3.1.3-4空间向量基本定理空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论.⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.123(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.123是空间不共面的三个向量，则把1e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量.0不能作为基向量．如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O 是不共面的四点，则对空间任意一点(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3， ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．【解】假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)成立，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD→＋2)＝12a ＋b ＋c .空间向量的坐标运算已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝12z ＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →.【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】 设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →， 即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →， 即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx2y 1＝λy2z 1＝λz2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行．【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y的值．【错解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去． 当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16. ∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________． ①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎨⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________． 【解析】 根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ2且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝12.【答案】 15，12图3－1－147．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________．【解析】 由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D (2,1,4)，故OD →＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →＝(－2，－1，－4)．【答案】 (－2，－1，－4)8．(2013·威海高二检测)有下列命题： ①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ①AB →∥CD →时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题； ②AB →∥AC →时，又AB →，AC →共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋110e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．【答案】 ②③④ 二、解答题图3－1－159．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →) ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(12，0,2)，所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．11．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设D (x ，y ，z )，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)． ∵DB →∥AC →，DC →∥AB →， ∴DB →＝λ1AC →且DC →＝λ2AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ11－y ＝0－z ＝2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＝－λ2，－y ＝λ2，2－z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ1y ＝1z ＝－2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝λ2，y ＝－λ2，z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2，∴D 点坐标为(－1,1,2)．(2)∵AC →＝(－1,0,2)，AB →＝(－1,1,0)， BC →＝(0，－1,2)，假设满足条件的x ，y 存在， 即AC →＝xAB →＋yBC →，也即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y ，2y ) ＝(－x ，x －y,2y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，x －y ＝0，2＝2y ，解得x ＝1，y ＝1. ∴存在实数x ＝1，y ＝1， 使AC →＝xAB →＋yBC →成立．(教师用书独具)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分AC →成的比为1∶2，N 分A 1D →成的比为2∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量MN →.【思路探究】 由于AB →、AD →、AA 1→三个向量不共面，故AB →，AD →，AA 1→可作为一个基底来表示空间中的向量MN →.【自主解答】 如图，连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →. 由已知四边形ABCD 是平行四边形， 可知AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， 又M 分AC →成的比为1∶2，故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )． ∵N 分A 1D →成的比为2∶1，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(c ＋2b )， ∴MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b ) ＝13(－a ＋b ＋c )．1．由基底表示空间任一向量，首先明确基底是哪三个向量，然后将所求向量进行分解，分解时主要看三种运算，即相加、相减与数乘(倍数关系)．2．用基底表示一个空间向量，要注意数形结合，结合图形逐步转化．如图，已知矩形ABCD 中，P 为面ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM →＝2MC →，PN →＝ND →，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【解】 取PC 的中点E ，连结NE ， 则MN →＝EN →－EM →.∵EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →， EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC → ＝16PC →， 连结AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →. ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.。
