高中数学 1.4.3正切函数图像及性质教学课件 新人教A版必修4

练习
讨论函数 y tan 2 x 的性质；
练习： P 50
T3 ~ T6
P52
T6 ~ T8
x
2、利用正切函数的周期性，把上述图象向x轴两边扩 展，得到正切曲线；
y

3 2



2
0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

3 2
x
三、观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性
x x | x R且x k ，k Z 2 yR
例题2
讨论函数 y tan x 的性质； 4
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性
5、周期性
x x | x R且x k ，k Z 4 yR 3 在x k , k 上是增函数； 4 4 f ( x) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4 4 且f ( x) f ( x)是非奇非偶函数 f ( x ) tan( x ) tan( x ) f ( x) 4 4 最小正周期是
tan
13 17 比较 tan( ) 与 tan( ) 的大小. 4 5
2 tan 5

4
tan
2 13 17 ,即 tan tan 5 4 5
练习
不查表比较大小：
(1) tan167 与 tan173 (2) tan 470 与 tan822
在x k , k 上是增函数； 2 2
f ( x) tan( x) tan x f ( x)奇函数

2019/7/17
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－π7

＝－tan－π7 ＝tanπ7 ，
∵－π2
π <7
π <5
π <2
，y＝tan
x
在－π2
，π2
上单调递增，
∴tanπ7
π <tan 5
，即
tan65π
>tan－173π

.

[课堂小结] 1.利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤
(1)转化：利用诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)比较：利用单调性比较函数值的大小. (3)结论：按一定顺序写出其大小关系.
周期 奇偶性
最小正周期为_π__ _奇__函__数___
单调性 在开区间__k_π__－__π2__，__k_π__＋__π2__(_k_∈__Z_)_内递增
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)类似于画正(余)弦函数简图“五点法”，画正切函数简图有 “三点两线法”.( √ ) (2)y＝tan x 在其定义域上是增函数.( × ) (3)y＝|tan x|的最小正周期是π2 .( × ) (4)y＝sin x 与 y＝tan x 的图象在－π2 ，π2 上有三个交点.( )
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )，
又∵π2 <2<π ，∴－π2 <2－π <0.
∵π2 <3<π ，∴－π2 <3－π <0，
显然－π2
<2－π
<3－π

提示：－∞ ＋∞ R
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知识梳理 函数 y＝tan x 的性质. 定义域 值域
最小正周期 奇偶性
xx≠kπ＋π2，k∈Z R π
奇函数
单调性
在开区间__－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π_k_∈__Z___内都是增函数
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(2)∵tan－114π＝－tan114π＝tanπ4， tan－135π＝－tan135π＝tan25π. 又 0<π4<25π<π2， 函数 y＝tan x，x∈－π2，π2是增函数， ∴tanπ4<tan25π， 即 tan－114π<tan－135π.
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角度 2 比较大小 [例 3] 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与 tan 173°； (2)tan－114π与 tan－133π. [解析] (1)∵90°<167°<173°<180°， 又 y＝tan x 在 90°<x<270°范围内是增函数， ∴tan 167°<tan 173°.
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探究二 正切函数的单调性问题 [阅读教材 P44 例 6] 角度 1 求正切函数的单调区间 [例 2] 求函数 y＝3tanπ6－x4的单调递减区间． [解析] y＝3tanπ6 －x4＝－3tanx4－π6， 由 kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π，k∈Z， ∴y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－43π，4kπ＋83π，k∈Z.

1.4.3 正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.