龙泉中学高三数学文科一诊分析.

第一次诊断性测试 数学试卷评价报告数学命题组一、试题评价1.试卷结构达州市普通高中2016届第一次诊断性测试数学文理科试题均由选择题、填空题、解答题组成，其分值分别是50分、25分、75分，总分150分，考试时间120分钟。

难易比例为易：中：难＝7：2：1。

考试内容为四川省2015届高考相同。

其主干知识的考察和分值分配均以《2015年全国普通高等学校统一招生考试数学考试大纲（四川省）》为依据。

全卷评阅统计结果的难度与预设难度基本吻合。

2.试题特点重视基础，考查细节，全面测试，凸显重点。

本次测试是在我省已确定是最后一次使作四川卷模式进行高考的背景下进行的。

试题既考虑四川卷特点又渗透全国卷思想，全卷结合课程特点和我市具体情况，重视教材，强调基础，彰显诊断功能，突细节，接地气。

文理科的第1~5题、第11~13题、第16题、第17题和第18题、第20题都是基础题，容易题和中档题。

特别是文科很多试题设题不绕不藏，文理第5题，都是要特别注重细节的习题。

考虑到一诊时各学校复习进度和高考的要求，本次试题选择题和填空题不考立体几何和解析几何，但第16-21题完全按高考要求设置，涵盖四川省普通高中2016届学生在校学习的全部内容，但不是平均权重，重点知识重点考查，在知识交叉点和主干知识点设置试题。

函数、三角、立体几何、解析几何、数列和统计概率是主要内容，累计权重超过四分之三。

试卷亲和力强，由易到难坡度平缓。

除理第9题、第10题、第15题、第21外，所有试题入口宽，而文科只有第10题、第19（Ⅱ）稍有难度，文第21题难度较大，其余都是学生容易着手的试题。

本次测试，命题组在学生最怕的应用题上采取了措施，降低了难度，一是背景公平熟悉，二是运算量很小。

理科第16题是一道很常规的三角函数题，但需要学生恰当地选择余弦的倍角公式，以便处理23。

文科第17-19题都是学生熟悉的题型，极易上手。

试题立足教材，坚持原创，题型常见，不偏不怪。

2014-2015学年福建省泉州市南安市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅2．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣2，m），“则m=”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．9．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=x﹣的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称12．（5分）函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=．15．（4分）曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是．16．（4分）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）．三、解答题（共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知角α的终边过点P（4，﹣3）（1）求sinα的值；（2）求•的值．18．（12分）已知x=2是函数f（x）=mx3+nx2（m≠0）的一个极值点（1）用含m的代数式表示n．（2）求函数f（x）的单调区间．19．（12分）已知数列{a n}是公差d=2的等差数列，且a2，a3，a4+1成等比（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}前n项和S n．20．（12分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）21．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面积．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（k∈R，x∈R）（1）当k=e时．求函数f（x）的极小值；（2）若k＞0，且对于任意x≥0总有f（x）＞0恒成立．求实数k的取值范围；（3）令g（x）=e x﹣3lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立．求实数k的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：∵全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，B={0，2}，∴∁U A={0，1}，则（∁U A）∩B={0}．故选：A．2．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得z=i（1+3i）=i+3i2=﹣3+i，∴复数z对应的点为（﹣3，1），在第二象限．故选：B．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选：B．4．（5分）已知向量=（1，3），=（﹣2，m），“则m=”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若⊥，则•=0，即﹣2+3m=0，解得m=，则m=是⊥的充分必要条件，故选：C．5．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选：A．6．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，∴，故函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．则tan（a2+a12）==﹣．故选：B．8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．9．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A．10．（5分）函数y=x﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=f（x）=x﹣x，∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴y=f（x）=x﹣x为奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，故可排除C，D；又x=1时，y=1﹣1=0，当x＞1时，不妨令x=8，y=8﹣8=6＞0，可排除B，故选：A．11．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．12．（5分）函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵函数y=f（x）有f（x）=﹣f（x+1），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，∵x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2．函数g（x）=画图如下；∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，4]内的零点个数7，二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为45°．【解答】解：因为已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），所以cos==，所以与的夹角为45°；故答案为：45°．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．【解答】解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或．15．（4分）曲线y=xlnx在x=e处的切线方程是y=2x﹣e．【解答】解：求导函数f′（x）=lnx+1，∴f′（e）=lne+1=2∵f（e）=elne=e∴曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即y=2x﹣e故答案为：y=2x﹣e．16．（4分）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是②③（写出所有凸集相应图形的序号）．【解答】解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；④中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；②③显然符合．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知角α的终边过点P（4，﹣3）（1）求sinα的值；（2）求•的值．【解答】解：（1）∵角α的终边过点P（4，﹣3），∴sinα==﹣；（2）由三角函数的定义知，cosα==，tanα==﹣，∴原式===．18．（12分）已知x=2是函数f（x）=mx3+nx2（m≠0）的一个极值点（1）用含m的代数式表示n．（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f′（x）=3mx2+2nx；∵x=2是f（x）的一个极值点；∴12m+4n=0；∴n=﹣3m；（2）f（x）=mx3﹣3mx2，f′（x）=3mx2﹣6mx；令f′（x）=0得x=0，或2；①若m＞0，则x∈（﹣∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，这两个区间是f（x）的单调增区间；f（x）在[0，2]上单调递减，该区间是f（x）的单调递减区间；②若m＜0，则x∈（﹣∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＜0；x∈（0，2）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，这两个区间是f（x）的单调递减区间；f（x）在[0，2]上单调递增，该区间是f（x）的单调递增区间．19．（12分）已知数列{a n}是公差d=2的等差数列，且a2，a3，a4+1成等比（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}前n项和S n．【解答】解：（1）∵a2，a3，a4+1成等比数列，∴，∴=（a1+2）（a1+3×2+1），解得a1=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵b n=a n+2n=2n+2n，∴数列{b n}前n项和S n==n2+n﹣2+2n+1．20．（12分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：16021．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，则：函数的最小正周期：T=令：（k∈Z）解得：（k∈Z）则：函数f（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x﹣）﹣1，则：由于：0＜A＜π所以：解得：A=由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA解得：bc=322．（14分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（k∈R，x∈R）（1）当k=e时．求函数f（x）的极小值；（2）若k＞0，且对于任意x≥0总有f（x）＞0恒成立．求实数k的取值范围；（3）令g（x）=e x﹣3lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立．求实数k的取值范围．【解答】解：（1）k=e时，f（x）=e x﹣ex，f′（x）=e x﹣e，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）min=f（1）=0；（2）∵f′（x）=e x﹣k，k＞0令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：x＜lnk，∴f（x）在[0，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增，∴f（x）min=f（lnk）=k﹣klnk＞0，解得：0＜k＜e，（3）若f（x）＜g（x），则e x﹣kx＜e x﹣3lnx，∴lnx ＜x ，令m （x ）=lnx ，n （x ）=x ，画出函数m （x ），n （x ）的图象，如图示：，由题意得：只需m （x ）的最小值小于g （x ）的最大值即可， ∴0＜，解得：k ＞0，赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

四川省成都市龙泉一中2019届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，3）2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C． D．4．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{an}的各项均为正数B．数列{an}中必有小于的项C．数列{an}的公比必是正数D．数列{an}中的首项和公比中必有一个大于15．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]6．设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A ．B ．C ．D ．8．在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠DAB=，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且=，=，则=（ ）A ．B ．﹣1C ．2D ．9．函数y=ln 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinxB ．f （sin2x ）=x 2+xC ．f （x 2+1）=|x+1|D ．f （x 2+2x ）=|x+1|11．函数f （x ）=Asin （2x+φ）（|φ|≤，A ＞0）部分图象如图所示，且f （a ）=f （b ）=0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b]，若f （x 1）=f （x 2），有f （x 1+x 2）=，则（ ）A．f（x）在（﹣，）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x）在（，）上是减函数D．f（x）在（，）上是增函数12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④二、填空题（每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系中，角α终边过点P（2，1），则cos2α+sin2α的值为．14．某校为了了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将学生随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为．15．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f （x ）有如下四个命题： ①f （f （x ））=0； ②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形． 其中正确命题的序号有 ．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n 2+2a n =4S n ． （Ⅰ）数列{a n }的通项a n ；（Ⅱ）令b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．已知函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．20．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S=x+y+z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品， （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．21．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且点在椭圆上．（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q 作圆x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为M ，N （M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明为定值；（3）若P 1，P 2是椭圆C 1： =1上不同的两点，P 1P 2⊥x 轴，圆E 过P 1，P 2且椭圆C 1上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C 1是否存在过左焦点F 1的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．四川省成都市龙泉一中2019届高三上学期12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|logx＜0}，则M∩N等于（）2A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，3）【考点】交集及其运算．【分析】利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x|log2∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：C．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A3．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求向量，的坐标，然后根据投影的计算公式即可求出向量在方向上的投影为，从而进行数量积的坐标运算，以及根据坐标求向量长度即可．【解答】解：；∴向量在方向上的投影为： =．故选D．4．已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{an}的各项均为正数B．数列{an}中必有小于的项C．数列{an}的公比必是正数D．数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可知，故q必是正数，故选项C为真命题；由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由于a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．【解答】解：由等比数列的性质，a1a2a3…a10==32．∴a5a6=2，设公比为q，则，故q必是正数，故选项C为真命题．对于选项A，由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．故选C．5．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义是区域内的点（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知BD的斜率最大，CD的斜率最小，由，解得，即B（，），即BD的斜率k==，由，解得，即C（，），即CD的斜率k==，即≤z≤，故选：D．6．设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣）的周期为=π，可得A错误；在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D正确，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=，点E，F分别在BC，DC边上，且=，=，则=（）A．B．﹣1 C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件便可得到，根据向量加法的几何意义便可得到，这样根据AB=4，AD=3，∠DAB=进行数量积的运算便可求出的值．【解答】解：，；∴，；∴，；∴===2．故选：C．9．函数y=ln的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．10．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可． 【解答】解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ； B ．取x=0，则f （0）=0； 取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0； 这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令x+1=t ，则f （x 2+2x ）=|x+1|，化为f （t 2﹣1）=|t|；令t 2﹣1=x ，则t=±；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ．11．函数f （x ）=Asin （2x+φ）（|φ|≤，A ＞0）部分图象如图所示，且f （a ）=f （b ）=0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b]，若f （x 1）=f （x 2），有f （x 1+x 2）=，则（ ）A ．f （x ）在（﹣，）上是减函数B ．f （x ）在（﹣，）上是增函数C．f（x）在（，）上是减函数D．f（x）在（，）上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f（x）的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f（x1）=f（x2）时f（x1+x2）的值求出φ的值，从而写出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性．【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+φ），∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f（x1）=f（x2）时，有f（x1+x2）=，∴sin[2（x1+x2）+φ]=，即2（x1+x2）+φ=，且sin（2•+φ）=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f（x）在区间（﹣，）上是单调增函数．故选：B．12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系中，角α终边过点P（2，1），则cos2α+sin2α的值为．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα、sinα的值，从而求得cos2α+sin2α的值．【解答】解：∵平面直角坐标系中，角α终边过点P（2，1），∴x=2，y=1，r=|OP|=，∴cosα===，sinα===，则cos2α+sin2α=+2sinαcosα=+=，故答案为：．14．某校为了了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将学生随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为12 ．【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式，由560＜20n﹣2≤800求得正整数n的个数，即为所求．}，【解答】解：设抽到的学生的编号构成数列{an则a=18+（n﹣1）×20=20n﹣2，n由560＜20n﹣2≤800，n∈N*，得29≤n≤40，n有12个整数，即做试卷C的人数为12．故答案为：12．15．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f （x ）有如下四个命题： ①f （f （x ））=0； ②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形． 其中正确命题的序号有 ②③④ ．【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①不正确； 接下来判断三个命题的真假②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n 2+2a n =4S n ． （Ⅰ）数列{a n }的通项a n ；（Ⅱ）令b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得b n ===（﹣）= [﹣]，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a n 2+2a n =4S n ．即为，解得a 1=2或者a 1=0（舍去）又①当n ≥2时，②①﹣②得：，分解因式得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0； 又a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=2（n ≥2），则数列{a n }是以首项为2，公差为2的等差数列， 则a n =2n ；（Ⅱ）b n ===（﹣）= [﹣]，则T n =b 1+b 2+…+b n = [﹣+﹣+…+﹣]= [﹣]=﹣．18．已知函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f （x ）在区间上的单调性．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）将函数进行化简，再利用周期公式求ω的值．（2）当x 在区间上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求单调性．【解答】解：函数．化简得Lf （x ）=4cos ωx （cos ωx ﹣sin ωx ）=2cos 2ωx ﹣sin2ωx=1+cos2ωx ﹣sin2ωx=2cos （2ωx ）+1．（1）因为函数的最小正周期为π，即T=，解得：ω=1，则：f （x ）=2cos （2x ）+1．故得ω的值为1，（2）由（1）可得f （x ）=2cos （2x ）+1．当x 在区间上时，故得：，当时，即时，函数f （x ）=2cos （2x）+1为减函数．当π时，即时，函数f （x ）=2cos （2x ）+1为增函数．所以，函数f （x ）=2cos （2x ）+1为减区间为，增区间为．19．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1．AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点． （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（1）欲证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线，只须证明EF 分别与为BD 1与CC 1垂直即可，可由四边形EFMC 是矩形→EF⊥CC 1．由EF ⊥面DBD 1→EF⊥BD 1．（2）欲求点D 1到面BDE 的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：V E ﹣DBD1=V D1﹣DBE ．求解即得．【解答】解：（1）取BD 中点M ． 连接MC ，FM ． ∵F 为BD 1中点，∴FM ∥D 1D 且FM=D 1D ．又EC CC 1且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1．又FM ⊥面DBD 1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．20．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品， （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的数字特征估计总体的数字特征；随机事件． 【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z 计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i ）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果； （ii ）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9共6件，故样本的一等品率为．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i ）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}， {A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}共15种．（ii ）在该样本的一等品种，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7．则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以p （B ）=．21．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且点在椭圆上．（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q 作圆x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为M ，N （M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明为定值；（3）若P 1，P 2是椭圆C 1： =1上不同的两点，P 1P 2⊥x 轴，圆E 过P 1，P 2且椭圆C 1上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C 1是否存在过左焦点F 1的内切圆？若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆右焦点为F （1，0），得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），由且点在椭圆上，根据椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，由此能求出椭圆方程．（2）设Q （x 0，y 0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则l QM ：x 1x+y 1y=3，l QN ：x 2x+y 2y=3，推导出，n=，从而=1，由此能证明为定值．（3）不妨设P 1（m ，n ），P 2（m ，﹣n ），圆心E （t ，0），圆E ：（x ﹣t ）2+y 2=（m ﹣t ）2+n 2，由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心E 的距离的最小值为|P 1E|，由此能求出在这样的内切圆，圆心为（﹣，0）．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且点在椭圆上，∴F 1（﹣1，0），F 2（1，0），∴c=1，由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=+=2a=4，解得a=2，∴椭圆方程为=1．证明：（2）设Q （x 0，y 0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则l QM ：x 1x+y 1y=3，l QN ：x 2x+y 2y=3， ∵Q （x 0，y 0）在直线l QM ，l QN 上，∴，∴点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在直线x 0x+y 0y=3上，即l MN ：x 0x+y 0y=3，由此得，n=，∵（x 0，y 0）满足，即=1，∴==，∴为定值．解：（3）不妨设P 1（m ，n ），P 2（m ，﹣n ），圆心E （t ，0）， ∴圆En ：（x ﹣t ）2+y 2=（m ﹣t ）2+n 2，由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心E 的距离的最小值为|P 1E|， 设M （x ，y ）是椭圆C 1上任意一点，|ME|2=（x ﹣t ）2﹣y 2=，当x=m 时，|ME|2最小，∴m=，①假设椭圆C 1上存在F 1的内切圆，则（﹣﹣t ）2=（m ﹣t ）2+n 2，②又P 1（m ，n ）在椭圆C 1上，即，③由①②③，得：t=﹣或t=﹣，当t=﹣时，m=﹣＜﹣2不合题意，舍去，经验证t=﹣满足条件，综上，存在这样的内切圆，圆心为（﹣，0）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l 的参数方程是（t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C 的直角坐标方程； （2）先将直l 的参数方程是（t 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t 1，t 2的关系式，利用|AB|=|t 1﹣t 2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2， ∴曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ可化为： ρ2=4ρcos θ， ∴x 2+y 2=4x ， ∴（x ﹣2）2+y 2=4．（2）将代入圆的方程（x ﹣2）2+y 2=4得：（tcos α﹣1）2+（tsin α）2=4， 化简得t 2﹣2tcos α﹣3=0．设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则，∴|AB|=|t 1﹣t 2|==，∵|AB|=，∴=． ∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2． （1）解不等式|g （x ）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…。

成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。