江苏省扬州中学教育集团树人学校2014-2015学年高一上学期第一次学情检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4}，则A∩∁U B=．2．（5分）若集合A⊆{1，2，3}，且A≠φ，则满足条件的集合A的个数为个．3．（5分）函数的定义域为．4．（5分）若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为．5．（5分）函数的单调增区间为．6．（5分）已知函数g（x+1）=2x﹣3，则函数g（x）=．7．（5分）已知函数f（x）=若f（f（0））=3a，则实数a=．8．（5分）若f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（1﹣x）+f（1﹣2x）＜0的解集为．9．（5分）若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间上的单调函数，则实数a的取值范围是．10．（5分）函数f（x）=（|x|﹣1）（x+a）为奇函数，则a=．11．（5分）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是．12．（5分）函数满足对任意x1≠x2都有成立，则a的取值范围是．13．（5分）某同学为了研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则f（x）=AP+PF．（1）f min（x）=；（2）函数f（x）=的零点个数是．14．（5分）已知函数f（x）=﹣+x在区间上的值域是，则m﹣n=．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．）15．（14分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．16．（14分）已知函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递减函数；（2）若g（x）=a﹣f（x），且当x∈时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．17．（15分）已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．18．（15分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1，x∈上的最大值为4，求实数a．19．（16分）已知f（x）是定义在集合M上的函数，若区间D⊆M，且对任意x0∈D，均有f （x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）判断函数f（x）=x+在定义域上是否封闭，并说明理由；（2）若函数g（x）=在区间上封闭，求实数a的取值范围．20．（16分）已知函数，x∈（0，+∞）（1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；（2）设试比较f（a），f（b）的大小．（3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在上的值域也是？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．三、附加题21．下列说法中：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈）是偶函数，则实数b=2；②f（x）=既是奇函数又是偶函数；③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f （y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中正确说法的序号是．22．已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．（1）若g（x）为定义在R的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）+1=0有3个实数解，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（x）在闭区间上的最大值为﹣4，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．江苏省扬州中学教育集团树人学校2014-2015学年高一上学期第一次学情检测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4}，则A∩∁U B={1，2}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用补集的定义求出 C U B，再利用交集的定义求出A∩C U B．解答：解：∵C U B={1，2，5}，∴A∩C U B={1，2，3}∩{1，2，5}={1，2}，故答案为：{1，2}．点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出 C U B 是解题的关键．2．（5分）若集合A⊆{1，2，3}，且A≠φ，则满足条件的集合A的个数为7个．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：根据题意，集合A⊆{1，2，3}，且A≠φ，即求{1，2，3}非空子集的个数．解答：解：根据题意，集合A⊆{1，2，3}，且A≠φ，即求{1，2，3}非空子集的个数，而{1，2，3}中有3个元素，非空子集共有23﹣1=7个；故答案为：7．点评：本题考查集合子集的数目，需要牢记若集合中有n个元素，则有2n个子集．3．（5分）函数的定义域为（1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，及分母不等于0，解不等式求x的范围．解答：解：根据题意得：x﹣1≥0，且x2﹣1≠0，解得x＞1．故答案为：（1，+∞）点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（5分）若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为1或﹣1或0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：分类讨论．分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，我们易得到集合A是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A当m=0时，B=∅满足条件当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1}即m=1，或m=﹣1故m的值为：1或﹣1或0故答案：1或﹣1或0点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中当B⊆A，容易忽略B=∅的情况．5．（5分）函数的单调增区间为．考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：将原函数分解成两个简单函数y=，z=﹣x2﹣2x+3，再根据复合函数同增异减的性质即可求出．解答：解：∵f（x）的定义域为：令z=﹣x2﹣2x+3，则原函数可以写为y=，∵y=为增函数∴原函数的增区间即是函数z=3﹣2x﹣x2在上的增区间．∴x∈故答案为：．点评：本题主要考查复合函数求单调区间的问题．复合函数求单调性时注意同增异减的性质，切忌莫忘求函数定义域．是中档题．6．（5分）已知函数g（x+1）=2x﹣3，则函数g（x）=2x﹣5．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：令x+1=t，则x=t﹣1，可得g（t）=2（t﹣1）﹣3=2t﹣5，可得g（x）=2x﹣5．解答：解：令x+1=t，则x=t﹣1，可得g（t）=2（t﹣1）﹣3=2t﹣5，所以 g（x）=2x﹣5，故答案为：2x﹣5．点评：本题为函数解析式的求解，利用换元法可解，属基础题．7．（5分）已知函数f（x）=若f（f（0））=3a，则实数a=4．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由题意可得f（0）=2，则f（f（0））=f（2）=4+2a，结合已知可求a解答：解：由题意可得f（0）=2∴f（f（0））=f（2）=4+2a=3a∴a=4故答案为：点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解的简单应用，属于基础试题8．（5分）若f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（1﹣x）+f（1﹣2x）＜0的解集为（）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：利用函数为奇函数，f（1﹣x）+f（1﹣2x）＜0等价于f（1﹣x）＜f（﹣1+2x），根据f（x）在（﹣1，1）上是增函数，可得不等式组，由此即可求得结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，∴﹣f（x）=f（﹣x）∴f（1﹣x）+f（1﹣2x）＜0等价于f（1﹣x）＜f（﹣1+2x）∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴∴∴不等式f（1﹣x）+f（1﹣2x）＜0的解集为（）故答案为（）．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间上的单调函数，则实数a的取值范围是．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得≤，或≤，由此求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间上的单调函数，二次函数的对称轴为x=，∴故有≤，或≤．解得a≥4，或a≤2，故实数a的取值范围是，故答案为．点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题．10．（5分）函数f（x）=（|x|﹣1）（x+a）为奇函数，则a=0．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：先根据定义在R上的奇函数的特性：f（0）=0，解出a，再用奇函数的定义加以验证，即可得到符合题意的a值．解答：解：∵函数f（x）=（|x|﹣1）（x+a）为R上的奇函数∴f（0）=﹣（0+a）=0，解得a=0检验：当a=0时，f（x）=（|x|﹣1）x，而f（﹣x）=（|﹣x|﹣1）（﹣x）=﹣（|x|﹣1）x，∴f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数故答案为：0点评：本题给出函数为奇函数，求参数a的值，着重考查了函数奇偶性的定义，属于基础题．利用f（x）=0是解决本题的技巧，但要注意f（x）=0不是函数为奇函数的充要条件，因此需要检验．11．（5分）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是上的值域是，则m ﹣n=﹣4．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：对m和n的范围进行分类讨论，并根据函数的单调性表示出函数的最大值和最小值建立等式求得m和n．解答：解：①当m＜n≤1时，函数在区间上单调增，则，求得m=﹣4，n=0．②当1＜m＜n时，f（x）在上递减，且f（x）＜值域为，3n＜，矛盾③m≤1＜n时，f（x）max=，若值域为，则3n=，n=与n＞1矛盾综上，符合条件的m，n的值为m=﹣4，n=0，∴m﹣n=﹣4，故答案为：﹣4点评：本题主要考查了二次函数的性质和分类讨论思想的运用．应能熟练掌握二次函数求最值的方法．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．）15．（14分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．（2）由C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，则a≥2且a+1≤9，解不等式组可得答案．解答：解：（1）∵集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．∴A∩B={x|2＜x＜6}，∁R B={x|x≤2，或x≥9}，∴（∁R B）∪A={x|x＜6，或x≥9}，（2）∵C={x|a＜x＜a+1}，C⊆B，∴a≥2且a+1≤9，∴2≤a≤8，故实数a的取值集合为{a|2≤a≤8}点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．16．（14分）已知函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递减函数；（2）若g（x）=a﹣f（x），且当x∈时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）在（﹣1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，由f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=＞0，得到函数f（x）=在（﹣1，+∞）上为单调递减函数．（2）由（1）知，g（x）=a﹣f（x）在x∈上是增函数，故g（x）=a﹣f（x）在x∈上的最小值g（x）min=g（1）=a﹣f（1）=a+1．由当x∈时g（x）≥0恒成立，知g（x）min=a+1≥0，由此能求出实数a的取值范围．解答：解：（1）在（﹣1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，∵f（x）=，∴f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=，∵x1，x2∈（﹣1，+∞），x1＜x2，∴（x2+1）（x1+1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）=在（﹣1，+∞）上为单调递减函数．（2）由（1）知，g（x）=a﹣f（x）在x∈上是增函数，∴g（x）=a﹣f（x）在x∈上的最小值：g（x）min=g（1）=a﹣f（1）=a+=a+1．∵当x∈时g（x）≥0恒成立，∴g（x）min=a+1≥0，解得a≥﹣1，∴实数a的取值范围是专题：计算题；分类讨论．分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到﹣x 大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集．解答：解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2，设x＜0，所以﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣f（x）=x2﹣2，即f（x）=2﹣x2，则；（6分）（II）∵当x＞0时，x2﹣2＜x，化简得（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，所以不等式的解集为0＜x＜2；当x＜0时，2﹣x2＜x，化简得：（x﹣1）（x+2）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，所以不等式的解集为x＜﹣2，综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜﹣2}．（10分）点评：此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．18．（15分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1，x∈上的最大值为4，求实数a．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：函数对称轴为x=a，函数的图象开口向下，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，即可求得结论．解答：解：函数对称轴为x=a，函数的图象开口向下当a≤﹣1时，函数在上单调减，此时x=﹣1，函数取到最大值，即﹣1﹣2a+1=4，∴a=﹣2，符合题意；当﹣1＜a＜2时，此时x=a，函数取到最大值，即﹣a2+2a2+1=4，∴a=（负值舍去）当a≥2时，函数在上单调增，此时x=2，函数取到最大值，即﹣4+4a+1=4，∴a=，不符合题意；综上，a=﹣2或．点评：本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知f（x）是定义在集合M上的函数，若区间D⊆M，且对任意x0∈D，均有f （x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．（1）判断函数f（x）=x+在定义域上是否封闭，并说明理由；（2）若函数g（x）=在区间上封闭，求实数a的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先求出函数的定义域，再求出函数的值域，从而得出函数是否封闭；（2）由题意得不等式组，解出即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：{x|x≥}，令=t，∴x=，（t≥0），∴f（x）=+t=（t+1）2≥，∴函数f（x）=x+在定义域上封闭；（2）g（x）=3+，由题意得：3≤3+≤10，∴，解得：3≤a≤31．点评：本题考查了函数的定义域，值域问题，考查了新定义问题，是一道中档题．20．（16分）已知函数，x∈（0，+∞）（1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；（2）设试比较f（a），f（b）的大小．（3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在上的值域也是？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．考点：函数图象的作法；函数单调性的性质；不等关系与不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象，从而可得函数y=f（x）的单调区间；（2）分别表示出f（a），f（b），确定其范围，即可比较f（a），f（b）的大小；（3）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，）时，a，b∈（，+∞）时，a∈（0，），b∈（，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在．解答：解：（1）由，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象如图所示函数y=f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）由题意，f（a）=，f（b）=∵∴，∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3∴f（a）＞f（b）；（3）不存在实数a，b满足条件．假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0 又f（x）=①当a，b∈（0，）时，函数在（0，）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（，+∞）时，函数在（，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2+3x﹣1=0的根，所以，不合题意，故此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，），b∈（，+∞）时，显然∈，而f（）=0∈不可能，此时a，b也不存在综上可知，适合条件的实数a，b不存在．点评：本题考查函数的图象，考查函数与方程的综合应用，考查绝对值函数，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，是一道综合性较强的题，思维难度大．三、附加题21．下列说法中：①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈）是偶函数，则实数b=2；②f（x）=既是奇函数又是偶函数；③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈=x（1﹣x）=x（1+|x|），由此判断命题的真假；④构造f（﹣x）和f（x）之间的关系式，看符合奇函数还是偶函数，先赋值求出f（﹣1），再令a=﹣1，b=x即可说明结论正确．解答：解：对于①，由f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈）是偶函数，则a+4=﹣2a+1，解得a=﹣1，f（x）=﹣x2+（b﹣2）x+2，且b﹣2=0，则b=2，命题①正确；对于②，由，得，且f（x）==0，∴f（x）=既是奇函数又是偶函数，命题②正确；对于③，已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈=x（1﹣x）．∴当x∈R时，f（x）=x（1+|x|），命题③正确；对于④，已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），∵f（1）=f=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=0．令x=﹣1，y=x，则f（﹣x）=f（﹣1•x）=﹣f（x）+xf（﹣1）=﹣f（x），因此f（x）是奇函数，命题④正确．故答案为：①②③④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，是中档题．22．已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．（1）若g（x）为定义在R的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）+1=0有3个实数解，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（x）在闭区间上的最大值为﹣4，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；方程思想；函数的性质及应用．分析：（1）g（x）为定义在R的奇函数，g（﹣x）=﹣g（x），运用x＞0时，g（x）=f （x）=x（x﹣a），求得g（x）=，（2）函数f（x）=|x|（x﹣a）=，分类讨论解决．（3）转化为二次函数闭区间上的最值讨论．解答：解：（1）∵g（x）为定义在R的奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），当x＞0时，g（x）=f（x）=x（x﹣a），当x=0时，g（0）=0设x＜0时，则﹣x＞0，∴g（x）=﹣g（﹣x）=﹣=﹣x（x+a），（x＜0），即g（x）=，（2）函数f（x）=|x|（x﹣a）=，当a≤0时，两段的对称轴为x=，x=﹣，可判断在（﹣∞，+∞）单调递增，不可能有3个交点；当a＞0时，若x≥0，对称轴x=，最小值为﹣，若x＜0时，对称轴x=﹣，最大值为，所以：﹣＜﹣1＜，即a＞2，a＜﹣2，综上：实数a的取值范围：（﹣∞，﹣2）（3）当a≤0时判断在（﹣∞，+∞）单调递增，f（0）=0，在闭区间上的最大值为﹣4，不可能；当a＞0时，若x≥0，对称轴x=，最小值为﹣，∴或解得a=5所以存在实数a，使得f（x）在闭区间上的最大值为﹣4点评：本题综合考查了函数的性质，方程思想的运用，不等式的结合，难度较大，做题仔细认真些．。
2024-2025学年江苏省南京师大附中树人学校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B.C D.2. 如图，ABC DEF ≌△△，若100A ∠=°，47F ∠=°，则E ∠的度数为（ ）A. 100°B. 53°C. 47°D. 33°3. 如图，ABC DEF ≌△△，点D ，E 在直线AB 上，4BE =，1AE =，则DE 的长为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 24. 等腰三角形一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（ ）A. 10cmB. 11cmC. 6cm 或8cmD. 10cm 或11cm5. A 、B 、C 三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个ABC ，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三个内角角平分线的交点D. 三边高的交点 6. 如图1，已知三角形纸片ABC ，AB AC =，50A ∠=°，将其折叠，如图2所示，使点A 与点B重.的合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，那么DBC ∠的度数为（ ）A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°7. 如图，已知ABC 的周长是36cm ，ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于点O ，OD BC ⊥于点D ，若3cm OD =，则ABC 的面积是（ ）A. 248cmB. 254cmC. 260cmD. 266cm8. 如图，点P 为定角AOB ∠的平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补，若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA OB ，交于点M N ，，则一下结论：①PM PN =恒成立；②OM ON +的值不变；③四边形PMON MN 的长不变；其中正确的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题9. 如图，已知AD BC =，要使ABC CDA △△≌，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件）．10. 如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC AB AC ，，上的点，若B C BF CD ∠=∠=，，54BD CE EDF =∠=°，，则A ∠=________．11. 如图，把一个长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若154∠=°，则FGE ∠=_______．12. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则1∠与2∠的数量关系是________．13. 如图所示.A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，1km BD =，1km DC =，村庄A 与C ，A 与Ｄ间也有公路相连，且公路AD 是南北走向，3km AC =，只有A ，B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 1.2km AE =，0.7km BF =，则建造的斜拉桥长至少有____________km ．14. 如图，在ABC 中，4AB =， 5.5AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB 、AC 于点M 、N ，则AMN 的周长为_________．15. 如图，ABC 的面积为212cm ，AP 垂直B ∠的平分线BP 于点P ，则PBC △的面积为__________2cm ．16. 如图，射线OA OB ，上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A 、1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，…按此规律作下去，若11A B O α∠=，则20232023A B O ∠=______．17. 如图，7cm AB =，60CAB DBA ∠=∠=°，5cm AC =，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动，当点P 运动结束时，点Q 随之结束运动，当点P Q ，运动到某处时有ACP △与BPQ 全等，则Q 的运动速度是 ________________cm/s ．18. 如图，在ABC 中，BA BC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点M N 、分别为BD BC 、上动点，若4BC =，ABC 的面积为6，则CM MN +的最小值为_______．在的三、解答题19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′′ ．（2）ABC 的面积为__________．（3）在直线l 上找一点P （在答题纸上图中标出），使PB PC +的长最短．20. 如图，已知B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =，AC 与DE 交于点G ．（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）若50B ∠=°，60ACB ∠=°，求EGC ∠的度数．21. 麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B ，F ，C （点F ，C 之间不能直接测量，为池塘的长度），点A ，D 在l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）若100m 30m BE BF ==，，求池塘FC 的长． 22. 如图，四边形ABCD 中，BC CD =，AC DE =，90B DCE ∠=∠=°，AC 与DE 相交于点F ．（1）求证：ABC ECD ∆≅∆（2）判断线段AC 与DE 的位置关系，并说明理由．23. 如图，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M N 、两点，DM 与EN 相交于点F ．（1）若CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；（2）若70MFN ∠=°，求MCN ∠的度数．24. 如图，已知ABC ，点P 为BAC ∠的平分线上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F（1）求证∶ PE PF =（2）若BE CF =，求证：点P 在BC 的垂直平分线上．25. 如图，已知ABC （AC AB BC <<），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；（1）如图1，在AB 边上寻找一点M ，使AMC ACB ∠=∠；（2）如图2，在BC 边上寻找一点N ，使得NA NB BC +=．26. 如图甲，已知在ABC 中，90ACB ∠=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．（1）说明ADC CEB △≌△．（2）说明AD BE DE +=．（3）已知条件不变，将直线MN 绕点C 旋转到图乙位置时，若3DE =、 5.5AD =，则BE=_____．27. 阅读理解：【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．【概念理解】（1）如图1，在ABC 中，36A ∠=°，AB AC =，CD 平分ACB ∠，则CBD △与ABC ______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．的（2）如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，36A ∠=°，48B ∠=°，求证：CD 为ABC 的“巧妙分割线”；【概念应用】（3）在ABC 中，45A ∠=°，CD 是ABC 的巧妙分割线，直接写出ACB ∠的度数．28. 在ABC 中，,8AB AC BC ==，点M 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点N 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点M ，N 移动的速度相同，MN 与BC 相交于点D ．（1）如图1，过点M 作//ME AC ，交BC 于点E ；①图中与BBBB 相等的线段________、_________；②求证：DME DNC ≌；（2）如图2，若60A ∠=°，当点M 移动到AABB 的中点时，求CCCC 的长度；（3）如图3，过点M 作MF BC ⊥于点F ，在点M 从点B 向点A （点M 不与点A ，B 重合）移动的过程中，线段BF 与CCCC 的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出BF 与CCCC 的长度和；若改变，请说明理由．2024-2025学年江苏省南京师大附中树人学校八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A 、B 、D 均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；选项C 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，ABC DEF ≌△△，若100A ∠=°，47F ∠=°，则E ∠的度数为（ ）A. 100°B. 53°C. 47°D. 33°【答案】D【解析】 【分析】首先根据全等三角形的性质得到100D A ∠=∠=°，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，100A ∠=°，∴100D A ∠=∠=°，在DEF 中，47F ∠=°，∴18033E D E ∠=°−∠−∠=°，故选：D ．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3. 如图，ABC DEF ≌△△，点D ，E 在直线AB 上，4BE =，1AE =，则DE 的长为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】 【分析】由ABC DEF ≌△△，可得DE AB =，由点D ，E 在直线AB 上，可得DE AB AE BE ==+，计算求解即可．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，∴DE AB =，∵点D ，E 在直线AB 上，∴5DE AB AE BE ==+=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．4. 等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（ ）A. 10cmB. 11cmC. 6cm 或8cmD. 10cm 或11cm 【答案】D【解析】【分析】分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可．【详解】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，能组成三角形，周长43310=++=，若4是腰，则三角形的三边分别为4、4、3，能组成三角形，周长44311=++=，综上所述，此三角形的周长是10或11．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形．5. A 、B 、C 三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个ABC ，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三个内角角平分线的交点D. 三边高的交点【答案】A【解析】【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．故选：A ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．6. 如图1，已知三角形纸片ABC ，AB AC =，50A ∠=°，将其折叠，如图2所示，使点A 与点B 重合，折痕为ED ，点E ，D 分别在AB ，AC 上，那么DBC ∠的度数为（ ）A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°【答案】B【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，根据50A ∠=°，AB AC =可求得180652A ABC °−∠∠==°，结合折叠的性质，得到50ABD A ∠=∠=°根据15DBC ABC ABD ∠=∠−∠=°,选择即可．【详解】．∵50A ∠=°，AB AC =,∴180652A ABC °−∠∠==°， 折叠的性质，得到50ABD A ∠=∠=°, ∴15DBC ABC ABD ∠=∠−∠=°,故选B ．7. 如图，已知ABC 的周长是36cm ，ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于点O ，OD BC ⊥于点D ，若3cm OD =，则ABC 的面积是（ ）A. 248cmB. 254cmC. 260cmD. 266cm【答案】B【解析】 【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质定理可得OD =OE =OF =3cm ，再由ABC ABO CBO CAO S S S S =++ ，即可求解．【详解】解∶如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，∵ABC ∠和ACB ∠的角平分线交于点O ，OD BC ⊥，∴OD =OE ，OD =OF ，∴OD =OE =OF =3cm ，∵ABC 的周长是36cm ，∴AB +BC +AC =36cm ，∵ABC ABO CBO CAO S S S S =++ ，∴()21111136354cm 22222ABC S AB OE CB OD CA OF AB BC AC OD =⋅+⋅+⋅=++⋅=××= ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 8. 如图，点P 为定角AOB ∠的平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补，若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA OB ，交于点M N ，，则一下结论：①PM PN =恒成立；②OM ON +的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变；其中正确的个数为（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据角平分线的性质，作PE OA PF OB ⊥⊥，，可得PE PF OE OF MPE NPF == ，，≌，由此可判定①②③，连接EF ，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解．【详解】解：∵点P 在AOB ∠∴AOP BOP ∠=∠，如图所示，过点P 作PE OA ⊥于点E ，作PF OB ⊥于点B ，∴90PEO PFO ∠=∠=°，PE PF =，OE OF =，∴在四边形PEOF 中，180EOF EPF ∠+∠=°，∵180AOB MPN ∠+∠=°，∴MPN EPF ∠=∠，即MPE EON EON NOF ∠+∠=∠+∠，∴MPE NPF ∠=∠，∴()MPE NPF SAS ≌，∴PM PN =，故①正确；由①正确可得，ME NF =，∴22OM ON OE EM OF NF OE OF +=++−==，故②正确；由MPE NPF ≌可得MPE NPF S S = ，∴MPE EPO OPN EPO OPN NPF PMON PEOF S S S S S S S S ++=++== 四边形四边形，∴四边形PMON 的面积是定值，故③正确；如图所示，连接EF ，由上述结论可得，PM PN PE PF ==，，MPN EPF ∠=∠，PM PE >，PN PF >，∴MN CD ≠，即MN 的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键．二、填空题9. 如图，已知AD BC =，要使ABC CDA △△≌，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件）．【答案】AB CD =（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：ABC 与CDA 中，∵AB CD BC AD AC CA = = =，在∴()SSS ABC CDA △≌△，∴添加的一个条件可以是AB CD =，故答案为：AB CD =．10. 如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC AB AC ，，上的点，若B C BF CD ∠=∠=，，54BD CE EDF =∠=°，，则A ∠=________．【答案】72°##72度【解析】【分析】由“SAS ”可证≌BDF CED ，可得BFD CDE ∠=∠，由外角的性质可得54B EDF ∠=∠=°，可求解．【详解】解：在BDF 和CED △中，===BF CD B C BD CE∠∠ ，∴()SAS BDF CED ≌ ，∴BFD CDE ∠=∠，∵FDC B BFD FDE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，∴54B EDF ∠=∠=°，∴54C ∠=°∴180180545472A B C ∠=°−∠−∠=°−°−°=°，故答案为：72°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键．11. 如图，把一个长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若154∠=°，则FGE ∠=_______．【答案】72°##72度【解析】【分析】先证明154DEF ∠=∠=°，AEG FGE ∠=∠，由折叠可得54DEF GEF ∠=∠=°，利用平角的含义可得18025472AEG ∠=°−×°=°，从而可得答案．【详解】解：∵154∠=°，AD BC ∥，∴154DEF ∠=∠=°，AEG FGE ∠=∠， 由折叠可得：54DEF GEF ∠=∠=°，∴18025472AEG ∠=°−×°=°，∴72FGE ∠=°．故答案为：72°【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质与平行线的性质求解角度的大小是解本题的关键．12. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则1∠与2∠的数量关系是________．【答案】1290∠+∠=° 【解析】【分析】证明ABC DEF ≌△△得出2DEF ∠=∠，根据190DEF ∠+∠=°即可得出1290∠+∠=°． 【详解】解：根据网格特点可知，90ACB DFE ∠=∠=°，EF BC =，AC DF =，∴ABC DEF ≌△△，∴2DEF ∠=∠，∵190DEF ∠+∠=°，∴1290∠+∠=°．故答案为：1290∠+∠=°． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．13. 如图所示.A ，B ，C ，D 是四个村庄，B ，D ，C 在一条东西走向公路的沿线上，1km BD =，1km DC =，村庄A 与C ，A 与Ｄ间也有公路相连，且公路AD 是南北走向，3km AC =，只有A ，B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 1.2km AE =，0.7km BF =，则建造的斜拉桥长至少有____________km ．【答案】1.1【解析】【分析】根据全等三角形的判定得出(SAS)ADB ADC ≌ ，进而得出3km AB AC ==，这样可以得出斜拉桥长度．【详解】解：由题意知：BD CD =，90BDA CDA ∠∠==°，∵在ADB 和ADC 中， DB DC ADB ADC AD AD = ∠=∠ =， ∴(SAS)ADB ADC ≌ ，∴3km AB AC ==，故斜拉桥至少有3 1.20.7 1.1km −−=，故答案为1.1．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及其性质，根据已知得出(SAS)ADB ADC ≌ 是解题的关键． 14. 如图，在ABC 中，4AB =， 5.5AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB 、AC 于点M 、N ，则AMN 的周长为_________．【答案】9.5【解析】【分析】根据角平分线定义、平行线的性质和可得ME MB NE NC ==，，进而求解． 【详解】解∶BE 平分ABC ∠，,ABE EBC ∴∠=∠MN BC ∥,MEB EBC ∴∠=∠,MEB ABE ∴∠=∠,MB ME ∴=同理可得∶NE NC =，9.5AMN C AM AN MN AM AN ME EN AM AN MB NC AB AC ∴=++=+++=+++=+= 故答案为∶9.5【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 15. 如图，ABC 的面积为212cm ，AP 垂直B ∠的平分线BP 于点P ，则PBC △的面积为__________2cm ．【答案】6【解析】【分析】延长AP 交BC 于点D ，根据角平分线和垂线的定义，易证()ASA APB DPB ≌，得到12ABP DBP ABD S S S == ，AP DP =，进而得到12ACP DCP ACD S S S == ，即可求出PBC △的面积． 【详解】解：如图，延长AP 交BC 于点D ，BP 平分ABC ∠，ABP DBP ∴∠=∠，AP BP ⊥ ，90APB DPB ∴∠=∠=°，在APB △和DPB 中，ABP DBP BP BPAPB DPB ∠=∠ = ∠=∠， ()ASA APB DPB ∴ ≌，12ABP DBP ABD S S S ∴== ，AP DP =， ACP ∴△和DCP 等底同高，12ACP DCP ACD S S S ∴== ， ()1122DPB DCP ABD ACD ABC PBC S S S S S S ∴=+=+= ， ABC 的面积为212cm ，21126cm 2PBC S ∴=×= ， 故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．16. 如图，在射线OA OB ，上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A 、1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，…按此规律作下去，若11A B O α∠=，则20232023A B O ∠=______．【答案】20222α【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．【详解】解：1212B A B B = ，11A B O α∠=， 2212A B O α∴∠=， 同理332111222A B O αα∠=×=， 44312A B O α∠=， 112n n n A B O α−∴∠=， 2023202320222A B O α∴∠=， 故答案为：20222α． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．17. 如图，7cm AB =，60CAB DBA ∠=∠=°，5cm AC =，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动，当点P 运动结束时，点Q 随之结束运动，当点P Q ，运动到某处时有ACP △与BPQ 全等，则Q 的运动速度是 ________________cm/s ．【答案】2或207【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，由ACP △与BPQ 全等，分两种情况：AC BP =①，AP BQ =，AC BQ =②，AP BP =，建立方程组求得答案即可，熟练掌握知识点的应用及分情况分析是解题的关键．【详解】解：设它们运动的时间为s t ，点Q 的运动速度为cm /s x ，则2AP tcm =，()72cm PBt =−，cm BQ xt =，①若ACP BPQ △≌△，则AC PB =，AP BQ =，可得：572t =−，2t xt =，解得：2x =，1t =；②若ACP BQP △≌△，则AC BQ =，AP PB =，可得：5xt =，272t t =−， 解得：207x =，74t =； 综上：Q 的运动速度为2cm /s 或20cm /s 7， 故答案为：2或207． 18. 如图，在ABC 中，BA BC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点M N 、分别为BD BC 、上的动点，若4BC =，ABC 的面积为6，则CM MN +的最小值为_______．【答案】3【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，BBBB 垂直平分AC ，根据垂直平分线的性质得出CM AM =，由此可得CM MN AM MN +=+，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当A M N 、、三点共线且AN BC ⊥时AM MN +最短，根据三角形的面积公式可求出AN 的长，即CM MN +的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，连接AM ，∵在ABC 中，BA BC =，BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，AD CD =，∴BD 垂直平分AC ，∴CM AM =，∴CM MN AM MN +=+，如图，当A M N 、、三点共线且AN BC ⊥时， CM MN AM MN AN +=+=，此时AN 最小，即CM MN +的值最小，∵162ABC S BC AN =×= ， ∴1462AN ××=， 解得3AN =，∴CM MN +的最小值为3，故答案为：3．三、解答题19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′′ ．（2）ABC 的面积为__________．（3）在直线l 上找一点P （在答题纸上图中标出），使PB PC +的长最短．【答案】（1）图见解析（2）72（3）图见解析【解析】【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．（1）先作出点B 、C 关于直线l 对称的点B ′、C ′，然后再顺次连接即可；（2）利用割补法求值三角形的面积即可；（3）连接BC ′，交l 于P ，点P 即为所求．【小问1详解】解：如图所示，A B C ′′′ 即为所求． 【小问2详解】解：111372412131481222222×−××−××−××=−−−=． 故答案为：72． 【小问3详解】解：连接BC ′，交l 于P ，点P 即为所求．连接PC ，根据轴对称可知：PC PC ′=，∴PB PC PB PC ′+=+，∵两点之间线段最短，∴当B 、P 、C ′在同一直线上时，BP PC ′+最小，即PB PC +最小．20. 如图，已知B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =，AC 与DE 交于点G ．（1）求证：ABC DEF ≌△△（2）若50B ∠=°，60ACB ∠=°，求EGC ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）70°【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由BE CF =得出BC EF =，再利用SSS 证明ABC DEF ≌△△即可；（2）由全等三角形的性质得出50DEF B ∠=∠=°，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【小问1详解】证明：∵BE CF =，∴BE CE CF CE +=+，即BC EF =，在ABC 和DEF 中，AB DE AC DF BC EF = = =，∴()SSS ABC DEF ≌；【小问2详解】解：如图：，∵ABC DEF ≌△△，∴50DEF B ∠=∠=°， ∴180180506070EGC GEC GCE ∠=°−∠−∠=°−°−°=°．21. 麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B ，F ，C （点F ，C 之间不能直接测量，为池塘的长度），点A ，D 在l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）若100m 30m BE BF ==，，求池塘FC 的长． 【答案】（1）见解析 （2）FC 的长是40m【解析】【分析】（1）利用“ASA ”即可求证；（2）利用全等三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 与DEF 中，ABC DEF AB DEA D ∠=∠ = ∠=∠∴(ASA)ABC DEF ≌ ；【小问2详解】解：∵ABC DEF ≌△△∴BC EF =∴BF FC EC FC +=+，∴BF EC =，∵100m30m BE BF ==， ∴100303040FC =−−=m ．答：FC 的长是40m【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键．22 如图，四边形ABCD 中，BC CD =，AC DE =，90B DCE ∠=∠=°，AC 与DE 相交于点F ．（1）求证：ABC ECD ∆≅∆（2）判断线段AC 与DE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析 （2）AC DE ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）根据HL 即可证明ABC ECD △△≌．（2）根据ABC ECD △△≌得到BCA CDE ∠=∠，结合90B DCE ∠=∠=°得到90DFC ∠=°，即可得结论．【小问1详解】解：在Rt ABC △和Rt ECD △中AC DE AB EC== ， ∴ABC ECD △△≌．.【小问2详解】解：AC DE ⊥．理由如下：∵ABC ECD △△≌，∴BCA CDE ∠=∠，∵90B DCE ∠=∠=°，∴90BCA ACD ∠+∠=°，∴90CDE ACD ∠+∠=°，∴180()90DFCCDE ACD ∠=°−∠+∠=°， ∴AC DE ⊥．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．23. 如图，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M N 、两点，DM 与EN 相交于点F ．（1）若CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；（2）若70MFN ∠=°，求MCN ∠的度数．【答案】（1）15cm AB =（2）40°【解析】【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF NMF ∠+∠，再求出A B ∠∠+，根据等边对等角可得A ACM ∠=∠，B BCN ∠=∠，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【小问1详解】解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN 的周长为15cm ，∴15cm AB =；【小问2详解】解：∵70MFN ∠=°，∴18070110MNF NMF ∠+∠=°−°=°，∵AMD NMF ∠=∠， BNE MNF ∠=∠，∴110AMD BNE MNF NMF ∠+∠=∠+∠=°，∴909018011070A B AMD BNE ∠+∠=°−∠+°−∠=°−°=°，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM ∠=∠，B BCN ∠=∠，∴()180218027040MCN A B ∠=°−∠+∠=°−×°=°． 24. 如图，已知ABC ，点P 为BAC ∠的平分线上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F（1）求证∶ PE PF =（2）若BE CF =，求证：点P 在BC 的垂直平分线上．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）通过证明APE APF ≌△△，即可求证；（2）连接PB 、PC ，通过证明BPE CPF △≌△，得到BP CP =，即可求证．【小问1详解】证明：∵点P 为BAC ∠的平分线上一点∴BAP FAP ∠=∠∵PE AB ⊥，PF AF ⊥∴90PEA PFA ∠=∠=°在APE 和APF 中BAP FAP PEA PFA AP AP ∠=∠ ∠=∠ =∴()AAS APE APF ≌∴PE PF =【小问2详解】证明：连接PB 、PC ，如下图：由（1）可得：90BEP CFP ∠=∠=°又∵PE PF =，BE CF =∴()SAS BPE CPF ≌∴BP CP =∴点P 在BC 的垂直平分线上【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．25. 如图，已知ABC （AC AB BC <<），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；（1）如图1，在AB 边上寻找一点M ，使AMC ACB ∠=∠；（2）如图2，BC 边上寻找一点N ，使得NA NB BC +=．在【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）作AC 的垂直平分线，交BC 于点N 即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】此题考查作图问题，关键是根据作一个角等于已知角和线段垂直平分线的作法解答． 26. 如图甲，已知在ABC 中，90ACB ∠=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．（1）说明ADC CEB △≌△．（2）说明AD BE DE +=．（3）已知条件不变，将直线MN 绕点C 旋转到图乙的位置时，若3DE =、 5.5AD =，则BE=_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）2【解析】【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由垂线的定义得出90ADC CEB ∠=∠=°，再由同角的余角相等得出BCE =∠∠CAD ，最后利用AAS 证明ADC CEB △≌△即可；（2）由全等三角形的性质可得=AD CE ，BE CD =，即可得证；（3）由垂线的定义得出90ADC CEB ∠=∠=°，再由同角的余角相等得出BCE =∠∠CAD ，最后利用AAS 证明ADC CEB △≌△，得出 5.5CE AD ==，BE CD =，即可得解．【小问1详解】证明：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．∴90ADC CEB ∠=∠=°，∴90DAC ACD ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°，∴90BCE ACD ∠+∠=°，∴BCE =∠∠CAD ，∵AC BC =，∴()AAS ADC CEB ≌；【小问2详解】证明：∵ADC CEB △≌△，∴=AD CE ，BE CD =，∴AD BE CE CD DE +=+=；【小问3详解】证明：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．∴90ADC CEB ∠=∠=°，∴90DAC ACD ∠+∠=°，∵90ACB ∠=°，∴90BCE ACD ∠+∠=°，∴BCE =∠∠CAD ，∵AC BC =，∴()AAS ADC CEB ≌，∴ 5.5CE AD ==，BE CD =，的∴ 5.532BE CD CE DE ==−=−=，故答案为：2．27. 阅读理解：【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．【概念理解】（1）如图1，在ABC 中，36A ∠=°，AB AC =，CD 平分ACB ∠，则CBD △与ABC ______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．（2）如图2，在ABC 中，CD ACB ∠，36A ∠=°，48B ∠=°，求证：CD 为ABC 的“巧妙分割线”；【概念应用】（3）在ABC 中，45A ∠=°，CD 是ABC 的巧妙分割线，直接写出ACB ∠的度数．【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）90°或105°或112.5°【解析】【分析】（1）由题意推出36BCD ∠=°，72ABC ∠=°，72BDC ∠=°，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出BCD △是等腰三角形，36A A ∠=∠=°，48ACD B ∠=∠=°，96ADC ACB ∠=∠=°，从而得出结论；（3）根据题意，分为当ACD 是等腰三角形和BCD △是等腰三角形两类，当ACD 是等腰三角形时，再分为：AC AD =，AD CD =，AC CD =三种情形讨论；同样当BCD △是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出ACB ∠的度数即可．【详解】解：（1）∵在ABC 中，36A ∠=°，AB AC =， ∴180722A ABC ACB °−∠∠=∠==°， ∵CD 平分ACB ∠， ∴1362BCD ACB ∠=∠=°， ∴18072BDC BCD B =°−−=°∠∠∠，∴BCD A B B BDC ACB ===∠∠，∠∠，∠∠，∴CBD △与是互为“形似三角形”，故答案为：是；（2）∵在ABC 中,36A ∠=°，48B ∠=°，∴18096ACB A B =°−−=°∠∠∠，∵CD 平分ACB ∠， ∴1482ACD BCD ACB ===°∠∠∠， ∴18096ADC A ACD B BCD =°−−°=∠∠∠，∠∠，∴A A ACD B ADC ACB DC DB ====∠∠，∠∠，∠∠，，∴ACD 与ABC 是互为“形似三角形”，且BCD △是等腰三角形，∴CD 为ABC 的“巧妙分割线”；（3）（Ⅰ）当ACD 是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图1所示：当AD CD =时，则45ACD A ∠=∠=°，90BDC A ACD ∴∠=∠+∠=°，此时，C ABC BD 、△△是“形似三角形”，可知45BCD A ∠=∠=°，∴9045B BCD A =°−=°=∠∠∠，∴90ACB ∠=°;②如图2所示：当AC AD =时，则1804567.52ACD ADC °−°∠=∠==°， 此时，C ABC BD 、△△是“形似三角形”，可知45BCD A ∠=∠=°，4567.5112.5ACB ∴∠=°+°=°；③当AC CD =时，这种情况不存在；（Ⅱ）当BCD △是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图3所示：当CD DB =时，45B BCD ∠=∠=°，同理可知90ACB ∠=°；②如图4所示：当BC BD =时，BDC BCD ∠=∠，此时，ABC ACD 、是“形似三角形”，可知ACD B ∠=∠，45BCD BDC ACD A ACD ∴∠=∠=∠+∠=∠+°，在BCD △中，由三角形内角和可知2180B BDC ∠+∠=°，得()245180ACD ACD ∠+∠+°=°， 30ACD ∴∠=°，45230105ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=°+×°=°；③当CD CB =时，这种情况不存在；综上所述：ACB ∠的度数为90°或105°或112.5°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解．28. 在ABC 中，,8AB AC BC ==，点M 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点N 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点M ，N 移动的速度相同，MN 与BC 相交于点D ．（1）如图1，过点M 作//ME AC ，交BC 于点E ；①图中与BBBB 相等的线段________、_________；②求证：DME DNC ≌；（2）如图2，若60A ∠=°，当点M 移动到AABB 的中点时，求CCBB 的长度；（3）如图3，过点M 作MF BC ⊥于点F ，在点M 从点B 向点A （点M 不与点A ，B 重合）移动的过程中，线段BF 与CCBB BF 与CCBB 的长度和；若改变，请说明理由．【答案】（1）①CN 、EM ； ②见解析；（2）CCBB 的长度为2；（3）保持不变；BF +CD =4．【解析】【分析】（1）①根据移动过程分析和等腰三角形的性质即可解答；②由平行的性质、等腰三角形的性质进行等边和等角转换，最后运用AAS 即可证明结论；（2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解；（3）首先过点M 作ME //AC ，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得BF 与CD 的长度保持不变．【详解】(1) ①∵点M 、N 同时移动且移动的速度相同，∴BM =CN ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB又∵ME//AC，∴∠N=∠DME，∠ACB=∠MEB，∴∠MEB=∠B，∴BM=ME，故答案是：CN、EM；②∵BM=ME，BM=CN∴ME=CN，∵MN与BC相交于点D，∴∠MDE=∠NDC，在△DME和△DNC中∠MDE=∠NDC，∠DME=∠N，ME=NC ∴△DME≌△DNC（AAS）；(2) 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E ∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°∵ME//C，∴∠BEM=∠ACB=60°，∴△BEM是等边三角形，∴BE=BM.∵M是AB的中点，∴1122 BE BM AB BC ===∴BE=CE=4.由（1）可证△DME≌△DNC ∴DE=CD，∴CD=12CE=2，∴CD的长度为2；.。
殷巷中学2014年初三第一次月考数学试题2014/10/8 徐效忠编辑本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题，共36分；第Ⅱ卷为非选择题，共84分。
全卷满分为120分，考试时间为120分钟。
一、选择题(每小题3分，共45分)1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A . 3(x ＋1)²＝2(x ＋1)B .C . ax ²＋bx ＋c ＝0D . x ²－x(x ＋7)＝0 2.方程x ²－x ＋2＝0根的情况是（ ）A . 只有一个实数根B . 有两个相等的实数根C . 有两个不相等的实数根D . 没有实数根 3.解方程2(5x －1)²＝3(5x －1)的最适当方法应是( ) A . 直接开平方法 B . 配方法 C . 公式法 D . 因式分解法4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A. x ²－2x －99＝0化为 (x －1)²＝100B. x ²＋8x ＋9＝0化为 (x ＋4)²＝25C. 2t ²－7t －4＝0化为D. 3y ²－4y －2＝0化为5．下列判定正确的是 （ ） A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 两角相等的四边形是梯形 C 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形6．顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是 （ ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形 7. 关于x 的方程x ²＋mx －1＝0的两根互为相反数，则m 的值为( )A . 0B . 2C . 1D . －28.(济南2014)下列命题中，真命题是A ．两对角线相等的四边形是矩形B ．两对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．两对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两对角线相等的四边形是等腰梯形9.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x ²－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )A . 24B . 24或16C . 16D . 2210．(济南2014)在□中，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于F ，则下列结论不一定成立的是A ． B ．C ．D ．11．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2+px+q 可分解为（ ）．A ．（x+2）（x+3）B ．（x －2）（x －3）C ．（x －2）（x+3）D ．（x+2）（x －3） 12．(2012枣庄)如图，矩形的对角线，则图中五个小矩形的周长之和为A ．14B ．16C ．20D ．2813、(2012济南)如图，∠MON=900，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。
