8.2特殊平行四边形(1)
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学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 - 1 - 页 共 8 页 §8．2 特殊平行四边形(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算． (二)能力训练要求 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力． 2．能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法． (三)情感与价值观要求 通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一 般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念． 教学重点 矩形的性质的证明． 教学难点 矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 教学方法 启发引导归纳式教学法． 教具准备 投影片五张 第一张：总结(记作投影片§8．2．1 A) 第二张：定理(记作投影片§8．2．1 B) 第三张：议一议(记作投影片§8．2．1 C) 第四张：例题(记作投影片§8．2．1 D) 第五张：小明的解法(记作投影片§8．2. 1 E) 教学过程 Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 [师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结： [师生共析](学生总结，教师补充)(出示投影片§3．2．1 A) 已加一个四边形是平行四边形，则有： 对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 从 两组对边分别平行 边 两组对边分别相等 的四边边形是 看 一组对边平行且相等 平行四边形 从角看：两组对角分别相等 从对角线看：对角线互相平分 [师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形? [生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形． 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 - 2 - 页 共 8 页 [师]还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗? [生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：
(随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系) [师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质． 今天我们先来研究矩形的特殊性质． Ⅱ．讲授新课 [师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗? [生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． [师]很好，那你能证明它们吗? [生]能． [师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路． [生甲]已知四边形ABCD是矩形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
证明：∵四边形ABCD是//四边形， ∴∠A＝90°，四边形ABCD是． ∴∠A=∠C，∠B＝∠D． ∠A+∠D＝180°． ∴∠B＝∠C：∠D＝∠A＝90°． [生乙]已知矩形ABCD，求证：AC＝DB．
证明：在矩形ABCD中， 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源
第 - 3 - 页 共 8 页 ∵∠ABC＝∠DCB＝90°，(矩形的四个角都是直角) AB＝DC，(平行四边形的对边相等) BC＝CB， ∴△ABC≌DCB． ∴AC=DB． [师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即(出示投影片§3．2．1 B) 定理：矩形的四个角都是直角．
∵矩形ABCD， ∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°． 定理：矩形的对角线相等．
∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝DB． [师]接下来，我们来想一想，议一议．(出云投影片§3．2．1 C) 如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?为什么?
[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形．因此，对角线AC与BD互相平分．即AE＝EC，BE＝DE．又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE= 21BD
＝ 21AC．故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝ 21AC． 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 - 4 - 页 共 8 页 [师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗? [生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． [师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗? [生]能． 如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．
求证：BE＝ 21AC．
分析：要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论． 证明：过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．(如图)
则∠DAE＝∠BCE． ∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线， ∴AE＝EC． 又∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED≌△CEB． ∴AD＝BC． ∵AD//BC．∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD，BE＝ED＝21BD．
∴BE＝21AC． [师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了． ∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，
∴BE＝21AC． 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 - 5 - 页 共 8 页 下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质(出示投影片§3．2．1 D)[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2．5 cm．求矩形对角线的长．
分析：欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°或∠ABC=90°，AB=4 cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°出发，应用矩形的性质可知 ∠ADB＝30°，这样即可求出对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，且OA=OC=21AC，
OB＝OD=21BD，(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA＝OD． ∵∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝2120180＝30°．
∵∠DAB＝90°．(矩形的四个角都是直角) ∴BD＝2AB＝2×2．5＝5(cm)． 故这个矩形的对角线的长为5 cm． [师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢? [师]小明认为，这个题还可以这样想：(出示投影片§3．2．1 E) ∠AOD＝120°→∠AOB=60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2．5＝5(cm)． [师]你能帮小明写出完整的解题过程吗? [生]解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，且OA＝OC＝21 AC，
OB＝OD＝21 BD．(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA＝OB． ∵∠AOD＝120°， ∴AOB＝60°． ∴OA=OB＝AB． ∴AC＝2OA＝2×2．5＝5(cm)． [师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢? 下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理． Ⅲ．课堂练习 (一)课本P84随堂练习1 1．证明：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B=∠C＝90°． 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 第 - 6 - 页 共 8 页 求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B=90°， ∴∠A+∠B=180°． ∴AD//BC． 同理可证：AB//CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠A=90°， ∴ //四边形ABCD是矩形． Ⅳ．课时小结 我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳： 对边平行且相等 1．矩形 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 一个角是直角的平行四边形 3．有三个角是直角的四边形 是矩形 对角线相等的平行四边形 Ⅴ．课后作业 课本P84,习题8．4 第1,2,3 Ⅵ．活动与探究 1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下； 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)． 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图(2)． 第三步：沿EB′，线折叠得折痕EF．如图(3)． 利用展开图(4)探究： (1)△AEF是什么三角形?证明你的结论． (2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．
