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Local Asymmetry and the Inner Radius of Nodal Domains

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arXiv:math/0703663v4 [math.SP] 13 Apr 2008LocalAsymmetryandtheInnerRadiusofNodalDomains

DanMangoubiAbstractLetMbeaclosedRiemannianmanifoldofdimensionn.LetϕλbeaneigenfunctionoftheLaplace–Beltramioperatorcorrespondingtoaneigen-valueλ.Weshowthatthevolumeof{ϕλ>0}∩Bis≥C|B|/λn,whereBisanyballcenteredatapointofthenodalset.Weapplythisresulttoprovethateachnodaldomaincontainsaballofradius≥C/λn.TheresultsinthispaperextendpreviousresultsofF.Nazarov,L.Polterovich,andM.Sodin,andoftheauthor.

1IntroductionandMainResultsLet(M,g)beaclosedRiemannianmanifoldofdimensionn,andlet∆=−div◦gradbetheLaplace–BeltramioperatoronM.Weconsidertheeigen-valueequation∆ϕλ=λϕλ.(1.1)

Aλ-nodaldomainonMisanyconnectedcomponentoftheset{ϕλ=0}(seeFig.1,wherethepositivitysetiscoloredinwhite).Inthispaperwestudyasymptoticlocalgeometryofnodaldomains.LetΩλdenoteaλ-nodaldomainonM.LetCi,i=1,2,...denoteconstantswhichdependonlyontheRiemannianmetricg.Ourfirstresultis

Theorem1.2.Vol({ϕλ>0}∩B)

λ(n−1)/2,

forallgeodesicballsB⊆Msuchthat{ϕλ=0}∩12BisaconcentricballofhalftheradiusofB.

OnecanthinkofTheorem1.2asmeasuringthelocalasymmetryofnodaldomains.Namely,itmeasuresthevolumesratiobetweenthepositivityandthenegativitysetofϕλinB.OurmotivationtoprovethelocalasymmetryestimateinTheorem1.2comesfromtwomainsources.Thefirstoneisthefollowinglocalasymmetryestimateindimensiontwo:

1Figure1:NodaldomainsonaQuarterofaStadium,Dirichletboundarycon-ditions.CourtesyofSvenGnutzmann

Theorem1.3([NPS05]).LetΣbeaclosedRiemanniansurface.ThenVol({ϕλ>0}∩B)logλ√

2B=∅.TheproofofTheorem1.3isbasedonone-dimensionalcomplexanalysis.F.Nazarov,L.PolterovichandM.Sodinsuggestin[NPS05]toexplorelocalasymmetryinhigherdimensions.TheideaoftheproofofTheorem1.2isbasedonamethodofCarlemanin[Car26].Carlemanfindsadifferentialinequalitywhichrelatesthegrowthofaharmonicfunctioninatwodimensionalballtoitsvolumeofpositivity.In[NPS05],theauthorsindicatehowtoobtainalocalasymmetryestimateforharmonicfunctionsindimensionsn≥3basedonCarleman’smethod.InthispaperweadaptCarleman’smethodtosolutionsofsecondorderellipticequations.AsaresultwecangetalocalasymmetryestimatealsoforeigenfuncionsoftheLaplace–Beltramioperator.Oursecondsourceofmotivationcomesfromourwork[Man05].InthatworkwegavealowerboundfortheinnerradiusofnodaldomainsbasedonagrowthboundforeigenfunctionsbyH.DonnellyandC.FeffermanandtheLocalCourant’sNodalDomainTheorem:

Theorem1.4([DF90,CM91]).LetMbeaclosedRiemannianmanifoldofdimensionn.LetΩλbeaλ-nodaldomain.Then

Vol(Ωλ∩B)λ3n2,

forallgeodesicballsB⊆MsuchthatΩλ∩1InthepresentpaperTheorem1.2replacesTheorem1.4.Namely,wenowconsidertheunionofallcomponentsofthepositivitysetofϕλinB,whileinTheorem1.4onlyonedeep(i.e.whichintersects1

λα(n)≤inrad(Ωλ)≤C6λ,whereα(n)=12n.Theproofoftheupperboundandofthetwodimensionalcaseisgivenin[Man05].Inthispaperweassumen≥3.

OrganizationofthePaper.InSection2weexplaintheprinciplethatinsmallscalescomparedwiththewavelength1/√2EigenfunctionsontheWavelengthScaleInthissectionweexplainthefollowingprinciple.Principle:Onasmallscalecomparabletothewavelength(1/√

√g∂jϕλ)=λϕλ.(2.3)Weconsiderequation(2.3)inballsBr=B(0,r),wherer=󰀃

gr∂jϕλ,r)=ε0

√

gr,q=√

B1)≤K3,0≤q≤K4,(2.8)andanellipticityboundaijξiξj≥K5|ξ|2.(2.9)

Ifε0issmallenoughLisclosetobetheEuclideanLaplacian(afteralinearchangeofcoordinates)andϕisclosetobeaharmonicfunction.

43EstimatesforSolutionsofEllipticEquationsInthissectionwepresentsomepropertiesofsolutions,subsolutionsandsu-persolutionsofsecondorderellipticequationswhichwillbeusefulinthenextsections.Listheoperatorgivenin(2.6)intheunitballB1.Thefollowingtheoremisalocalmaximumprinciple.

Theorem3.1([GT83,Theorem9.20]).SupposeLu≤0onB1.Then

supB(y,r1)u≤C1(r1/r2,p)󰀂1

Vol(B(y,r1))󰀇B(y,r1)up󰀄1/p≤C2(r1,r2)infB(y,r1)u+C3(r1,r2)|δ|,

wherer1WeletL0u:=−∂i(aij∂ju),

whereaijareasin(2.5).ThenL=L0−ε0q.AmaximumprincipleforL0isTheorem3.3([GT83,Theorem3.7]).LetusatisfyL0u≤δonaballB⊆B1.Thensup∂Bu≥supBu−C4|δ|,

whereC4dependsonlyontheC1-boundsandtheellipticityboundsofthecoef-ficientsaij.

WerecallthatwedenotebyϕasolutionoftheSchr¨odingerequation(2.7).AsacorollaryofTheorem3.3weobtainthefollowingmaximumprinciple.ItsproofisgiveninSection7.

Corollary3.4.Wehavesup∂Bϕ+≥0.9supBϕ,

forallballsB⊆B1,andforallε0smallenough.ThenexttheoremisaMeanValueProperty.ItsproofisgiveninSection7.Theorem3.5.Supposeϕ(0)=0.ThensupBr1ϕ−≤C5(r1,r2)supBr2ϕ+,

wherer15

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穿越活动断裂带隧道抗错断措施研究

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１ 计算模型及参数
１．１ 工程概况 通麦隧道位于西藏自治区南部东段波密县通麦
镇，整体上沿 Ｇ３１８国道北侧展布，与国道相距最远处 约 ３．７ｋｍ．进口为茶隆隆巴曲左岸，道路交通不便，出 口为通麦小集镇．隧道洞身段不良地质类型较多，分 别为岩爆、大变形、高地温、活动断裂、高瓦斯气体等． 最新地质资料显示，洞身强烈岩爆段 ８００ｍ，５０～６０ ℃中高温段 ２５８０ｍ，二级大变形段 １３５ｍ，高瓦斯气 体 ８５５ｍ以及近出口段穿越 ４１５ｍ长活动断裂带， 隧道出口端与通麦车站相连，该区域地形地貌受到 区域地质构造的控制，山脉总体走向与构造迹线一 致，总体地势北高南低，地形起伏较大．通麦隧道地
８
兰州交通大学学报
第 ４０卷
根据中国国家铁路集团有限公司的总体安排及 规划，川藏铁路东部起始于四川省成都市，向西途径 雅安、康定、昌都、林芝，西止于西藏拉萨，新建线路 总长度大约为 １５６７．３７ｋｍ［１］，川藏铁路沿线地震活 动强烈、地 震 频 发，是 影 响 工 程 安 全 的 主 要 地 质 灾 害，自有记载以来，至少发生了 ７级以上地震 ２２次 以上［２］．国内 外 诸 多 案 例 表 明，穿 越 活 动 断 裂 带 隧 道极其容易产生严重的破坏［３?５］．活动断层的运动分 为粘滑运动和蠕滑运动，活动断层从粘结到瞬间发 生滑移的这一过程被称为粘滑，与其相对应的另外 一种相对运动较为缓慢的方式叫蠕滑，二者区别就 在于蠕滑没有从粘结到瞬间发生滑移，引起地层发 生瞬时的脆性断裂，而是以较稳定的速率蠕动，粘滑 运动导致的脆性断裂会在瞬间释放巨大能量，引起 地震．而川藏线沿线的有诸多活动断裂带，根据目前 的勘探结果显示，多数断裂兼具走滑和逆冲的活动 性质［６］，且具 有 明 显 的 年 平 均 位 移 速 率，虽 然 蠕 滑 导致的两盘相对位移较小，但随着时间不断累积，对 隧道结构的安全性仍有威胁．
1汉英力学名词(1993)

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BZ反应||Belousov-Zhabotinski reaction, BZ reactionFPU问题||Fermi-Pasta-Ulam problem, FPU problemKBM方法||KBM method, Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii method KS[动态]熵||Kolmogorov-Sinai entropy, KS entropyKdV 方程||KdV equationU形管||U-tubeWKB方法||WKB method, Wentzel-Kramers-Brillouin method[彻]体力||body force[单]元||element[第二类]拉格朗日方程||Lagrange equation [of the second kind] [叠栅]云纹||moiré fringe; 物理学称“叠栅条纹”。

[叠栅]云纹法||moiré method[抗]剪切角||angle of shear resistance[可]变形体||deformable body[钱]币状裂纹||penny-shape crack[映]象||image[圆]筒||cylinder[圆]柱壳||cylindrical shell[转]轴||shaft[转动]瞬心||instantaneous center [of rotation][转动]瞬轴||instantaneous axis [of rotation][状]态变量||state variable[状]态空间||state space[自]适应网格||[self-]adaptive meshＣ0连续问题||C0-continuous problemＣ1连续问题||C1-continuous problemＣＦＬ条件||Courant-Friedrichs-Lewy condition, CFL condition ＨＲＲ场||Hutchinson-Rice-Rosengren fieldＪ积分||J-integralＪ阻力曲线||J-resistance curveＫＡＭ定理||Kolgomorov-Arnol'd-Moser theorem, KAM theoremＫＡＭ环面||KAM torusｈ收敛||h-convergenceｐ收敛||p-convergenceπ定理||Buckingham theorem, pi theorem阿尔曼西应变||Almansis strain阿尔文波||Alfven wave阿基米德原理||Archimedes principle阿诺德舌[头]||Arnol'd tongue阿佩尔方程||Appel equation阿特伍德机||Atwood machine埃克曼边界层||Ekman boundary layer埃克曼流||Ekman flow埃克曼数||Ekman number埃克特数||Eckert number埃农吸引子||Henon attractor艾里应力函数||Airy stress function鞍点||saddle [point]鞍结分岔||saddle-node bifurcation安定[性]理论||shake-down theory安全寿命||safe life安全系数||safety factor安全裕度||safety margin暗条纹||dark fringe奥尔-索末菲方程||Orr-Sommerfeld equation奥辛流||Oseen flow奥伊洛特模型||Oldroyd model八面体剪应变||octohedral shear strain八面体剪应力||octohedral shear stress八面体剪应力理论||octohedral shear stress theory巴塞特力||Basset force白光散斑法||white-light speckle method摆||pendulum摆振||shimmy板||plate板块法||panel method板元||plate element半导体应变计||semiconductor strain gage半峰宽度||half-peak width半解析法||semi-analytical method半逆解法||semi-inverse method半频进动||half frequency precession半向同性张量||hemitropic tensor半隐格式||semi-implicit scheme薄壁杆||thin-walled bar薄壁梁||thin-walled beam薄壁筒||thin-walled cylinder薄膜比拟||membrane analogy薄翼理论||thin-airfoil theory保单调差分格式||monotonicity preserving difference scheme 保守力||conservative force保守系||conservative system爆发||blow up爆高||height of burst爆轰||detonation; 又称“爆震”。

结构内共振动力学行为研究

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Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒｉｍａｒｙ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｗｈｅｎ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｓ ｗｅａｋ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ．
Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｅｎｅｒｇｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｂｕｉｌｄ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒ ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ ｌｏａｄ，Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｓ ｂａｓｅｄ Ｏｎ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ．
索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
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瑟兰闩 学位论文作者签名
签字日期：ｚ鸣年 ／月 ／。同
导师签名
签字日期：∞ｏ ３年』月Ｉ ｏ日
天津大学硕士学位论文
第一章 前言
第一章 前
言
１．１课题研究的意义
考虑尺寸效应的岩石损伤统计本构模型研究

考虑尺寸效应的岩石损伤统计本构模型研究

dσ dε
m ε m ε = (1 − δ ) E + δE 1 − m c exp − c = 0 F ε =ε c F (6) 同时在峰值强度点 C( ε c ， σ c )处应满足如下关
来描述，其概率密度函数为 m −1 ε m m ε P(ε ) = exp − FF F
，11]
，未见
到有考虑岩石尺寸效应的。为了给岩土工程数值分 析时本构模型的合理选取提供一定的参考依据，本 文初步提出一个单轴压缩下考虑尺寸效应的岩石损 伤统计本构模型，并利用不同尺寸岩样的试验结果 对提出的本构模型进行了验证。
为
σ = Eε (1 − δD )
度，通过最优化方法获得。
(4)
式中： δ 为岩石损伤比例系数，反映岩石的残余强
m* D * = 1 − exp − * F * E = A( S ) E 2 * F = B( S ) F2 m * = C ( S )m 2
图 1 RMT–150B 型刚性伺服试验加载系统 Fig.1 RMT–150B model rigid servo-controlled experiment loading system
STUDY ON STATISTICAL DAMAGE CONSTITUTIVE MODEL OF ROCK CONSIDERING SCALE EFFECT
YANG Sheng-qi1，XU Wei-ya1，SU Cheng-dong2
(1. Institute of Geotechnical Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China； 2. Department of Resources and Material Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454159，China)