线性代数教案(正式打印版)[001]

第（1）次课 授课时间（ ） 教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2学时 教材和 参考书 1.《线性代数》(第4版)同济大学编

1. 教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义, 并会计算； 掌握n阶行列式的定义； 2. 教学重点：逆序数的计算； 3.教学难点：逆序数的计算.

1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 基本内容 备注 第一节 二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 22222211212111bxaxabxaxa 用消元法,当0

21122211aaaa 时,解得

211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax

令 211222112221

1211aaaaaaaa,称为二阶行列式 ,则

如果将D中第一列的元素11a,21a 换成常数项1b,2b ,则可得到

另一个行列式,用字母1D表示,于是有

2221211ab

abD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab,这就是公

式（2）中1x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有

2121112ba

baD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba,这就是公式 （2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为







DDxDD

x

22

11 其中0D

例1. 解线性方程组 .1212232121xxxx 同样,在解三元一次方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义. 二、三阶行列式的定义

设三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa 用消元法解得

定义 设有9个数排成3行3列的数表 333231232221131211aaaaaa

aaa

记 333231232221131211

aaaaaaaaaD322113312312332211

aaaaaaaaa

332112322311312213aaaaaaaaa

,称为三阶行列式,则 三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即

例2. 计算三阶行列式 243122421D.(-14)

例3. 求解方程0

94321112xx（32xx或）

例4. 解线性方程组 .55730422zyxzyxzyx 解 先计算系数行列式 573411112D069556371210

再计算 321,,DDD

515754101121D,315534011222D,55730112123D 得 23171DDx,69312DDy,6953D

D

z

第二节 全排列及其逆序数 引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？ 一、全排列 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）. 可将n个不同元素按n~1进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列. n个不同元素的全排列共有!n种. 二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序. 通常取从小到大的排列为标准排列,即n~1的全排列中取nn)1(123为标准排列. 逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列. 例1: 讨论3,2,1的全排列. 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序数的计算：设nppp21为nn)1(123的一个全排列,则其逆序数为 

niinttttt121.

其中it为排在ip 前,且比ip大的数的个数.

例2：求排列54321的逆序数.

解：

niittttttt15432.10,4,3,2,1,0

(对于逆序数的计算介绍另一种算法)

第三节 n阶行列式的定义 下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式. 二阶行列式 2112221122211211aaaaaaaa

21212112221122211211)1(pptaaaaaaaaaa.

其中： ① 21pp是2,1 的全排列,②t是21pp的逆序数,③是对所有2,1的全排列求和. 三阶行列式

333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa

332112322311312213aaaaaaaaa

其中:①321ppp是3,2,1的全排列,②t是321ppp的逆序数,③是对

所有3,2,1的全排列求和.

.)1('32133323123222113121121nppptaaaaaaaaaaaa 其中:① nppp21是n,,2,1的全排列,②t是nppp21的逆序数, ③是对所有n,,2,1的全排列求和.

例1.计算对角行列式: )24(0004003002001000 例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是i,未写出的元素

都为0）

nn2121, nnnn2121211

证明: 按定义式 nn32121

nn2121

3

nnn





321121

1

nnn32111111



nnn21211



例3.证明下三角行列式

nnnnnnaaaaaaaaaD221121

2221

110.

证明:按定义式得

nnnnaaaaaaaD3233322211

0



nnnnaaaaaaa4343

33

2211

0

nnaaa2211

.

以上,n阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式. 回顾和小结 小结： 1. 二三阶行列式的定义； 2. 全排列及其逆序数； 3. n阶行列式的定义。

复习思考题或作业题 思考题： 1.计算三阶行列式 654987321D

2.求排列54321的逆序数. 作业题： 习题一：第1（1,3）、2（2,4,6）

实施情况及分析 1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式； 2.对其逆序数等方面的应用有待加强.