数列求和的若干方法
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解此 题 的 关键 是 明 确 三 角 函数 变形 公 式 ｓ ｉ ｎ ２ ０ ￣ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ （ ９ ０ 。 一 ０ １ ） ＝ １ ，然后 利 用倒 序 相加 ， 问题 迎 刃 而 解 。 四、 分 组 法 求和 有一类数列 ， 既不是等差数列 ， 也 不是等比数列 ， 若将这类
＿ 、 丽 一 １ 六、 合 并 法求 和 针 对 一 些特 殊 的 数 列 ， 将 某 些项 合 并在 一起 就 具 有 某 种 特 殊 的性 质 ， 因此 ， 在 求数 列的和时 ， 可将这 些项放在一起 先求 和， 然后 再求 ｓ 。 例 ６求 ｃ ｏ ｓ １ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ２ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ３ 。 ＋ … ＋ｃ ｏ ｓ １ ７ ８ 。 ＋ｃ ｏ ｓ １ ７ ９ 。 的值 解此 题 的 关 键 是 找 到特 殊 性 质 项 ｃ ｏ ｓ ｎ ￣ ＝ 一 ｃ ｏ ｓ （ １ ８ ０ ￣ 一 ｎ ｏ ） 。 从 而合并求和 简化运算。 七、 利 用 数列 的 通 项 求和 先根 据 数 列 的 结构 及 特征 进 行 分 析 ， 找 出数 列 的通 项 及 其 特征 ，然后再利 用数列 的通 项揭 示的规律 来求数 列的前 ｎ项 和． 是 一 个 重要 的 方 法 。 例 ７求 １ ＋ １ １ ＋ １ １ １ ＋ …＋ １ ： ： ： １ 之和 。
解得 ｓ ４ 一
三、 倒 序 相加 法 求和 这 是 推 导 等 差 数 列 的前 ｎ项 和公 式 时所 用 的 方 法 ． 就是 将 个数列倒过 来排 列（ 反序 ） ， 再把 它与原数 列相加 ， 就 可以得
解： 设ａ ｎ － ＇ ＂ —＝。ｌ ＿＝
Ｘ／ｎ ＋ 、 ／
【 中图分类号】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６
【 文献标识码】 Ａ
【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２ — ０ １ ５ ４ — ０ １
当ａ ＝ １ 时， ｓ Ｉ ｌ ＝ ｎ ＋ ＝ （ 分 组 求和 ）
数列的求和 问题是高 中数 学的一个重要 内容 ， 它常 以压轴 的身份 出现在 高考的数列题 目 之 中， 由于此类题的题型较 多， 方 法较活 ． 导致高考 的得分率偏低 。下面集 中整理 了数列求和的 常用方法， 希望能对需要的考生有所帮助。
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Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月 中 旬 刊
数 列 求和 的若 干方 法
李 艳
（ 威 海 市交通 学校 山东 威海 ２ ６ ４ ２ ０ ０ ）
【 摘要】 数列求和是高考 中的一类热点考题。 本文通过找数列的通项公式 ， 观察通项公式的特征 ， 对题型进行归类整理， 介绍 了 近十种数列求和的常用方法， 对此类 问题 的求解起到很大的帮助。 【 关键词】 数列 前 ｎ 项和 通项公 式
… …
ｓ ｉ ｎｌ ￣
。
（ ３ ） ａ
一
（ ４ ） ａ ｎ ＝
（ ２ ｎ ） ２
，
丽 １ ＋ （
一
）
（ ｓ ）
１
［ 南 一 南
ｎ ・
（ ｎ ＋ １ ） ２
，
而 ｎ ＋ ２ ・ １ ＝ ｎ ｎ （ ｎ ＋ ｌ ） ２ “ （ ｎ ＋ ｌ ） 。 ２ “
咖
Ｓ － ＝ ￣ｋ １ ｎ １ ） ］
例 １求数列｛ ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ ｎ ＋ １ ） ） 的前 ｎ项 和 。 解此 题 的 关键 在 于分 析 出这 是 由三 个 常 用 数 列 经 过 简 单 的基本运 算得到的一个新数列的求和问题。 二、 错 位 相 减 法 求和 这种 方 法 是 在 推 导 等 比数 列 的 前 ｎ项 和 公 式 时所 用 的 方 法， 主要用于求数列｛ ａ － ｂ ｝ 的前 ｎ项和 ， 其 中｛ ａ ｎ ｝ 、 ｛ ｂ ） 分别是等 差数列和等比数列。 例 ２求数 列 ２ ４ ６ 前 ｎ项 的和 。
（ ｎ ＋１ ） ２ “
一 １ ２ ， ， － １
则 Ｓ ｎ ＝ １ 一
，
，
，
，
，
解： 由题可知， ｛ ２ ｎ｝ 的通项是 等差数列｛ ２ ｎ ｝ 的通项与等 比
数列 ｛ ） 的 通 项之 积
拙
的前 ｎ项和 。
列
１ ＋、 ／２
‘
…
，
，
Ｖ ２ ＋Ｖ ３
＝ １ Ｕ
五、 裂项 法 求和 这是分解与组合思想在数列求和 中的具体应用。裂项法的 实质是 将数列 中的每项（ 通项 ） 分解 ， 然后 重新 组合 ， 使之 能消 去 一 些项 ， 最 终达 到 求和 的 目的 。 通项分解（ 裂项） 如： （ １ ） ａ ｎ ＝ ＝ 炳＋ １ ） 一 ｆ （ ｎ ） （ ２ ）
一
、
公 式 法求 和
～
邮
直接套 用公 式对数 列进行 求和是 最基 本的方法 ．对于等 差、 等比数 列 ， 无穷递缩等比数 列的求和公 式应用属于基础练
习。 在 此 不再 赘 述 。
芸＋ ： 鲁＋
。
另 有两 种 常 用 的 数列 求 和 公 式： Ｓ ｎ ＝ ∑ｋ ２ ＝ ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ ｎ ＋ １ ） ；
则Ｓ １ ＋ 、 ／
、 ／ ＋ 、 ／ ＋ …＋ — — — — — 七 — — — 一
＝ （ 、 ／ 一 、 ／ 丁） ＋ （ 、 ／ 丁 一 、 ／ ） ＋ …＋ （ 、 ／ 干 一 、 ／ ）
一
到 ｎ个 （ ａ １ ＋ 。 例 ３ 求ｓ ｉ ｎ ｌ ￣ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ２ ￣ ＋ ｓ ｉ ｎ ２ ３ 。 ＋ …＋ ｓ ｉ ｎ ２ ８ ８ 。 ＋ ｓ ｉ ｎ ￣ ８ ９ 。 的值
、 ／ ＋、 ／ ｎ ＋
ｎ
１ ， …
设 ｓ ＋ ４ ＋ ＋ ． 一 ． ＋ 等… … … … … … … … … ・ ① ｝ ｓ 多 ＋ ４ ＋ ＋ ． ． ． ＋ … … … … … … … … … ② 相 减 得 （ １ 一 － ） ｓ 手 ＋ 砉 ＋ ２ ＋ ＋ ． ＿ 斗 ２ 一 ２ ｎ ＝ ２ 一 一
