固体物理学 CHAPTER 5

Ⅰ.ΔZ的确定
在k空间作
E
k
E
和
E
k
E
E
两等能面，等能面间状态数ΔZ
V
在 k 空间，状态分布密度 2 3
Z
V
2
V 3
等能面E和E E之间
V
2
3
dsdk
dk----两等能面间的垂直距离; ds----k空间等值面上的面积元。
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
Ⅱ.关于ΔE
（1）电子热容是由费米面附近电子激发所引起；
（2）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；
（3）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米面附近 能态占据状况的变化所引起等。
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
问题1:等能面?能态密度？
一、等能面
K空间，电子的能量等于定值的曲面
对自由电子，能量：Ek
2
k
2
，等能面：同心球面.
2m
二、能态密度
能态密度N(E)定义：
若能量在E~E+E 之间的能态数目Z，则 N (E) lim Z E0 E
或N (E) dZ dE
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
N(E) 第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
问题2: 费米面？
当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。
或k空间中能量为EF的等能面。
ky
费米球
费米面
EF
2 2m
kF 2
kx
kF
自由电子的费米面
第五章 晶体中电子能带理论§5.9 等能面 能态密度
费米能级EF

5.1证明：长波下单原子链运动方程为 )2(11n n n n u u u um -+=-+β （1）可化为连续介质弹性波动方程 )()(22222tu v tu ∂∂=∂∂（2）证明：在长波极限下位移n u 随n 的变化是非常缓慢的，即可看作是连续变化的∴（1）式可改写为 )},(2),(),({),(22t x u t a x u t a x u tt x u m --++=∂∂β=}),(21),(),(21),({22222xt x u a xt x u axt x u a xt x u ∂∂+∙∂∂-∙∂∂+∙∂∂β222),(a xt x u ∙∂∂=β∴22222222),(),(),(xt x u vxt x u matt x u ∂∂=∂∂=∂∂β其中：a mv ∙=2/1)(β为声速。

5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果，从5.1.2式出发，说明当两原子的质量M m =时结果回到一维单原子链的情形解：从一维双原子链格波的色散关系有；})]21(sin)(41[1{2/1222qa m M Mm Mmm M w+-±+=±β当m M =时有： )21c o s1(22qa mw ±=±β∴有qa m w 41cos 422β=+ （1） qa mw 41sin422β=-a q m'=21s i n42β （2） 其中q 为一维双原子链的波失aa q ππ42/2==，q '为一维单原子链的波失aq π2='5.3 设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于β和β10，若两种原子的质量相等，并最近邻间距为2a ，试求在波失0=q 和aq π=处的)(q w ，并画处其色散关系曲线。

解：设n u 和n v 分别代表两种 原子的相对平衡位置的位移，M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程为)1110()()(1011n n n n n n n n u v v v u u v uM -+=---=--βββ （1） )11()(10)(11n n n n n n n n v u u u v v u vM -+=---=++βββ （2）设试探解为)(0nqa wt i n e u u --=，)(0nqa wt i n e v v --= 将试探波解代入方程中可得)1110(2u vev Mu w iqa-+=--β，)1110(2v ueu Mv w iqa-+=-β)10()11(0)11()10(22=++-=-++∴-u e v Mwu Mwv e iqaiqaββββ要想v u ,有解则须系数行列式为零可得：})]cos 1(20121[11{2/12qa mw--+=±β±w 分别对应于光学支与声学支当0=q 时有)22(2/1==-+w Mw β当aq π=时有2/1)20(M w β=+2/1)2(Mw β=-所以其色散关系如图：5.5 对于金属Al 计算在什么温度下晶格比热和电子比热相等 解：由德拜理论晶格比热为3411)(512DB T k n CvΘ=π，其中1n 为晶体的原子浓度，DΘ为德拜温度，Al 的德拜温度为385K 电子比热为2Cv FBT T k n 222π=其中2n 为晶体的电子浓度因为一个Al 原子可提供3个电子，所以晶体的电子浓度为329323232)(108.1)(108.11002.6277.23--⨯=⨯=⨯⨯⨯==m cm mZ n m ρKk T J mk mn k BFF F FF 518221103/12210357.1,10873.12,1075.1)3(⨯==⨯==⨯==--εεπ由21Cv Cv=可得：5.16K)8T 5(T 2/12F 3D=Θ=π5.7 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用m l u ,记第l 列，第m 行的原子垂直于格平面的 位移，每个原子的质量为M ，最近邻原子的力常数为β （1） 证明运动方程为： )}2()2{()(,1,1,,,1,12,2m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u dtu d M -++-+=-+-+β证明：系统总的势能为： })(){(212,1,21,,,m l m l m l ml m l u u u u v ++-+-=∑β（1）由运动方程ml m l u v uM ,,∂∂-= 若只考虑最近邻的原子则有)}2()2{(,1,1,,,1,1,m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u uM -++-+=-+-+β （2） （2） 设解的形式为)](exp[)0(,wt b mq a q i u u y x m l -+=这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的。

对电流密度的贡献为:ev(kv)
Aπ满带a源自非满带I=0A
πk
a
A
πk
a
(2)有外电场
k
eE
(e 0)
每个电子的波矢均以恒定速率变化
即所有电子在k空间都以速度：
v
A
dk
1
v eE
运动。
dt h
a
满带：
A
v k
Ea
k 轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均
匀填充各 k 态的情况。从A´移出去的电子同时又从A移进
3 近满带中的空穴
对于不具有部分填充能带的非导体，若导带底和价带顶之间的能隙较 窄，则在有限的温度下，满带中(价带顶附近)少数电子受激发而跃迁到 空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空 穴(hole) 。
原来是空带的导带中出现了少量可以导电的电子，变成近空带。
v 假 设 只 有 k 0 处 的 一 个 电 子 态 未 被 电 子 占 据
由于近满带、近空带的出现，是电子的热激发形成的，所以，这两个 能带的导电能力将随温度的升高按指数规律增加。
❖半金属 （Semi-metal 类金属）
在金属和半导体之间存在一种称为类金属的中间情况， 即：导带底与价带顶具有相同的能量(零带隙宽度)或导带与价带发生 少量交叠(负带隙宽度).从而导致导带中存在一定数量的电子(其浓度 远小于典型的金属，但远大于典型的半导体),其价带中存在一定数量 的空穴。
v
v
电 流 密 度
vv/( e)v(k)( e)v(k0)0
kk0
vv
/(e)v(k)ev(k0)
k
v
所有占据电子对电流的贡献等同于带正电e、速度为 v ( k 0 )

理想晶体 — 晶格，等效势场V(r)均具有周期性 晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
波动方程
2 2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
V ( r ) V ( r Rn )
§5.2 周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理
布洛赫定理：当势场 性质
2 d 2 H U ( x) 2 2m dx
2 d 2 2nx U 0 U n exp i 2 2m dx a n 0
Bloch函数的性质
Bloch函数:
ik r k ( r ) e uk ( r )
（1）行进波因子
ik r 表明电子可以在整个晶体中运动的，称为共有化电
e
子，它的运动具有类似行进平面波的形式。
（2）周期函数 个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进 波的特性。
能带理论的基本近似和假设:
2) 平均场（单电子）近似: 多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电 子的平均场中运动
2 1 e i ( r i ) 2 4 0 r r ij i i j
其中 (代表电子i与其它 r ) 电子的相互作用势能.
i i
此外:
布洛赫函数
晶格周期性函数
uk ( r R) uk ( r )
布洛赫定理的证明
晶格平移任意格矢量，势场不变 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符 T f (r ) f (r a ) 1, 2, 3 f (r ) 为任意函数 （1）各平移算符之间对易 T T f (r ) T f (r a ) T T f (r )