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[推荐学习]高考数学深化复习+命题热点提分专题02平面向量与复数理

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[k12] 最新K12 专题02 平面向量与复数 1．在等腰梯形ABCD中，AB→＝－2CD→，M为BC的中点，则AM→＝( ) A.12AB→＋12AD→ B.34AB→＋12AD→

C.34AB→＋14AD→ D.12AB→＋34AD→ 解析：因为AB→＝－2CD→，所以AB→＝2DC→.又M是BC的中点，所以AM→＝12()AB→＋AC→＝12(AB→＋AD→＋DC→)＝12(AB→

＋AD→＋12AB→)＝34AB→＋12AD→，故选B. 答案：B 2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则mn等于( )

A．－12 B.12 C．－2 D．2 解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则 λn＝m－λ＝2，故mn＝－2. 答案：C 3.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线

l，P为垂线上任一点，则OP→·(OB→－OA→)＝( )

A．－12 B.12 C．－32 D.32

答案：A [k12]

最新K12 4．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tanα－π4＝( ) A．－13 B.13 C．－1 D．0 解析：由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tanα－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B. 答案：B 5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为AB上一点，点P在扇形内(含边界)，且

OP→＝tOA→＋(1－t)·OB→(0≤t≤1)，则OP→·OQ→的最大值为( )

A.12 B.22 C.34 D．1

答案：D 6．设复数z满足z－iz＋i＝i(i为虚数单位)，则z2 016＝( ) A．21 008 B．21 008i C．－21 008 D．－21 008i

解析：由z－iz＋1＝i得z－i＝zi＋i，z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2 016＝(z2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i4)252＝21 008.故选A. 答案：A [k12] 最新K12 7．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA 、OB，则复数12zz的值是（ ）

A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i 【答案】A

8．设复数iiz510)2(（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（ ） A．i43 B．i43 C．i43 D．i43 【答案】C

【解析】因为105105234222iiiziiii，所以34zi. 9．复数z满足1+)|3|izi（，则=z（ ） A．1+i B．1i C．1i D．1+i 【答案】A.

【解析】由题意得，211zii，∴1zi，故选A． 10.函数y＝tanπ4x－π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB→)·AB→＝( ) [k12]

最新K12 A.4 B.6 C.1 D.2 解析 由条件可得B(3，1)，A(2，0)，

∴(OA→＋OB→)·AB→＝(OA→＋OB→)·(OB→－OA→)＝OB→2－OA→2＝10－4＝6. 答案 B 11.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－332，则向量a，b的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 解析 因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－332，解得a·b＝32，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝32，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π6. 答案 A 12.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.

13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM→＝2MA→，则CM→·CB→＝________. 解析 法一 如图，建立平面直角坐标系. [k12]

最新K12 由题意知：A(3，0)，B(0，3)， 设M(x，y)，由BM→＝2MA→， 得x＝2（3－x），y－3＝－2y，解得x＝2，y＝1， 即M点坐标为(2，1)， 所以CM→·CB→＝(2，1)·(0，3)＝3. 法二 CM→·CB→＝(CB→＋BM→)·CB→＝CB→2＋CB→×23BA→＝CB→2＋23CB→·(CA→－CB→)＝13CB→2＝3. 答案 3

14.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|cos B＋AC→|AC→|cos C，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).

15.已知向量a＝cos 3x2，sin 3x2，b＝cos x2，－sin x2，且x∈0，π2. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值. [k12] 最新K12 解 (1)a·b＝cos 3x2cos x2－sin 3x2sin x2＝cos 2x， |a＋b|＝cos 3x2＋cos x22＋sin 3x2－sin x22 ＝2＋2cos 2x＝2cos2x， 因为x∈0，π2，所以cos x≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. (2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x∈0，π2，所以0≤cos x≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12. 16．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=． （Ⅰ）求复数z；

（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围． 【答案】（Ⅰ）3i；（Ⅱ）51m.

【解析】（Ⅰ）,10zaiz， 2110za，即29a，解得3a，又0a， 3a，3zi；

（Ⅱ）3,zi则3zi，151311122miimimmziiiii，

又复数1mizMRi 对应的点在第四象限，502102mm得51mm，51m. [k12] 最新K12 17．已知平面上三个向量,,abc，其中(1,2)a． （1）若35c，且//ac，求c的坐标； （2）若35b，且(4)(2)abab，求a与b夹角的余弦值．

【答案】（1）(3,6),(3,6)c；（2）1cos6 【解析】

（1）因为//ac，所以设(,2)cλaλλ，22(2)35cλλ，3λ，所以(3,6)c或(3,6)．

（2）因为(4)(2)abab，所以22(4)(2)82ababaabb2852(35)0ab，

52ab

，所以512cos,6535ababab．

18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切． （1）求椭圆C的方程； （2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．

①设，且OAOB=6，求k的值； ②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．

【答案】（1）（2）①2②62 【解析】 解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，

因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有， 所以． [k12] 最新K12 因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3． 所以椭圆C的方程为． （2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．

由解得， ①∵22266KOAOB=623K23K，∴（k=0舍去）． ②∵， （当且仅当时取等号）， ∴S△AOD的最大值为． 19．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；

(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足AO→＝xAB→＋yAC→，且x＋2y＝1，求cos ∠BAC的值．

(2)设AC的中点为D，连接OD(图略)，

∵AO→＝xAB→＋yAC→＝xAB→＋2yAD→， 又x＋2y＝1，∴O，B，D三点共线． 由O为△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，

在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝12AC＝2，所以cos ∠BAC＝ADAB＝23.

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高考理科数学二轮专题提分教程全国课件平面向量

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件平面向量

内心性质
内心是三角形三个内角平分线的交点 ，到三角形三边的距离相等。
外心性质
外心是三角形三条边的垂直平分线的 交点，到三角形三个顶点的距离相等 。
正弦定理和余弦定理应用
正弦定理
在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC。
余弦定理
在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a² = b² + c² 2bc·cosA。
数乘运算及性质
数乘运算
实数与向量的乘积是一个新的向量，其长度等于原向量的长度与实数的绝对值 的乘积，方向与原向量的方向相同（实数大于0）或相反（实数小于0）。
数乘性质
数乘满足交换律、结合律和分配律。即对于任意实数$k$和$l$，以及任意向量 $vec{a}$和$vec{b}$，有$k(lvec{a}) = (kl)vec{a}$，$(k + l)vec{a} = kvec{a} + lvec{a}$，$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
相等向量
长度相等且方向相同的向 量叫做相等向量。
向量加法与减法运算规则
向量加法
向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则 $vec{a} + vec{b}$的结果是一个新的向量，其起点是$vec{a}$的起点，终点是 $vec{b}$的终点。
向量减法
向量减法满足三角形法则。设$vec{a}$与$vec{b}$不共线，则$vec{a} - vec{b}$ 的结果是一个新的向量，其起点是$vec{b}$的终点，终点是$vec{a}$的终点。
高考数学(理)二轮专题复习专题突破课件1-1-2平面向量、推理证明与复数

高考数学(理)二轮专题复习专题突破课件1-1-2平面向量、推理证明与复数


→ ，AC → 为基底表示AP → ，BC → ，利用向量垂直的充要条件建立 (2)以AB 关于 λ 的方程，进而确定实数 λ 的值． → ＋MB → ＋MC → ＝0， →＋ 解析 (1)∵MA ∴点 M 是△ABC 的重心．∴AB
→ ＝3AM → .∴m＝3. AC → ＝AC → －AB → ，AP → ＝λAB → ＋AC →， (2)∵BC → ⊥BC → ，∴AP →· → ＝0. 又AP BC → ＋ AC → )· → － AB → ) ＝ (λ － 1) AB →· → － λ AB → 2 ＋ AC → 2 ＝ (λ － 则 (λ AB ( AC AC
2
4→ 4 4 4 → ∴AD＝5AB＝5(a－b)＝5a－5b.
答案 D
考向二 考查平面向量的数量积
数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：判断向量的 垂直关系，难度中档．
【例 2】 (1)(2013· 湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a· b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 A. 2－1 C. 2＋1 B. 2 D. 2＋2 ( )．
→ 与AC → 的夹角为 120° → |＝3， (2)(2013· 山东高考)已知向量AB ， 且|AB → | ＝ 2. 若 AP → ＝ λ AB → ＋ AC → ，且 AP → ⊥ BC → ，则实数 λ 的值为 | AC ________．
[思路点拨]
→ ＋MB → ＋MC → ＝0，可知 M 是△ABC 的重心． (1)由MA
1 7 1)×3×2×－2－λ×9＋4＝0，∴λ＝12.
7 答案 (1)B (2)12
[探究提升] 1.第(1)题主要利用向量共线的坐标表示，第(2)题运用 → ＝OB →－ 平面向量垂直的条件是求解的关键， 要注意避免错误“BC → ”． OC 2．运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平 行四边形．使用三角形加法法则要特别注意 “首尾相接”；使用 减法法则时，向量一定“共起点”．
高考数学(文)《平面向量》专题复习

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专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
返回
考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
返回
考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
高考数学一轮复习规划第六章平面向量与复数第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件

高考数学一轮复习规划第六章平面向量与复数第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件


以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标
系，
解析
→→
→
设点 A 在第四象限，因为|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝ 2，由已知条件可得
A
102，－7102，B
22，
22，C(
→ →→ 2，0)，因为OC＝mOA＋nOB(m∈R，n∈
R)，所以－1027m10＋2m2＋2n＝22n＝2，0，
→
6．(2021·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC＝(1，sinα－1)，BA＝
→ (3,1)，BD＝(2，cosα)，若 B，C，D 三点共线，则 tan(2021π－α)＝________.
答案 －2
解析 ∵B，C，D 三点共线， → → →→
∴BD＝xBC＝x(BA＋AC)，
即(2，cosα)＝x(4，sinα)，则2co＝sα4＝x，xsinα， 得 x＝12，即 cosα＝12sinα，
2 2 ＝54.所以
OA′＝B′C＝54，又|O→A|＝|O→B|
5
＝1，所以O→A′＝45O→A，O→B′＝74O→B，所以 m＝54，n＝74，所以 n－m＝21. 解析
解法二：由已知条件可知，α 为锐角，
由tanα＝csoinsαα＝7， sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝7102， cosα＝ 102，
5.(2021·山东省菏泽市一模)已知向量 a，b 满足 a＝(1,2)，
a＋b＝(1＋m,1)，若 a∥b，则 m＝( )
A．2
B．－2
C.21
D．－21
解析 b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为 a∥b，所以 2m