识点总结 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方 程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=??+=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数 组解，例如：1222x y x y +=??+=?】 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 6、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 二、典型例题分析 例1二元一次方程组437(1)3 x y kx k y +=?? +-=?的解x ，y 的值相等，求k ． 例2、若23x y =??=? 是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值. 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解 例4、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 例6、若方程 213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例7：（1）用代入消元法解方程组： ???-=-=+42357y x y x 563640x y x y +=??--=? （2）、用加减法解二元一次方程组： ???=+=-8 3120 34y x y x ???=+=-9 32723y x y x 三、跟踪训练
方程史话 大约3600年前，古代埃及人写在纸草上的数学问题中，就涉及了含有未 知数的等式。 基本概念 方程：含有未知数的等式，即：⒈方程中一定有一个或一个以上含有未 知数2.方程式是等式，但等式不一定是方程 等式的基本性质1 等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。 用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则： (1)a+c=b+c(2)a-c=b-c 等式的基本性质2 等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。 (4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。 用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则： a×c=b×c a÷c=b÷c 思考：mx=my 所以x=y 3x=5x 所以3=5 一元一次方程 合并同类项 移项 ⒈依据：等式的性质一 ⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 ⒊把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-}。性质
一元一次方程概念及解 一．选择题（共27小题） 1．下列四个式子中，是方程的是（） A．1+2+3+4=10 B．2x﹣3 C．x=1 D．2x﹣3＞0 2．下列四个式子中，是方程的是（） A．π+1=1+πB．|1﹣2|=1 C．2x﹣3 D．x=0 3．下列说法中，正确的是（） A．代数式是方程B．方程是代数式C．等式是方程D．方程是等式 4．已知2+1=1+2，4﹣x=1，y2﹣1=3y+1，x+1，方程有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．（1999?烟台）下列方程，以﹣2为解的方程是（） A．3x﹣2=2x B．4x﹣1=2x+3 C．5x﹣3=6x﹣2 D．3x+1=2x﹣1 6．方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（） A．﹣8 B．0C．2D．8 7．已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是（） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 8．下列方程中，解是x=2的是（） A．2x=4 B． x=4 C．4x=2 D． x=2 9．（2003?无锡）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D． 10．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（） A． =B． = C． = D． = 11．下列运用等式的性质，变形正确的是（） A．若x=y，则x﹣5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C． 若，则2a=3b D． 若x=y，则
*5.8 三元一次方程组 学习目标 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 知识详解 1．三元一次方程及三元一次方程组 （1）三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程． （2）三元一次方程组： ①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． a．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程； b．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数． 2．三元一次方程组的解 （1）三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解． 和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解． （2）三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数． （3）检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解． 检验三元一次方程组的解：三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解． 3.三元一次方程组的解法 （1）解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．（2）步骤： ①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； ②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值； ⑤写出三元一次方程组的解． （3）注意点： ①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做 二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元 一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=???■的解为2x y ==???■ ，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =??-=? B ．52313x y y x -=???-=?? C ．20132x z x y -=???-=?? D ．5723 x x y =???-=?? 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组? ??+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组?? ?+-=+=11x y x y 可得???==10y x ，所以以方程组???+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
教师姓名 学生姓名 年 级 预初 上课时间 学 科 数学 课题名称 一元一次方程的概念及解法 周次 5 教学目标 1.理解和掌握方程的概念、方程中的项、系数、次数的概念； 2.掌握方程的解的概念和应用。 教学重难点 1.能够正确理解题意，找出等量关系式，列方程； 2.能够解决关于方程的解的解答题。 知识点回顾 1、方程的概念 用字母x 、y 、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程。在方程中，所含的未知数又称为元。 例题：下列各式是方程的是（ ） A.3x-2 B.7y-5=2 C.a+b D.5-3=2 练习：有以下式子：(1) x ；(2)错误!未找到引用源。+2 ； (3) x 1 ； (4)错误!未找到引用源。=9； (5)错误!未找到引用源。y ； (6)x+3>5 ；错误!未找到引用源。 (7)2(z+1)=2； (8)错误!未找到引用源。+2y=0， 其中方程的个数是( )． 2、方程中的项、系数、次数等概念 （1）项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分（包括这部分前面的“十”、“-”号在内）称为一项． （2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数． （3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数． （4）常数项：不含未知数的项，称为常数项. 例题：方程-3xy+8x-8=0中有_____项；它们分别是_____________________；-3xy 项的系数是______,次数是____________,常数项是___________。 练习：（1）方程 05 6 x 22=+-x 中有_____项；它们分别是_____________________；2x 项的系数是______。 （2）方程1047 2-3 =+x x 中常数项是__________；三次项是___________。 3、列方程 为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。 例题：一个长方形篮球场的周长为86米，长是宽的2倍少2米，这个篮球场的长与宽分别是多少米？ 用两种方法列式： 方程：设这个篮球场的宽为x 米，则长为（2x -2）米 2（2x -2+x ）=86 想一想：你能再列一种方程吗？你还能用列式计算吗？
一元一次方程的概念与解法 【知识要点】 1．一元一次方程的有关概念 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式是： 2．等式的基本性质 （1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：
【典型例题】 例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？ x+2y=9 x 2 －3x=1 11=x x x 312 1 =- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2 +x=1 例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的. (1)如果________;-8x 3,853==+那么x (2)如果-1_x _________3,123=--=那么x x ； (3)如果;__________x ,52 1 ==那么x (4)如果________.3x ,3 2==那么y x 例3．解下列简易方程 1．5223-=+x x 2．4.7-3x=11 3．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x
1． 32243332=+--x x 2．142 3(1)(64)5(3)25 x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．223 14615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．8316 1.20.20.55 x x x +-+-=-
二元一次方程组知识点总结及单元复习练习 —?二元一次方程一般形式是ax-\-by — c(a 丰0,〃丰0) 二?二元一次方程组 1 .方程组中含有两个未知数，并且每个方程未知项的次数都是1 ,共有两个二元一次方程 2.使方程组的两个方程左右两边得值都相等的未知数得值，叫二元一次方程组的解。 3 .求得方程组的解的过程，叫解方程组。图象法：两直线交点的坐标代入消元法加减消 元法 重点、难点例析 例一.已知伙+ 2)肆日一2〉，二1是一个二元一次方程，求k 的值。 例二.已知下面三对数值： b = _2. b = _3. jy = _5. (1 )哪几对是方程2x — y = 7的解； (2 )哪几对是方程x + 2y = —4的解； x = 2 [ ax + y = 3 是方程组 - 的解，则a= _______________________________________ , b= _________ y = 3 [bx -ay = \ 一. 选择题 2.下列各方程哪个是二元一次方程 （） 1 C … A . xy=l B — = y — 3 C x 2+y 2=0 D 5x=3y-l x 3?方程3x - 2y= - 2的一个解是( ) x=4 D. < .y=2 ( x=l .y=3
x = a 4.已知二元一次方程3x + y = 0的一个解是+ ,其中a^O ,那么( y = h A . - >0 B . - =0 C . - <0 D .以上都不对 a a a 5.方程2兀+y = 8的正整数解的个数是( ) A . 4 Bo 3 Co 2 Do 1 6.在方程2(x+y) - 3(y - x)=3中，用含x的一次式表示y ,则( ) A . y=5x - 3 Bo y= - x - 3 C o y= ~2 D y= - 5x - 3 2x—3y=5 7?方程组的解是( ) 2x_3y=_l x=\1x=l x=~\ A? B . ? C . “ D . < y=l、尸T y=T、y=i 8,下列说法正确的是( ) (1 )含有两个未知数的方程叫做二元一次方程。 (2)含有两个未知数，并且未知数的次数师的方程叫二元一次方程。 (3)含有两个未知数，并且未知项的次数使1的方程叫二元一次方程。 A .( 1 ) B .(2) C .( 3 ) D.( 1 ),(2),(3) 9?在方程3x?ay二8中，如果是它的一个解，那么d的值为 10.若+2 +4y3“"+6 = 11 是二元一次方程，则, b= ___________ x = 2 11. \_________ (是或不是)方程3兀-2y = 8的一个解. 卜=-1 12.如果尸2円’那么2x + 4y-2+ 6x-9Z^ 。 [2x-3y = 2. 2 3 ----------
三元一次方程组练习题 知识点1 三元一次方程组的概念 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. 123a b b c =??=??-=? B. 213x y y z z c +=??+=??+=? C. 437521424x y x y x y -=??-=??-=? D. 357xy z x yz xy y +=??+=??+=? 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组3423126x y z x y z x y z -+=??+-=??++=? ①②③时，第一次消去未知数的最佳方法是 A.加减法消去x ，①-③×3与②-③ B.加减法消去y ，①+③与①×3+② C.加减法消去z ，①+②与③+② D.代入法消去,,x y z 中的任何一个 3.已知212223x y y z x z +=??+=??+=? ，则x y z ++的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.方程组42132x z x y y z -=??-=??+=? 经消元后得到的一个关于,x y 的二元一次方程组为 . 5.三元一次方程组1223x y y z x z -=??+=??-=? ①②③的解是 . 6.已知430x y z +-=，且4520x y z -+=，217x z =，则::x y z 为( ) A. 1:2: 3 B.1:3:2 C. 2: 1:3 D.3:1:2 7.在代数式2 ax bx c ++中，当1,1,2x =-时，代数式的值依次是0,8,9--，当10x =时，这个代数式的值是 . 8.纸箱里有红黄绿三种颜色的球，红球与黄球的个数比为1:2，黄球与绿球的个数比为3:4,纸箱内共有68个球，则黄球有个 . 9.解下列方程组:
编辑本段 方程简介 只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=O(k，b为常数，且k M 0)。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0 (其中x是未知数，a、b 是已知数，并且a M 0)叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数是1。 编辑本段 性质 一.等式的性质一：等式两边同时加一个数或减一同一个数，等式两边相等。 二.等式的性质二：等式两边同时乘一个数或除以同一个数( 0除外)， 等式两边相等。 三.等式的性质三：两边都可以有未知数编辑本段 ax=b超准确答案！ 1，当a M 0，b=0时，方程有唯一解，x=0； 2，当a M0，b M0时，方程有唯一解，x=b/a 3，当a=0，b=0时，方程有无数解 4，当a=0，b M0时，方程无解 例： (3x+1) 12-2= ( 3x-2 ) /10- (2x+3) /5 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 5(3x+1)- 10X 2=(3x -2)-2(2x+3) 去括号 15x+5-20=3x-2-4x-6
移项 15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项！！！！！！！ 16x=7 系数化为1 x=7/16 编辑本段 一元一次方程与实际问题 一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如：工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题。 从算式到方程 列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式--------------- 方程( equatio n)。 1.4x=24 2.1700+150x=2450 3.0.52x-(1-0.52)x=80 上面各方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1,这样的 方程叫做一元一次方程( lin ear equati on with one unknown )。 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 编辑本段 一元一次方程的学习实践 在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题 一元一次方程含 工程问题 油菜种植问题 相遇问题(路程问题) 牛吃草问题
第五章 二元一次方程组 知识点整理 知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程） 2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by |a|－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． 例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22 =-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71 =+y x ⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2 =0 B ．2x +1y =1 C ．3x -5 2 y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A 、2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）32x y y =??=-?，（2）324x y y z +=??-=?，（3）1310x y x y ?+=?? ??-=?? ，（4）30x y x y +=??-=?， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ） A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 1、 若75331 3=+--m n m y x 是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。 知识点2：二元一次方程组的解定义
........................优质文档.......................... 代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 （1）一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （其中x 是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0） （2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=?当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根 （5）一元二次方程根与系数的关系： 若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =?21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0 )(21212=++-x x x x x x 三、分式方程 （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 （3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就
《第4章 一元一次方程》4.1—4.2期末复习学案（1） 一、基础训练 1、 y 比它的4 3小7，列出方程为______________________；若代数式6x 2-的值与0.5互为倒数，则列出方程为________ ． 2、判断下列哪些是一元一次方程。 （1） 4365=x （ ） （2）7x －5 （ ） （3）x x 367 1=-（ ） （4）3x 2－7x+1=0（ ）（5）2x －y=1（ ） （6）312=-x （ ） 3、 已知4x ax 2=-是关于x 的一元一次方程，则a=________． 其中2、3两题用到的知识点是：一元一次方程的定义：含有 未知数，未知数的次数是 的方程叫一元一次方程。（其中表示未知数的式子还必须是整式。） 4、 写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是1；②方程的解是3；这样的方程是 。 5、 若x=3是方程x 68a 4x 2+=-的解，则=a ________ 。 知识点：什么叫方程的解？ 。 6. 若－9+x ＝63则x ＝______；若－2（x+1）＝13，则x ＝______ ； 2 1323 x 的解为 ；若30％x ＝5则x ＝__ ；。 解方程的基本步骤是 、 、 、 、 ： 去分母时应该注意 ；去括号时应注意 ；移项时应该注意 ；将系数化为1时应注意 。 7. 若1x 2y 1 x y 21+=-=，，且0y 3y 21=-，则x=________，=+21y y ________． 8．若41m 2y x 3-与3n 23y x 2--是同类项，且0)n b 5.0(|m 2a |2=-+-，则b a n m +++的值为________。 二、例题推荐
6.2.6同解方程 完成时间：20min 一．选择题（共9小题） 1．已知关于x的方程7x+3k=12与7x+3=0的解相同，则k的值为（） A．﹣3 B．3C．﹣5 D．5 2．关于x的方程x+a=2x﹣3与2x﹣b=x有相同的解，则a、b的关系为（） A．a﹣b=3 B．b﹣a=3 C．b+a=3 D．b+a+3=0 3．已知方程4x=8与x﹣k=1的解相同，则4k2﹣1的值为（） A．1B．3C．8D．17 4．吴云科和孟家福是七年级四班的两名爱好数学的优等生，在学完第三章《一元一次方程》后，吴云科对孟家福说：“方程与方程的解相同，你能求出k的值吗？”孟家福用笔算了 一下给出正确答案，聪明的你知道是哪个吗？（） A．0B．2C．1D．﹣1 5．如果方程x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（） A．2B．﹣2 C．3D．﹣3 6．下列方程中与方程3x=x+1的解相同的是（） A．2x=4 B．2x=4x﹣1 C．5x+3=6 D．6x﹣15x=3 7．如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（） A．B．C． ﹣D． ﹣ 8．在方程：①3x﹣=1；②；③6x﹣5=2x﹣3；④x+=2x中，与方程2x=1的解相同的方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 9．有4个关于x方程： （1）x﹣2=﹣1 （2）（x﹣2）+（x﹣1）=﹣1+（x﹣1） （3）x=0 （4） 其中同解的两个方程是（） A．（1）与（2）B．（1）与（3）C．（1）与（4）D．（2）与（4） 二．填空题（共15小题） 10．方程x+2=3的解也是方程ax﹣5=8的解时，则a=_________． 11．已知关于x的方程+3=x与方程3﹣2x=1的解相同，则m2=_________． 12．若方程2x﹣3=11与关于x的方程4x+5=3k有相同的解，则k的值是_________．
三元一次方程提高 一．填空题（共1小题） 1．已知，，．则a=_________，b=_________c=_________． 二．解答题（共8小题） 2．解方程组： 3．解方程组：． 4．已知：4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），求的值． 5．解方程组． 6．（2012?包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
7．（2011?贵阳）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟． （1）小李生产1件A产品需要_________分钟，生产1件B产品需要_________分钟． （2）求小李每月的工资收入范围． 8．（2010?宜宾）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 9．（2010?娄底）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟内可以通过840名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教室里最大有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
一元一次方程的定义及 解法 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一元一次方程的定义及解法 方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。 方程简介 一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。即一元一次方程必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数不为0。 “方程”一词来源于我国古算术书《九章算术》。在这本着作中，已经会列一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。 详细内容 合并同类项 1.依据：乘法分配律 2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项 3.合并时次数不变，只是系数相加减。 移项 1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 2.依据：等式的性质 3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。性质 性质 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立 解法步骤
组解的情况：①无解，例如：? x + y = 1 ， ? ；②有且只有一组解，例如：? x + y =1 ；③有无数组解，例如： ?2x +2y =6 ?x + y = 6 ?2x + y = 2 ? x + y =1 .】 ?2x +2y =2 ?3n -2=1 ? n = 1 例 4、若 ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解，求 m 、n 的值. ?nx - my = -5 解：∵ ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解 ∴ ?? 解得 ? m = 1 ?2n -3m =-5 ? y = 3 ?nx - my = -5 ?n = -1 ? ? ? ? ?n = -1 人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组 一、二元一次方程及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和 y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元 一次方程，它的一般形式是 ax + by = c(a ≠ 0, b ≠ 0) . （2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解. 【二元一次方程有无数组解】 二、二元一次方程组及其解 （1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和 y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次 方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. （2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程 ? x +y =1 ? ? ? 例 1、若方程 x 2m -1 + 5 y 3n -2 = 7 是关于 x 、y 的二元一次方程，求 m 、 n 的值. 解：∵方程 x 2m -1 + 5 y 3n -2 = 7 是关于 x 、y 的二元一次方程 ∴ ?2m -1=1解得 ?m = 1 ? ? 例 2、将方程10 - 2(3 - y) = 3(2 - x) 变形，用含有 x 的代数式表示 y . 解:去括号得，10 - 6 + 2 y = 6 - 3x 移项得， 2 y = 6 - 10 + 6 - 3x 合并同类项得， 2 y = 2 - 3x 系数化为 1 得， y = 2 - 3x 2 例 3、方程 x + 3 y = 10 在正整数范围内有哪几组解？ 解：有三组解，分别是 ? x = 1 , ? x = 4 , ? x = 7 ? y = 3 ? y = 2 ? y = 1 ? ? ? y = 3 4-3m =1 ? ? ? 例 5、已知 (m + 1)x n + (n - 1) y m = 1 是关于 x 、y 的二元一次方程，求 n m 的值. ?m + 1 ≠ 0 解：∵ (m + 1)x n + (n - 1) y m = 1 是关于 x 、y 的二元一次方程∴ ? m = 1 解得 ? m = 1 ? ? n -1 ≠ 0 ?? n = 1 ∴ n m = (-1)1 = -1
一元一次方程的概念及解法 等式的性质 例题： 1. 已知2x-3y=1，用含x的代数式表示y正确的是（C ） 2. 下列等式变形正确的是（A） A、如果x=y，那么x-2=y-2 C、女口果mx=my，那么x=y 3. 运用等式性质进行的变形，正确的 是 1 B、如果丄x 8，那么x=-4 2 D如果|x|=|y| ，那么x=y —④⑥⑧⑨ _____ （填序号 ①如果a=b,那么a+c=b-c；②如果a2=3a,那么a=3；③如果a=b,那么ac bc ； ④如果ac bc，那么a=b；⑤如果a+c=b-d，那么a-b=c+d；⑥如果a=b,那 么ac=bc； ⑦如果ac=bc，那么a=b；⑧如果a=b，那么一 c 1 那么a=b 习题: 2；⑨如 果 a c2 1
1?若a 二b,则下列变形中不一定成立的是（C ） A 、a-1=b-1 3. 利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子 （1）如果 2x-3=-5，贝U 2x= ________ , x= __________ (2)如果 5x+2=2x-4，贝U 3x= __________ , x= __________ (3)如果丄x 2x -3，则-5x = ，x= 3 3 答案:(1)-2 ; -1 (2)-6;-2 (3)-3; 一元一次方程 例题: 1?下列式子是方程的个数有（B ） 2 ① 32+13=45,②2x+3<9,③4-2x=9，④ 2-3 2，⑤3x-2 x A 、 C 、 3 b - 2 3 a - 2 □ a b C 、1 - -1 D 3 3 2. 下列等式变形正确的是（A ） A 如果x=y,那么x - 2=y - 2 C 、 如果mx=my ,那么x=y 、-5a-1=-1-5b B 如果中8 ，那么x =-4 D 如果|x|=|y|，那么x=y
《二元一次方程组》 一、知识点总结 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：1 6x y x y +=?? +=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1 222x y x y +=?? +=?】 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 二、典型例题分析 例1、若方程 2132 57m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解 例4、若23 x y =?? =?是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值. 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.
二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）~ （4） （5）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （6）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、( 7、加减消元法解二元一次方程组 （1） （2）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （3）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即 “乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、》 6、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。