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高中数学选修2-1课时作业9-3.1.5 空间向量运算的坐标表示

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3.1.5 空间向量运算的坐标表示
双基达标
1．已知a ＝(2，－3，1)，则下列向量中与a 平行的是( )． A ．(1，1，1) B ．(－2，－3，5) C ．(2，－3，5) D ．(－4，6，－2)
2．已知a ＝(1，5，－2)，b ＝(m ，2，m ＋2)，若a⊥b ，则m 的值为( )． A ．0 B ．6 C ．－6 D ．±6
3．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦为8
9，则λ＝( )．
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
4．已知向量a ＝(－1，0，1)，b ＝(1，2，3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________． 5．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →
|的值是______． 6．已知a ＝(1，－2，4)，b ＝(1，0，3)，c ＝(0，0，2)．求 (1)a·(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c.
综合提高
7．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →
|的取值范围是( )． A ．[0，5] B ．[1，5] C ．(1，5) D ．(0，5)
8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面
ABC ，则BP →
等于( )．
A ．(407，157，－3)
B ．(337，15
7，－3)
C ．(－407，－157，－3)
D ．(337，－15
7
，－3)
9．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．
10．已知空间三点A (1，1，1)，B (－1，0，4)，C (2，－2，3)，则AB →与CA →
的夹角θ的大小是________．
11．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．
12．在正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点． 证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ； (2)A 1G ⊥平面EFD .
[答案]
双基达标
1．[解析] 若b ＝(－4，6，－2)，则b ＝－2(2，－3，1)＝－2a ，所以a∥b . [答案] D
2．[解析] ∵a⊥b ，∴1×m ＋5×2－2(m ＋2)＝0，解得m ＝6. [答案] B
3．[解析] 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a·b ＝|a||b|·cos 〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2
＝6
－λ，解得λ＝－2或2
55.
[答案] C
4．[解析] 因为(k a －b )⊥b ，所以(k a －b )·b ＝0， 所以k a·b －|b|2
＝0，
所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12
＋22
＋32)2
＝0，解得k ＝7. [答案] 7
5．[解析] 设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →
， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，
即P (－1，3，3)， 则|PD →
|＝（－1－1）2＋（3－1）2＋（3－1）2
＝12＝2 3. [答案] 2 3
6．[答案]解 (1)∵b ＋c ＝(1，0，5)， ∴a ·(b ＋c )＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21.
(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4) ＝(3，－8，17)．
综合提高
7．[解析] |AB →
|＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2＋（1－1）2
＝13－12cos （α－θ），∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB →
|≤5. [答案] B
8．[解析] 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →
＝0，
即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4. 因为BP ⊥平面ABC ， 所以BP →⊥AB →，且BP →⊥BC →
，
即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0， 且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0. 解得x ＝407，y ＝－15
7，
于是BP →＝(33
7，－157，－3)．
[答案] D
9．[解析] 因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →
＝(2，－2，6)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →
，即λ－1
2＝－12＝λ－2μ－3
6
，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
[答案] 0
10．[解析] ∵AB →＝(－2，－1，3)，CA →
＝(－1，3，－2)，
∴cos 〈AB →，CA →
〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|
＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714＝－12，
又0°≤〈AB →，CA →〉≤180°，∴θ＝〈AB →，CA →
〉＝120°. [答案] 120°
11．[答案]解 (1)由已知得AB →＝(1，－3，2)，AC →
＝(2，0，－8)， ∴|AB →|＝1＋9＋4＝14，|AC →
|＝4＋0＋64＝217，
AB →·AC →
＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， cos 〈AB →，AC →
〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|
＝－1414×217＝－14217，
sin 〈AB →，AC →
〉＝
1－1468＝2734
. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →
〉
＝1
2
×14×217×27
34
＝321.
(2)设AB 边上的高为CD ，则|CD →|＝2S △ABC
|AB →|
＝3 6.
12．[答案]证明 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0，0，0)、B (1，0，0)、C (1，1，0)，D (0，1，0)、A 1(0，0，1)、B 1(1，0，1)、C 1(1，1，1)、
D 1(0，1，1)，由中点性质得
E (1，1，12)、
F (1，12，0)，
G (12，1，0)、
H (12，12
，1)．
(1)则AB 1→
＝(1，0，1)，
GE →＝(1
2
，0，12
)，
EH →
＝ (－12
，－12，12
)
∵AB 1→＝2GE →，AB 1→·EH →
＝1×(－12)＋1×12＝0，
∴AB 1→∥GE →，AB 1→⊥EH →
. 即AB 1∥GE ，AB 1⊥EH .
(2)∵A 1G →＝(12，1，－1)，DF →
＝(1，－12，0)，
DE →＝(1，0，12
)，∴A 1G →·DF →＝12－1
2
＋0＝0，
A 1G →·DE →＝1
2
＋0－12
＝0，∴A 1G ⊥DF ，A 1G ⊥DE .
又DF ∩DE ＝D ，∴A 1G ⊥平面EFD .。

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高中数学选修2-1课时作业7：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

高中数学选修2-1课时作业7：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示1.已知向量a =(0,0,1),则a 2等于( ).A.(0,0,1)B.1C.(1,0,0)D.-1 [答案]:B[解析]:a 2=|a |2=12=1.2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB 的中点M 到C 的距离|CM|的值为( ).A B .532C D [答案]:C[解析]:AB 的中点M 32,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭,又C(0,1,0),所以12,,32CM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ,故M 到C 的距离|CM|=|CM u u u u r |==3.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP u u u r =2PC u u u r ,点Q 是AC 的中点.若PA u u u r =(4,3),PQ u u u r =(1,5),则BC uuu r 等于( ).A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)[答案]:A[解析]:AC uuu r =2AQ uuu r =2(PQ PA -u u u r u u u r )=(-6,4),PC PA AC =+u u u r u u u r u u u r =(-2,7),BC uuu r =3PC uuu r =(-6,21).4.已知向量a =(-2,x ,2),b =(2,1,2),c =(4,-2,1),若a ⊥(b -c ),则x 的值为( ).A.-2B.2C.3D.-3[答案]:A[解析]:∵b-c =(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a ·(b-c )=(-2,x ,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,∴x=-2.5.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),25OC AB =u u u r u u u r ,则C 点的坐标是( ). A.648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.648,-,555⎛⎫- ⎪⎝⎭C.648,-,-555⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭[答案]:A[解析]:∵AB uuu r =(-3,-2,-4),∴2255OC AB ==u u u r u u u r (-3,-2,-4)=648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭,即C 648,-,-555⎛⎫- ⎪⎝⎭. 6.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AC=1,AA 1=2,∠B 1A 1C 1=90°,D 为BB 1的中点,则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为( ).ABCD[答案]:C[解析]:建系如下图,则C 1(0,1,2),D(1,0,1),A 1(0,0,2),C(0,1,0).∴1C D u u u u r =(1,-1,-1),1A C u u u u r =(0,1,-2).∴cos <1C D u u u u r ,1A C u u u u r>=1111·||||C D AC C D AC ==u u u u r u u u r u u u u r u u u r . 7.若a =(x ,3,1),b =(2,y ,4),且a =z b ,则c =(x ,y ,z )= .[答案]:11,12,24⎛⎫ ⎪⎝⎭[解析]:由a =z b ,得2,3,14,x z yz z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1,212,1.4x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩8.已知a =(2,-3,0),b =(k ,0,3),若a ,b 的夹角为120°,则k = .[答案[解析]:由于<a ,b >=120°,∴cos <a ,b >=-12,而cos <a,b>=·||||a b a b =r r r r .12,解得). 9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB ,AC 为边的平行四边形的面积;(2)若|a且a 分别与AB uuu r ,AC uuu r 垂直,求向量a .解:(1)AB uuu r =(-2,-1,3),AC uuu r =(1,-3,2),cosθ=·12||||AB AC AB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴sin∴S 平行四边形=|AB uuu r ||AC uuu r |sin∴以AB,AC 为边的平行四边形的面积为(2)设a =(x ,y ,z ).由题意,得222230,320,3.x y z x y z x y z --+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得1,1,1x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,1.x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1).10.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若//DB AC u u u r u u u r ,//DC AB u u u r u u u r,求点D 的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解:(1)设D (x ,y ,z ),则DB u u u r =(-x ,1-y ,-z ),AC uuu r =(-1,0,2),DC u u u r =(-x,-y,2-z),AB uuu r =(-1,1,0).因为//DB AC u u u r u u u r ,//DC AB u u u r u u u r ,所以(-,1,-)(-1,0,2),(-,-,2)(-1,1,0),x y z m x y z n -=⎧⎨-=⎩解得1,1,2,x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩即D(-1,1,2). (2)依题意AB uuu r =(-1,1,0),AC uuu r =(-1,0,2),BC uuu r =(0,-1,2),假设存在实数α,β,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以1,0,22,ααββ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩故存在α=β=1,使得AC uuu r =αAB uuu r +βBC uuu r 成立.。

高中数学选修2-1第三章3.1.5空间向量运算的坐标表示(新授课课件)

高中数学选修2-1第三章3.1.5空间向量运算的坐标表示(新授课课件)


D1B1 中点，
1
（1）求 EF 与 A1C 所成角的余弦值。
（2）求证： EF DA1
3
z D1
A1
F
C1
B1
E
D
Cy
xA
B
练习二：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C
D1A1的中点，求 cos AF, EF
30 30
D1
C1
F
A1
B1
E
D A
C B
思考题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C(1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。 7 3
2
课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式，向量平行，向量垂直
2.思想方法： (1)类比思想 (2)用向量计算或证明几何问题时， 可以先建立直角坐标系， 然后把向量、点坐标化， 借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。
3.1.5空间向量运算的 坐标表示
2019年
11月
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学习目标
• 掌握空间向量的线性表示及其坐标表示 • 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 • 能用向量方法解决距离、角度、垂直、平行等几 何问题。
cos a,b a b
x1x2 y1y2 z1z2
| a | | b | x12 y12 z12 x22 y22 z22

人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.5 空间向量运算的坐标表示

人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.5 空间向量运算的坐标表示

第三章 空间向量与立体几何
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
走进教材
1．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算 坐标表示
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
(2)向量关系代数化：即写出向量的坐标；
(3)求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．
谢谢大家！
解:
典例导航
变式训练
典例导航
题型三：利用坐标运算解决距离、夹角问题
z D1
解:
C1 B1
A1
E
D
G
F B
C
y
A
x
典例导航
变式训练
如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA
＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
变式训练
归纳小结
1．如何确定向量的坐标？ (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标； (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；
(3)给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立
方程组，解方程组求其坐标．
归纳小结
2．如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直？
(1)向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
走进教材
向量运算 坐标表示
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
走进教材
高中数学人教a版选修2-1课时作业：3.1.5+空间向量运算的坐标表示+含解析

高中数学人教a版选修2-1课时作业：3.1.5+空间向量运算的坐标表示+含解析

第三章 3.1 课时作业28一、选择题1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.答案：A2．已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：设BC 中点为D ，则D(2,1,4)，又AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD →|＝(－1)2＋(－2)2＋22＝3.答案：B3．[2013·湖北省八校联考]已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2), O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB→取最小值时，点D 的坐标为( ) A. (43，43，43) B. (83，43，83) C. (43，43，83) D. (83，83，43) 解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a)，DA →＝(1－a,2－a,3－2a)，DB→＝(2－a,1－a,2－2a)，DA →·DB→＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C. 答案：C4．已知A(1,0,0)、B(0，－1,1)、O(0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66C ．－66 D ．± 6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1，1)，由题得cos120°＝λ＋λ2·2λ2＋1＝－12，所以λ<0，整理得λ＝－66. 答案：C二、填空题5．若向量a ＝(1,1，x)，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a)·(2b)＝－2，则x ＝__________.解析：由题意得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，即2(1－x)＝－2，∴x ＝2.答案：26．已知 a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2)，若 a ∥b ，则λ＝________，μ＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝mb ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2＝2m ，∴m ＝1，λ＝5，μ＝12. 答案：5 127．[2014·人大附中期中考试]△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0,0，2)，。

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