卢氏一高 数列求和的常用方法

一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和 公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数 列1{}na 的前n 项和n S 。

解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。

练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅） 三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公 式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-． 即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72） 四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。

数列求和常见解题思路及常见公式1.等差求和：2.等比求和：3.拆项求和：思路：将第n 项 拆分再进行求解4.并项求和：思路：观察相邻项是否能通过简单计算后有联系（较少见）5.裂项求和：思路：分母中出现形如上式的基本上都可用裂项法6.错位求和：思路：等式左右两端同时乘以公比q 再错位相减7.倒序求和：思路：首项和尾项能够通过相加变得简单常见求和公式：（最好是能够记住推导方法）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则和d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n a n ()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ 1123....(1)2n n n ++++=+()()2221121216n n n n +++=++ 111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n ()11a b a b a b =--+的证明（非数学归纳法）： n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n2^3-1^3=2*2^2+1^2-23^3-2^3=2*3^2+2^2-34^3-3^3=2*4^2+3^2-4...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2三次方的证明道理同上（自己下去证明，提示：用4次方相减）：上面例题的答案：3. 4.5. 6.7.()()2221121216n n n n +++=++ nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则数列求和练习：1.数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 20022.求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值3.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和4.求数例1，3a ，5a 2，7a 3，…(2n －1)a n-1，…的前n 项和5.数列{a n }中，11++=n n a n , S n = 9，则n =6. ，求7.已知lgx+lgy=a ，且Sn=lgx n +lg(x n-1y)+lg(x n-2y 2)+…+lgy n , 求 Sn.s n一．5二．44.5三．四．主要考虑分类讨论，等差乘等比的方法求解五．99六．七．。

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.1.等差数列求和公式：等差数列求和公式：等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+×，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算；式在很多时候可以简化运算； 2.2.等比数列求和公式：等比数列求和公式：等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =；（2）1q ¹，()111nn a q S q -=-，特别要注意对公比的讨论；，特别要注意对公比的讨论；3.3.可转化为等差、等比数列的数列；可转化为等差、等比数列的数列；可转化为等差、等比数列的数列；4.4.常用公式常用公式常用公式: :（1）1nk k ==å12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==å222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31nk k ==å33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=å2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1log 23-=x ，求23nx x x x ++++ 的前n 项和项和. . 解：由212log log 3log 1log 3323=Þ-=Þ-=x x x由等比数列求和公式得由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 例2 设123n S n =++++ ，*n N Î,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值的最大值. .解：易知解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴∴ 1)32()(++=n nS n Sn f ＝64342++n n n ＝＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501£∴∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

数列求和的常见方法
一、求数列前n 项和
常见方法:
1．直接法：①直接应用等差数列、等比数列前n 项和公式，②直接利用和的结论（正整数的平方和、立方和等等）
2． 分组转化：把数列的每一项分成多项或把数列的项重新组合，使其转化成能直接求和的数列.
3．倒序相加（乘）法：（适用于与等差数列和组合数有关的问题）
4．错项相减法：适用于n a {n b }的求和问题，其中n a {}是等差数列，{n b }是等比数列
5．裂项相消法：适用于数列n a {}可分解为1--=n n n b b a ，
二、直接应用
例１ 求数列}{n n y x +前n 项和（0≠xy ）
即时反馈1．已知数列}{n a 的前四项分别为：32
19,1617
,815,413，试写出数列}{n a 的一个通项公式________
例2 求数列{211n n +）（－}前n 项和
例3 求数列}2)12{(n n -的前n 项和n S
即时反馈3．求数列}2
{n n 的前n 项和
例4 求数列}11{
+n n ＋的前n 项和n S
即时反馈4．已知数列{}n a 中，3
11=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求数列{}n a 的前n 项和n S .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例5 求和n S )1(1321211++⋅⋅⋅+⨯+⨯=
n n。

数列求和问题分类解析河南省三门峡市卢氏一高（472200） 赵建文 E-mail:zhaojw1968@数列求和是高考考查的重点内容之一，下面把数列前n 项和的求法作以简单介绍，供大家参考.一.公式法若给出的数列能判断是等比数列或等差数列，则直接用等比数列或等差数列的前n 项和公式求前n 项和;若数列的前n 项和正好是某公式一端的形式，则直接用公式求和.应用公式时注意公式成立的条件，等差数列、等比数列的前n 项和公式是高考考查的重点.常见数列的前n 项和公式：①首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和公式：n S =12()2n a a +=21()22d dn a n +-=1(1)2d a n n n +-②首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前项和公式：n S =1111(1)111n n na q a a qa q q q q =⎧⎪⎨--=≠⎪--⎩③22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ ④333321123[(1)]2n n n ++++=+⑤+++mm m m C C 1……＋11++=m n m n C C ⑥n nn n n C C C C ++++ 210=n2 ⑦.nn n n n n n n n n b a b C b a C b a C a C )(222110+=++++--例１（06全国Ⅱ）已知等差数列{}n a 中，2a =7,4a =15,则前10项和10S =（ ） （A ）100 （B ）210 （C ）380 （D ）400 解：由等差数列通相公式得21417153a a da a d==+⎧⎨==+⎩ 解得1a =3 ，d =4由等差数列前n 项和公式得10S =3×10+41092⨯⨯=210 ，故选B 例2（06湖南文）若数列{}n a 满足：11a =,12n n a a +=，2，3….则=+++n a a a 21 .解：显然0≠n a ，由n n a a 21=+得，12n na a += ，根据等比数列的定义知数列{}n a 是首相11a =，公比q =2的等比数列，根据等比数列的前n 项和公式得=+++n a a a 21qq a n --1)1(1=21n-例3 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，求n n n n n n n C a C a C a C a S 1231201+++++= 解：n nn n n n n C a C a C a C a S 1231201+++++= nn n n n n C q a C q a qC a C a 12211101++++= )(22101nn n n n n C q C q qC C a ++++=n q a )1(1+=例4 求和n S =122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++ 解：∵2(1)2n n n C -=∴n S =222223412222n C C C C +++++ =222223412()n C C C C +++++ =322n C +=(1)(2)3n n n ++二.分组求和若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为特殊数列，再利用特殊数列的前n 和公式求前n 项和.例5 在数列{}n a 中，1n na a -=2n ，n T =22221......n a a a +++ ， n S =22221111.......na a a +++，求n n S T +解：n n S T + =22221......na a a ++++22221111.......na a a +++=2221212111()2()2()2n na a a a a a -++-+++-+ =246222222222n++++++++ =246222222222n+++++++++显然24622,2,2,,2n 是等比数列，2，2，……，2是常数列，通过分组转化为一个等比数列和一个常数列的前n 项和∴n n S T +=4(14)214n n -+-=4(41)23n n -+ 例6 求和n S =122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++解：∵n n n n +=+2)1(∴n S =2222112233n n ++++++++ =22221233123n n ++++++++++ =(1)(21)(1)62n n n n n ++++=(1)(2)3n n n ++三.待定系数法.若已知数列是特殊数列，其前n 项和公式已知，可以用待定系数法求前n 项和.若{}n a 是等差数列，则可设其前n 项和为n S =21()22d dn a n +-=1(1)2d a n n n +-=2An Bn +；若{}n a 是公比不为0的等比数列，则可设其前n 项和为n S =1(1)1n a q q--=11n a a q q --=nA Aq -.例7设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝54，20S －7S ＝429，求n S 解：由于{}n a 是等差数列，故可设n S =2An Bn +∴4S =244A B ⨯+⨯=5420S －7S =222020(77)A B A B ⨯+⨯-⨯+⨯244A B ⨯+⨯=429 ，解之得，A=1，B=6∴n S =26n n +四.拆项相消法若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和.常用拆相公式① 若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则n b =11n n a a +=1111()n n d a a +=-② n a③ n a =(1)!n n +=(1)!!n n +-， ④ n a =1(1)(2)n n n ++=111[]2(1)(1)(2)n n n n -+++ ⑤ n a =(1)n n +=1[(2)(1)(1)]3n n n n +--+⑥ n a =(1)(2)n n n ++=1[(1)(2)(3)(1)(1)(2)]4n n n n n n n n +++--++ 例8 求和n S =122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++ 解：∵(1)n n +=1((1)(2)(1)(1))3n n n n n n ++--+ ∴n S =111(1230)(234123)(345234)333⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+ 1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+=(1)(2)2n n n ++ 例9 已知数列{}n a 是首相为a 公差为(0)d d ≠的等差数列,且0n a ≠，n b =11n n a a +,n S 是数列{}n b 的前项和，求n S解：由n b =11n n a a +得，n b =1111()n n d a a +- n S =123n b b b b ++++ =21321111111111()()()n n d a a d a a d a a +-+-++- =11111()n d a a +-=2n a adn+ 五.倒序相加法如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想.例10 求和n S =1+3+5+…+2n-1解：2n S =（1+3+5+…+2n-1）+（2n-1+2n-3+2n-5+…+5+3+1）=（1+2n-1）+（3+2n-3）+（5+2n-5）+…+（2n-1+1）=2n+2n+2n+…+2n=2n 2∴n S =2n例11求和n S =nn n n n C n C C C )1(3221+++++解：∵n S =nn n n n C n C C C )1(3221+++++ ① rn nr n C C -= ∴n S =021)1()1(nn n n nn n C C n nC C n ++-+++-- =nn n n n C C n nC C n ++-+++ 21)1()1( ②∴①+②得2n S =n n n n n C n C C C )1(32210+++++ +nnn n n C C n nC C n ++-+++ 210)1()1( =))(2(210nn n n n C C C C n +++++ =(2)2n n +∴n S =1(2)2n n -+例12 已知函数()f x =221x x +,求S =1111()()()()(1)(2)(3)(4)(5)5432f f f f f f f f f ++++++++解：∵1()()f x f x+=1S =1111()()()()(1)(2)(3)(4)(5)5432f f f f f f f f f ++++++++ ①∴1111(5)(4)(3)(2)(1)()()()()2345S f f f f f f f f f =++++++++ ②①+ ②得2S =1111[()(5)][()(4)][()(3)][()(2)]2(1)5432f f f f f f f f f ++++++++1111[(2)()][(3)()][(4)()][(5)()]2345f f f f f f f f ++++++++ =1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 ∴S=29 六.错位相减法若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++ ② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n nn n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++--= 21111(1)n n n a b d q q qa b q -++++- ，转化为等比数列211,,,,n q q q - ，的前n 项和问题.此法是高考考查重点方法.例13（06安徽文）（本大题满分12分）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+ ， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，所以n a n =.（Ⅱ）由n an n b a p =，得n n b np =.所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+ ， 当1p =时，12n n T +=； 当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+ ， 23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p npnp p-++--=+++++-=--即12(1)12(1)11(1)n n n n n p T p p np p p p ++⎧⎪=⎪=⎨-≠⎪-⎪--⎩七、导数法例14、（1）；（2）.分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决.转换思维角度，由求导公式1)'(-=n nnx x ，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷.解：（1）当x =1时，n S =1+2+3+4+……+n =1(1)2n n -； 当x ≠1时，∵x +2x +3x +……+nx =11n x x x+--，两边都是关于x 的函数，求导得 即n S =1+2x +23x +……+1n nx-=121(1)(1)n n n x nx x +-++-（2）∵(1)nx +=1+1n C x +22n C x +33n C x +……+n nn C x ，两边都是关于x 的函数，求导得.令x =1得 12n n -⋅=1n C +22n C +33n C +……+nn nC ，即n S =1n C +22n C +33n C +……+nn nC =12n n -⋅.。

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

数列乞降的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学 高等数学的基. 在高考和各样数学 中都据有重要的地位.数列乞降是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有乞降公式外，大多数数列的乞降都需要必定 的技巧 . 下边，就几个 届高考数学和数学 来 数列乞降的基本方法和技巧.一、利用常用乞降公式乞降利用以下常用乞降公式乞降是数列乞降的最基本最重要的方法.1、 等差数列乞降公式： S nn(a 1 a n )na 1n(n 1) d22na 1 ( q 1)2、等比数列乞降公式：S na 1 (1 q n ) a 1a n q1)1 q1(qqn1 (1)n2 1 (1)(21)3、 S nk4、 S nk n nn n6 nk 1 2k 1nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[例 1] 已知 log 3 x1 ，求 xx 2x 3x n的前 n 和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3x log 3 21xlog 2 32由等比数列乞降公式得S nx x 2 x 3x n（利用常用公式）＝ x(1 n1(1 1 ) x)＝ 2 2n ＝ 1－ 11 x112n2[例 2]S n ＝1+2+3+⋯+n ， n ∈ N * , 求 f (n)(nS n的最大 .32)S n 1解：由等差数列乞降公式得S n 1 n(n 1) ， S n11(n1)(n2)（利用常用公式）22∴ f (n)S n＝n234n64(n 32) S n 1n＝1＝11850n 3464 ( n 250n)n8 1 ∴ 当n，即 n ＝ 8 ， f (n)max850二、 位相减法乞降种方法是在推 等比数列的前n 和公式 所用的方法，种方法主要用于求数列{a n · b n } 的前 n和，此中 { a n }、 { b n } 分 是等差数列和等比数列.[例 3] 乞降： S n1 3x5x 2 7x 3(2n 1) x n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由 可知， {(2n 1)x n 1 } 的通 是等差数列{2n － 1} 的通 与等比数列 { x n 1 } 的通 之xS n1x 3x 25x 3 7 x 4(2n1) x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯. ②（设制错位）①－②得(1 x) S n 1 2x2x 22 x3 2x 42x n 1 (2n 1) x n（错位相减 ）(1 x)S n 11 x n1n再利用等比数列的乞降公式得：2x1 x( 2n 1)x∴S n (2n 1) x n 1 (2n1) x n (1 x)(1 x)2[例 4] 求数列 2, 42 , 63 , , 2nn ,前 n 的和 .2 2 2 2解：由 可知， {2n } 的通 是等差数列 {2n} 的通 与等比数列 { 1} 的通 之2n 2nS n 24 6 2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2 2 2 232n1 2 4 62n（设制错位）S n2 22 3242 n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得 (11)S n2 2 2 222n（错位相减）22 22 23 242n2n 12 1 2n2 n 1 2n 1∴ S n 4 n 2 2n 1三、反序相加法乞降是推 等差数列的前n 和公式 所用的方法，就是将一个数列倒 来摆列（反序），再把它与原数列相加，就能够获得n 个 (a 1a n ) .[ 例 5] 求 ： C n 03C n 1 5C n 2 (2n 1)C n n (n 1)2n明：S n C n 0 3C 1n 5C n 2(2n 1)C n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右 倒 来得S n(2n 1)C n n ( 2n 1)C n n 13C n 1 C n 0（反序）又由 C nmC n n m 可得S n(2n 1)C n 0 (2n 1)C n 1 3C n n1C n n ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ .. ②①+②得2S n (2n 2)(C n 0 C n 1C n n1C n n ) 2(n 1) 2 n（反序相加）∴S n(n 1) 2 n[例 6] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 的解： Ssin 2 1sin 2 2 sin 2 3sin 2 88sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右 反序得Ssin 2 89 sin 2 88 sin 2 3 sin 2 2 sin 2 1 ⋯⋯⋯⋯ .. ②（反序）又因 sinx cos(90), sin 2 x cos 2 x 1x① +②得（反序相加）2S(sin 2 1 cos 2 1 ) (sin 2 2cos 2 2 )(sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴ S ＝四、分 法乞降有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将 数列适合打开，可分 几个等差、等比或常 的数列，而后分 乞降，再将其归并即可.[例 7]求数列的前 n 和： 1 1,14, 1 7,, 13n2 ，⋯a a 2a n 1解： S n(1 1) (14) ( 127)(1n13n2)a aa将其每一 打开再从头 合得S n(1 111(1 473n2)aa 2a n 1 )（分组）当 a ＝1 ， S nn(3n 1)n ＝ (3n 1)n（分组乞降）2211 (3n 1) n a a1n(3n 1)n当 a1 ， S na n 11 2＝a1 2a[ 例 8] 求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 和 .解：设 a k k (k1)( 2k1)2k 33k 2kn n∴ S n k(k 1)(2k 1) ＝ (2k33k 2k)k 1k 1将其每一项打开再从头组合得n n nS ＝2k33k2k（分组）nk 1k1k1＝ 2(1323n3 )3(1222n2 ) (1 2n)＝ n2 (n1) 2n(n1)( 2n1)n(n1)（分组乞降）222＝n(n1)2 (n2)2五、裂项法乞降这是分解与组合思想在数列乞降中的详细应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，而后从头组合，使之能消去一些项，最后达到乞降的目的.通项分解（裂项）如：（ 1）a n f (n1) f ( n)（ 2）sin 1tan(n1)tan ncos(n 1)cosn（ 3）a n11)11（ 4）a n(2n(2n) 21)1 1 (11)n(n n n 11)( 2n22n12n1（ 5）a nn(n12)1 [1( n12)] 1)(n2n(n1)1)(n(6)a nn212(n1)n111n , 则 S n11n(n1)2n n(n 1)2n n2n 1(n1)2(n 1) 2n[例 9]求数列1,1,,1,的前 n 项和 .12n n231解：设 a n1n1n（裂项）n n1则 S n111（裂项乞降）223n n11＝ ( 21) ( 32)( n 1n )＝ n 1 1[例 10]在数列 {a n } 中， a n12n，又 b n2，求数列 {b n } 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1a nan 1解：∵ a n12 n n n1 n1n 12∴ b nn 21 8( 11 ) （裂项）n n n 12 2∴ 数列 {b n } 的前 n 项和S n8[(1 1 ) ( 11 ) ( 1 1 )( 1 1 )] （裂项乞降）2 23 3 4nn 1＝8(11 ) ＝8nn 1n 1[例 11]求证：111cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1解：设 S111cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89∵sin1tan(n1) tan n（裂项）1)cos n cos(n∴ S111（裂项乞降）cos 0 cos1cos1 cos2cos88 cos89＝1{(tan 1 tan 0 ) (tan 2tan1 )(tan 3tan 2 ) [tan 89tan 88 ]}sin 1＝1 (tan 89 tan 0 ) ＝1cos1sin 1cot 1 ＝sin 1sin 2 1∴ 原等式建立六、归并法乞降针对一些特别的数列，将某些项归并在一同就拥有某种特别的性质，所以，在求数列的和时，可将这些项放在一同先乞降，而后再求S n .[ 例 12]求 cos1° + cos2 ° + cos3 ° +···+ cos178 ° + cos179 °的值 .解：设 S n ＝ cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 °∵ cos ncos(180 n )（找特别性质项）∴ S n ＝ （ cos1 ° + cos179 °） +（ cos2 ° + cos178 °） + （ cos3 °+ cos177 °） +···+（ cos89 °+ cos91 °） + cos90 ° （归并乞降）＝ 0[例 13]数列 {a n } ： a 1 1,a 2 3, a 3 2, a n2a n 1a n ，求 S 2002.解： S＝ a 1a 2 a 3a20022002由a 1 1, a 2 3, a 3 2, a n 2a n 1a n 可得a 41, a 5 3, a 62,a 7 1, a 83, a 92,a101,a113,a122,⋯⋯a6 k 11, a 6k 2 3, a 6k 32, a 6 k 4 1, a 6k 53, a 6 k 62∵ a 6k 1a 6k 2 a 6k3a 6 k 4a 6 k 5 a 6 k6（找特别性质项）∴ S 2002＝ a 1a 2 a 3a 2002（归并乞降）＝ ( a 1 a 2 a 3a 6 ) ( a 7a 8a 12 ) (a 6k 1a 6k 2a 6k 6 )(a1993a 1994a 1998 )a1999a2000a2001 a2002＝a1999a2000 a2001a2002＝ a 6 k 1 a6k 2a6k 3a6 k 4＝ 5[例 14]在各 均 正数的等比数列中，若a 5 a 6 9, 求 log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a 10 的 .解： S nlog 3 a 1 log 3 a 2log 3 a 10由等比数列的性 m n p q a m a na p a q（找特别性质项）和 数的运算性log a Mlog a Nlog a M N 得S n (log 3 a 1 log 3 a 10 ) (log 3 a 2log 3 a 9 )(log 3 a 5 log 3 a 6 )（归并乞降）＝ (log 3 a 1 a 10 ) (log 3 a 2 a 9 )(log 3 a 5 a 6 )＝ log 3 9 log 3 9log 3 9＝ 10七、利用数列的通项乞降先依据数列的构造及特点进行剖析，找出数列的通项及其特点，而后再利用数列的通项揭露的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法 .[例 15]求 111 111111 1 之和 .n 个1解：因为 111 11 999 9 1(10 k 1)（找通项及特点）k 个1 9 k 个19 ∴ 111 111111 1n 个1＝1(101 1) 1 (102 1) 1 (103 1)1(10n1)99 99＝ 1(10110210310 n)1(1 1 11)99n 个11 10(10 n1) n＝10 199＝ 1(10n 110 9 )81n[例 16]已知数列 {a n } ： a n8, 求(n 1)(a na n 1 ) 的值 .( n1)(n3)n1解：∵ (n1)(a n a n1 )8(n 1)[ 11 ]1)(n 3) ( n 2)( n 4)( n（分组乞降）（找通项及特点）＝ 8 [11]（设制分组）2)(n 4) (n3)(n(n4)＝ 4 (1 1 ) 8 ( 11) （裂项）2n3 nn4 n4∴( n 1)(a n a n 1 )4( 1 1) 8 (11 )（分组、裂项乞降）n 1n 1 n2 n 4n 1 n3 n 4＝ 4 (11 ) 8 13 44＝ 133说明：本资料合用于高三总复习，也合用于高一“数列”一章的学习。

数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

方法一：公式法——利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列的前n 项和公式2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n3、常用几个数列的求和公式：（1）)1(213211+=+⋯+++==∑=n n n k S n k n （2）)12)(1(61321222212++=+⋯+++==∑=n n n n k S n k n （3）、2333313)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n k S n k n 方法二：乘公比错项相减（等差⨯等比）——这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。

解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0；Ⅱ、若q =1，则)1(21321+=+⋯+++=n n n S n ； Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+⋯+++=n n nq q q S ①2323n n qS q q q nq =+++⋯+ ②①—②：n n n nq q q q q S q -+⋯++++=--1321)1( ⇒)1(11132n n n nq q q q q q S -+⋯++++-=-⇒)11(11n n n nq q q q S ----=⇒qnq q q S n n n ----=1)1(12 综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21)0(02q q q nq q q q n n q S nn n 且 解析：数列}{1-n nq是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

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2018-12-09原文
第一、我们对等差数列和等比数列的基本概念、数列的分类、数列的公式进行了详细的总结。

第二、我们对递推数列求通向的方法进行了总结
类型一（公式法）类型二（累加法）类型三（累乘法）类型四（构造法）类型五（倒数法）
第三、我们对常用求和方法进行了总结
1.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是
前n项和就变成了首尾少数项之和.
4.错位相减法
第四、我们对常用的考点进行了举例，另附上详细解答
考向1等差数列与等比数列的综合应用
考向2数列的实际应用
考向3数列与其他知识的交汇问题
第五、数列求和的七种基本方法
数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2018年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法．
1 运用公式法
2 倒序相加法
3 裂项相消法
4 分组求和法
5 错位相减法
6 待定系数法
7求导法、积分法
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